河南省专升本考试高等数学模拟3.docx
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河南省专升本考试高等数学模拟3
河南省专升本考试高等数学模拟3
(总分:
150.00,做题时间:
90分钟)
一、单项选择题(总题数:
30,分数:
60.00)
1.若φ(t)=t3+1,则φ(t3+1)=______
∙A.t3+1
∙B.t6+1
∙C.t6+2
∙D.t9+3t6+3t3+2
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]由于φ(t)=t3+1,φ(t3+1)=(t3+1)3+1=t9+3t6+3t3+1+1=t9+3t6+3t3+2,故应选D.
2.下列函数中,为奇函数的是______
A.
B.bx2sinx
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]对于B项,由于f1(x)=bx2为偶函数,f2(x)=sinx为奇函数,故f(x)=f1(x)·f2(x)为奇函数,故应选B.
3.函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图形对称于直线______
(分数:
2.00)
A.y=0
B.x=0
C.y=x √
D.y=-x
解析:
[解析]y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像关于y=x对称,本题选C.
4.若函数f(x)在某点x0极限存在,则______
(分数:
2.00)
A.f(x)在x0的函数值必存在且等于极限值
B.f(x)在x0的函数值必存在,但不一定等于极限值
C.f(x)在x0的函数值可以不存在 √
D.如果f(x0)存在则必等于极限值
解析:
[解析]由极限存在性与函数值的关系可知本题选C:
f(x)在x=x0存在极限是f(x)在x=x0连续的必要非充分条件.
5.当x→0+时,与等价的无穷小是______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]根据常见的等价无穷小量可知,选项B与等价,而A、C、D与均不等价.故应选B.
6.下列极限计算正确的是______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]A项中,A错;B项中,B正确;C项中极限不存在,D项中极限值为0,本题应选B.
7.点x=0是函数的连续点,则a=______
A.1
B.
C.-2
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]
因为f(x)在x=0处连续,所以即故应选D.
8.______
(分数:
2.00)
A.1 √
B.2
C.0
D.不存在
解析:
[解析]故应选A.
9.若函数y=f(u)可导,u=ex,则dy=______
∙A.f"(ex)dx
∙B.f"(ex)dex
∙C.f"(x)exdx
∙D.[f(ex)]"dex
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]由于y=f(u)可导,所以dy=d[f(u)]=f"(u)du=f"(ex)dex,故选B.
10.设f(x)为可导函数,且满足则f"
(1)=______
(分数:
2.00)
A.2 √
B.-1
C.1
D.-2
解析:
[解析]
所以f"
(1)=2.故应选A.
11.已知f(a)=g(a),当x≥a时,f"(x)>g"(x),则当x≥a时必有______
(分数:
2.00)
A.f(x)≥g(x) √
B.f(x)≤g(x)
C.f(x)=g(x)
D.以上全不成立
解析:
[解析]当x≥a时,f"(x)>g"(x),得F"(x)=f"(x)-g"(x)>0,
所以F(x)=f(x)-g(x)是增函数,
又f(a)=g(a),故当x≥a时,F(x)≥F(a)=0,
即f(x)≥g(x),故应选A.
12.设则______
∙A.t2
∙B.2t
∙C.-t2
∙D.-2t
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]故应选D.
13.______
A.
B.-2x(1+x6)
C.
D.
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析]应选A.
14.设在[0,1]上f"(x)>0,则f"(0),f"
(1),f
(1)-f(0)或f(0)-f
(1)几个数的大小顺序为______
(分数:
2.00)
A.f"
(1)>f"(0)>f
(1)-f(0)
B.f"
(1)>f
(1)-f(0)>f"(0) √
C.f
(1)-f(0)>f"
(1)>f"(0)
D.f"
(1)>f(0)-f
(1)>f"(0)
解析:
[解析]由拉格朗日中值定理知f
(1)-f(0)=f"(ξ),其中ξ∈(0,1).由于f"(x)>0,f"(x)单调增加,故f"(0)<f"(ξ)<f"
(1).即f"(0)<f
(1)-f(0)<f"
(1).故应选B.
15.曲线y=xe-x的拐点是______
∙A.(0,0)
∙B.(2,2e-2)
∙C.(1,e-2)
∙D.(1,e-1)
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]因为y"=(1-x)e-x,y"=(x-2)e-x,令y"=0得x=2,当x<2时,y"<0,当x>2时,y">2,故拐点坐标为(2,2e-2),故应选B.
16.若则∫xf"(x)dx=______
A.
B.
C.xlnx-x+C
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]由得
故应选D.
