河南省专升本考试高等数学模拟3.docx
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河南省专升本考试高等数学模拟3
河南省专升本考试高等数学模拟3
（总分：
150.00，做题时间：
90分钟）
一、单项选择题（总题数：
30，分数：
60.00）
1.若φ（t）=t3+1，则φ（t3+1）=______
∙A.t3+1
∙B.t6+1
∙C.t6+2
∙D.t9+3t6+3t3+2
（分数：
2.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：
[解析]由于φ（t）=t3+1，φ（t3+1）=（t3+1）3+1=t9+3t6+3t3+1+1=t9+3t6+3t3+2，故应选D．
2.下列函数中，为奇函数的是______
A．
B．bx2sinx
C．
D．
（分数：
2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
[解析]对于B项，由于f1（x）=bx2为偶函数，f2（x）=sinx为奇函数，故f（x）=f1（x）·f2（x）为奇函数，故应选B．
3.函数y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的图形对称于直线______
（分数：
2.00）
A.y=0
B.x=0
C.y=x √
D.y=-x
解析：
[解析]y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的图像关于y=x对称，本题选C．
4.若函数f（x）在某点x0极限存在，则______
（分数：
2.00）
A.f（x）在x0的函数值必存在且等于极限值
B.f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值
C.f（x）在x0的函数值可以不存在 √
D.如果f（x0）存在则必等于极限值
解析：
[解析]由极限存在性与函数值的关系可知本题选C：
f（x）在x=x0存在极限是f（x）在x=x0连续的必要非充分条件．
5.当x→0+时，与等价的无穷小是______
A．
B．
C．
D．
（分数：
2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
[解析]根据常见的等价无穷小量可知，选项B与等价，而A、C、D与均不等价．故应选B．
6.下列极限计算正确的是______
A．
B．
C．
D．
（分数：
2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
[解析]A项中，A错；B项中，B正确；C项中极限不存在，D项中极限值为0，本题应选B．
7.点x=0是函数的连续点，则a=______
A．1
B．
C．-2
D．
（分数：
2.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：
[解析]
因为f（x）在x=0处连续，所以即故应选D．
8.______
（分数：
2.00）
A.1 √
B.2
C.0
D.不存在
解析：
[解析]故应选A．
9.若函数y=f（u）可导，u=ex，则dy=______
∙A.f"（ex）dx
∙B.f"（ex）dex
∙C.f"（x）exdx
∙D.[f（ex）]"dex
（分数：
2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
[解析]由于y=f（u）可导，所以dy=d[f（u）]=f"（u）du=f"（ex）dex，故选B．
10.设f（x）为可导函数，且满足则f"
（1）=______
（分数：
2.00）
A.2 √
B.-1
C.1
D.-2
解析：
[解析]
所以f"
（1）=2.故应选A．
11.已知f（a）=g（a），当x≥a时，f"（x）＞g"（x），则当x≥a时必有______
（分数：
2.00）
A.f（x）≥g（x） √
B.f（x）≤g（x）
C.f（x）=g（x）
D.以上全不成立
解析：
[解析]当x≥a时，f"（x）＞g"（x），得F"（x）=f"（x）-g"（x）＞0，
所以F（x）=f（x）-g（x）是增函数，
又f（a）=g（a），故当x≥a时，F（x）≥F（a）=0，
即f（x）≥g（x），故应选A．
12.设则______
∙A.t2
∙B.2t
∙C.-t2
∙D.-2t
（分数：
2.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：
[解析]故应选D．
13.______
A．
B．-2x（1+x6）
C．
D．
（分数：
2.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：
[解析]应选A．
14.设在[0，1]上f"（x）＞0，则f"（0），f"
（1），f
（1）-f（0）或f（0）-f
（1）几个数的大小顺序为______
（分数：
2.00）
A.f"
（1）＞f"（0）＞f
（1）-f（0）
B.f"
（1）＞f
（1）-f（0）＞f"（0） √
C.f
（1）-f（0）＞f"
（1）＞f"（0）
D.f"
（1）＞f（0）-f
（1）＞f"（0）
解析：
[解析]由拉格朗日中值定理知f
（1）-f（0）=f"（ξ），其中ξ∈（0，1）．由于f"（x）＞0，f"（x）单调增加，故f"（0）＜f"（ξ）＜f"
（1）．即f"（0）＜f
（1）-f（0）＜f"
（1）．故应选B．
15.曲线y=xe-x的拐点是______
∙A.（0，0）
∙B.（2，2e-2）
∙C.（1，e-2）
∙D.（1，e-1）
（分数：
2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
[解析]因为y"=（1-x）e-x，y"=（x-2）e-x，令y"=0得x=2，当x＜2时，y"＜0，当x＞2时，y"＞2，故拐点坐标为（2，2e-2），故应选B．
16.若则∫xf"（x）dx=______
A．
B．
C．xlnx-x+C
D．
（分数：
2.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：
[解析]由得
故应选D．
17.若f"（ex）=1+x，则f（x）=______
∙A.xlnx+C
∙B.2x+xlnx+C
∙C.1+lnx
∙D.xex+C
（分数：
2.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：
[解析]令ex=t，则x=lnt，f"（t）=1+lnt，f（t）=∫（1+lnt）dt=tlnt+C，所以f（t）=xlnx+C，故应选A．
18.广义积分______
A．
B．
C．
D．发散
（分数：
2.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：
[解析]
故应选A．
19.若d[f（x）]=d[g（x）]，则下列结论成立的是______
（分数：
2.00）
A.f（x）=g（x）
B.∫f（x）dx=∫g（x）dx
C.d∫f（x）dx=d∫g（x）dx
D.f（x）-g（x）=C √
解析：
[解析]由d[f（x）]=d[g（x）]，得f（x）-g（x）=C．故应选D．
20.设f（x）是连续函数，则是______
∙A.f（x）的一个原函数
∙B.f（x）的全体原函数
∙C.2x·f（x2）的一个原函数
∙D.2x·f（x2）的全体原函数
（分数：
2.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：
[解析]因为所以是2x·f（x2）的一个原函数，故选C．
21.微分方程y"+x2（y"）3-sinxy=0的阶数是______
（分数：
2.00）
A.1
B.2 √
C.3
D.4
解析：
[解析]微分方程的阶指的是未知函数的最高阶导数的阶数，所给方程为二阶微分方程．故应选B．
22.下列微分方程中，是一阶线性非齐次方程的是______
A．（y2-x）dy=ydx
B．y"=e2x-y
C．xy"+y=0
D．
（分数：
2.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：
[解析]选项A整理为是关于x的一阶线性非齐次方程，而B中方程不是一阶线性方程，C是一阶线性齐次方程，D是齐次微分方程，故应选A．
23.设a和b是非零向量，则（a+b）×（a+2b）=______
∙A.a×b
∙B.3a×b
∙C.b×a
∙D.a2+3a×b+b2
（分数：
2.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：
[解析]（a+b）×（a+2b）=a×a+a×（2b）+b×a+b×（2b）
=2a×b-a×b=a×b，
故应选A．
24.设则fx（1，1）=______
（分数：
2.00）
A..e
B.0
C.-1
D.1 √
解析：
[解析]因为f（x，1）=ex-1，所以fx（x，1）=ex-1，fx（1，1）=e0=1.故应选D．
25.二元函数在点（0，0）处______
（分数：
2.00）
A.连续，偏导数存在
B.连续，偏导数不存在
C.不连续，偏导数存在 √
D.不连续，偏导数不存在
解析：
[解析]因为不存在（若沿x轴→（0，0）时，极限为0，若沿直线y=x→（0，0）时，极限为，所以在（0，0）点函数无极限）．所以函数在（0，0）点处不连续．而
同理偏导数在（0，0）点处存在．
26.如果区域D被分成两个子区域D1和D2，且则______
（分数：
2.00）
A.8 √
B.4
C.6
D.2
解析：
[解析]根据二重积分的性质知
故应选A．
27.设交换积分次序后I=______
A．
B．
C．
D．
（分数：
2.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：
[解析]
所以
28.如果L是摆线从点A（2π，0）到点B（0，0）的一段弧，则的值为______
∙A.e2π（1-2π）-1
∙B.2[e2π（1-2π）-1]
∙C.3[e2π（1-2π）-1]
∙D.4[e2π（1-2π）-1]
（分数：
2.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：
[解析]令有故此积分与路径无关，取直线段从2π到0，则
应选C．
29.若级数在x=0处条件收敛，则级数在x=5处______
（分数：
2.00）
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散 √
D.不能判定敛散性
解析：
[解析]由已知条件知，收敛半径为R=2.所以级数在（0，4）内绝对收敛，在（-∞，0）和（4，+∞）内发散，由此可知在x=5处发散，故选C．
30.设级数收敛，则级数______
（分数：
2.00）
A.绝对收敛 √
B.条件收敛
C.发散
D.敛散性要看具体的an
解析：
[解析]因为
又收敛，也收敛，
从而也收敛．所以绝对收敛，故应选A．
二、填空题（总题数：
10，分数：
20.00）
31.函数的定义域为1．
（分数：
2.00）
解析：
（2，3][解析]由|x-2|≤1，得1≤x≤3，且x＞2，故x∈（2，3]．
32.函数的间断点有1个．
（分数：
2.00）
解析：
3[解析]由于函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，0）∪（0，1）∪（1，+∞），且函数在定义域内连续，故函数的间断点为x=±1，x=0，有3个．
33.极限
（分数：
2.00）
解析：
[解析]
34.曲线方程为3y2=x2（x+1），则在点（2，2）处的切线方程为1．
（分数：
2.00）
解析：
4x-3y-2=0[解析]两边对x求导得6y·y"=3x2+2x，即
切线方程为即4x-3y-2=0.