17.若f"(ex)=1+x,则f(x)=______
∙A.xlnx+C
∙B.2x+xlnx+C
∙C.1+lnx
∙D.xex+C
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析]令ex=t,则x=lnt,f"(t)=1+lnt,f(t)=∫(1+lnt)dt=tlnt+C,所以f(t)=xlnx+C,故应选A.
18.广义积分______
A.
B.
C.
D.发散
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析]
故应选A.
19.若d[f(x)]=d[g(x)],则下列结论成立的是______
(分数:
2.00)
A.f(x)=g(x)
B.∫f(x)dx=∫g(x)dx
C.d∫f(x)dx=d∫g(x)dx
D.f(x)-g(x)=C √
解析:
[解析]由d[f(x)]=d[g(x)],得f(x)-g(x)=C.故应选D.
20.设f(x)是连续函数,则是______
∙A.f(x)的一个原函数
∙B.f(x)的全体原函数
∙C.2x·f(x2)的一个原函数
∙D.2x·f(x2)的全体原函数
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]因为所以是2x·f(x2)的一个原函数,故选C.
21.微分方程y"+x2(y")3-sinxy=0的阶数是______
(分数:
2.00)
A.1
B.2 √
C.3
D.4
解析:
[解析]微分方程的阶指的是未知函数的最高阶导数的阶数,所给方程为二阶微分方程.故应选B.
22.下列微分方程中,是一阶线性非齐次方程的是______
A.(y2-x)dy=ydx
B.y"=e2x-y
C.xy"+y=0
D.
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析]选项A整理为是关于x的一阶线性非齐次方程,而B中方程不是一阶线性方程,C是一阶线性齐次方程,D是齐次微分方程,故应选A.
23.设a和b是非零向量,则(a+b)×(a+2b)=______
∙A.a×b
∙B.3a×b
∙C.b×a
∙D.a2+3a×b+b2
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析](a+b)×(a+2b)=a×a+a×(2b)+b×a+b×(2b)
=2a×b-a×b=a×b,
故应选A.
24.设则fx(1,1)=______
(分数:
2.00)
A..e
B.0
C.-1
D.1 √
解析:
[解析]因为f(x,1)=ex-1,所以fx(x,1)=ex-1,fx(1,1)=e0=1.故应选D.
25.二元函数在点(0,0)处______
(分数:
2.00)
A.连续,偏导数存在
B.连续,偏导数不存在
C.不连续,偏导数存在 √
D.不连续,偏导数不存在
解析:
[解析]因为不存在(若沿x轴→(0,0)时,极限为0,若沿直线y=x→(0,0)时,极限为,所以在(0,0)点函数无极限).所以函数在(0,0)点处不连续.而
同理偏导数在(0,0)点处存在.
26.如果区域D被分成两个子区域D1和D2,且则______
(分数:
2.00)
A.8 √
B.4
C.6
D.2
解析:
[解析]根据二重积分的性质知
故应选A.
27.设交换积分次序后I=______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]
所以
28.如果L是摆线从点A(2π,0)到点B(0,0)的一段弧,则的值为______
∙A.e2π(1-2π)-1
∙B.2[e2π(1-2π)-1]
∙C.3[e2π(1-2π)-1]
∙D.4[e2π(1-2π)-1]
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]令有故此积分与路径无关,取直线段从2π到0,则
应选C.
29.若级数在x=0处条件收敛,则级数在x=5处______
(分数:
2.00)
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散 √
D.不能判定敛散性
解析:
[解析]由已知条件知,收敛半径为R=2.所以级数在(0,4)内绝对收敛,在(-∞,0)和(4,+∞)内发散,由此可知在x=5处发散,故选C.
30.设级数收敛,则级数______
(分数:
2.00)
A.绝对收敛 √
B.条件收敛
C.发散
D.敛散性要看具体的an
解析:
[解析]因为
又收敛,也收敛,
从而也收敛.所以绝对收敛,故应选A.
二、填空题(总题数:
10,分数:
20.00)
31.函数的定义域为1.
(分数:
2.00)
解析:
(2,3][解析]由|x-2|≤1,得1≤x≤3,且x>2,故x∈(2,3].
32.函数的间断点有1个.
(分数:
2.00)
解析:
3[解析]由于函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,1)∪(1,+∞),且函数在定义域内连续,故函数的间断点为x=±1,x=0,有3个.
33.极限
(分数:
2.00)
解析:
[解析]
34.曲线方程为3y2=x2(x+1),则在点(2,2)处的切线方程为1.