35.∫（lnx+1）dx=1．
（分数：
2.00）
解析：
x·lnx+C[解析]∫（lnx+1）dx=∫lnxdx+∫dx=x·lnx-∫fdx+∫dx=x·lnx+C．
36.设则
（分数：
2.00）
解析：
[解析]令对已知方程两边取定积分，得即即
37.设z=xy，则dz|（2，1）=1．
（分数：
2.00）
解析：
dx+2ln2dy[解析]dz=yxy-1dx+xylnxdy,dz|（2,1）=dx+2ln2dy.
38.过点（1，0，-2）且与平面x-4z=3及平面3x-y-5z=1的交线平行的直线方程为1．
（分数：
2.00）
解析：
[解析]取所求直线的方向向量为
则所求直线方程为
39.微分方程y"-4y=0的通解是1．
（分数：
2.00）
解析：
y=C1e-2x+C2e2x[解析]特征方程为r2-4=0，解得r1=-2，r2=2，所以通解为y=C1e-2x+C2e2x．
40.函数关于x的幂级数展开式为1．
（分数：
2.00）
解析：
[解析]
三、计算题（总题数：
10，分数：
50.00）
41.求极限
（分数：
5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
42.求函数y=x（cosx）sinx的导数
（分数：
5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
y=x（cosx）sinx=x·esinxlncosx，
43.求不定积分
（分数：
5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
44.求定积分
（分数：
5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
45.求垂直于向量a=3i+6j+8k和x轴的单位向量．
（分数：
5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
因为a={3，6，8}，
所以
所以，垂直于向量a与x轴的单位向量为
46.求函数f（x，y）=4（x-y）-x2-y2的极值．
（分数：
5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
解方程组
求得驻点为（2，-2）．
fxx=-2，fxy=0，fyy=-2，即A=-2，B=0，C=-2.
因为B2-AC=02-（-2）·（-2）=-4＜0，且A＜0，
所以（2，-2）为函数的极大值点．
极大值为f（2，-2）=8.
47.计算二次积分
（分数：
5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
由可知积分区域为
D={（x，y）|0≤x≤1，x≤y≤1}，
积分区域也可表示为D={x，y|0≤y≤1，0≤x≤y}，
从而交换积分次序，得
48.求微分方程y"+5y"+4y=3-2x的通解．
（分数：
5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
由r2+5r+4=0解得r1=-1，r2=-4，
故对应齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e-4x，
f（x）=3-2x，因为λ=0不是方程的特征根，
所以可设特解为y*=ax+b，
代入原方程，得4ax+5a+4b=-2x+3，
比较系数得即
所以原方程的通解为（C1，C2为任意常数）．
49.求级数的收敛半径和收敛域（考虑区间端点）．
（分数：
5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
当时，对应的数项级数为级数发散；
当时，对应的数项级数为该级数收敛；
所以原级数的收敛半径为，收敛域为
50.求幂级数在其收敛区间内的和函数．
（分数：
5.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
因为
所以幂级数的收敛半径R=1.故幂级数的收敛区间为（-1，1）．
当x∈（-1，1）时，
四、应用题（总题数：
2，分数：
14.00）
51.求由曲面z=x2+2y2及z=3-2x2-y2所围成立体的体积．
（分数：
7.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
此立体的体积可看成两个曲顶柱体的体积之差，
从方程组中消去z，得x2+y2=1，
故两曲顶柱体的底面为xOy面上的圆域x2+y2≤1，所以所求立体体积
52.在某池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼1000尾，鱼数y是时间t（月）的函数，其变化率与鱼数y及1000-y之积成正比，已知在池塘内养鱼100尾，3个月后，池塘内有鱼250尾，求放养t月后池塘内鱼数y（t）的函数．
（分数：
7.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
由题意可得
且满足y（0）=100，y（3）=250，方程化为
即两边积分得
即所以
把条件y（0）=100，y（3）=250代入得
故所求函数为
五、证明题（总题数：
1，分数：
6.00）
53.证明：
当x＞0时，（x2-1）lnx≥（x-1）2．
（分数：
6.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（）
解析：
[证明]设f（x）=（x2-1）lnx-（x-1）2，f
（1）=0.
当0＜x＜1时，f"""（x）＜0，f"（x）单调减少，f"（x）＞f""
（1）=2＞0，
得f"（x）单调增加，f"（x）＜f"
（1）=0，f（x）单调减少，
于是f（x）＞f
（1）=0，即（x2-1）lnx＞（x-1）2．
当x＞1时，f"""（x）＞0，f"（x）单调增加，f"（x）＞f"
（1）=2＞0，
得f"（x）单调增加，f"（x）＞f"
（1）=0，f（x）单调增加．
于是f（x）＞f
（1）=0，即（x2-1）lnx＞（x-1）2．
当x=1时，（x2-1）lnx=（x-1）2．
综上，当x＞0时，（x2-1）lnx≥（x-1）2．
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