(分数:
2.00)
解析:
4x-3y-2=0[解析]两边对x求导得6y·y"=3x2+2x,即
切线方程为即4x-3y-2=0.
35.∫(lnx+1)dx=1.
(分数:
2.00)
解析:
x·lnx+C[解析]∫(lnx+1)dx=∫lnxdx+∫dx=x·lnx-∫fdx+∫dx=x·lnx+C.
36.设则
(分数:
2.00)
解析:
[解析]令对已知方程两边取定积分,得即即
37.设z=xy,则dz|(2,1)=1.
(分数:
2.00)
解析:
dx+2ln2dy[解析]dz=yxy-1dx+xylnxdy,dz|(2,1)=dx+2ln2dy.
38.过点(1,0,-2)且与平面x-4z=3及平面3x-y-5z=1的交线平行的直线方程为1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]取所求直线的方向向量为
则所求直线方程为
39.微分方程y"-4y=0的通解是1.
(分数:
2.00)
解析:
y=C1e-2x+C2e2x[解析]特征方程为r2-4=0,解得r1=-2,r2=2,所以通解为y=C1e-2x+C2e2x.
40.函数关于x的幂级数展开式为1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]
三、计算题(总题数:
10,分数:
50.00)
41.求极限
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
42.求函数y=x(cosx)sinx的导数
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
y=x(cosx)sinx=x·esinxlncosx,
43.求不定积分
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
44.求定积分
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
45.求垂直于向量a=3i+6j+8k和x轴的单位向量.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
因为a={3,6,8},
所以
所以,垂直于向量a与x轴的单位向量为
46.求函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极值.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解方程组
求得驻点为(2,-2).
fxx=-2,fxy=0,fyy=-2,即A=-2,B=0,C=-2.
因为B2-AC=02-(-2)·(-2)=-4<0,且A<0,
所以(2,-2)为函数的极大值点.
极大值为f(2,-2)=8.
47.计算二次积分
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
由可知积分区域为
D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤1},
积分区域也可表示为D={x,y|0≤y≤1,0≤x≤y},
从而交换积分次序,得
48.求微分方程y"+5y"+4y=3-2x的通解.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
由r2+5r+4=0解得r1=-1,r2=-4,
故对应齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e-4x,
f(x)=3-2x,因为λ=0不是方程的特征根,
所以可设特解为y*=ax+b,
代入原方程,得4ax+5a+4b=-2x+3,
比较系数得即
所以原方程的通解为(C1,C2为任意常数).
49.求级数的收敛半径和收敛域(考虑区间端点).
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
当时,对应的数项级数为级数发散;
当时,对应的数项级数为该级数收敛;
所以原级数的收敛半径为,收敛域为
50.求幂级数在其收敛区间内的和函数.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
因为
所以幂级数的收敛半径R=1.故幂级数的收敛区间为(-1,1).
当x∈(-1,1)时,
四、应用题(总题数:
2,分数:
14.00)
51.求由曲面z=x2+2y2及z=3-2x2-y2所围成立体的体积.
(分数:
7.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
此立体的体积可看成两个曲顶柱体的体积之差,
从方程组中消去z,得x2+y2=1,
故两曲顶柱体的底面为xOy面上的圆域x2+y2≤1,所以所求立体体积
52.在某池塘内养鱼,该池塘最多能养鱼1000尾,鱼数y是时间t(月)的函数,其变化率与鱼数y及1000-y之积成正比,已知在池塘内养鱼100尾,3个月后,池塘内有鱼250尾,求放养t月后池塘内鱼数y(t)的函数.
(分数:
7.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
由题意可得
且满足y(0)=100,y(3)=250,方程化为
即两边积分得
即所以
把条件y(0)=100,y(3)=250代入得
故所求函数为
五、证明题(总题数:
1,分数:
6.00)
53.证明:
当x>0时,(x2-1)lnx≥(x-1)2.
(分数:
6.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[证明]设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2,f
(1)=0.
当0<x<1时,f"""(x)<0,f"(x)单调减少,f"(x)>f""
(1)=2>0,
得f"(x)单调增加,f"(x)<f"
(1)=0,f(x)单调减少,
于是f(x)>f
(1)=0,即(x2-1)lnx>(x-1)2.
当x>1时,f"""(x)>0,f"(x)单调增加,f"(x)>f"
(1)=2>0,
得f"(x)单调增加,f"(x)>f"
(1)=0,f(x)单调增加.
于是f(x)>f
(1)=0,即(x2-1)lnx>(x-1)2.
当x=1时,(x2-1)lnx=(x-1)2.
综上,当x>0时,(x2-1)lnx≥(x-1)2.