兰州大学运筹学运输问题课后习题题解.docx
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兰州大学运筹学运输问题课后习题题解
第七章运输问题
7.1一个农民承包了6块耕地共300亩，准备播种小麦、玉米、水果和蔬菜四种农产品，各种农产品的计划播种面积、每块土地种植不同农产品的单产收益如下表：
单产收益（元/亩）
计划播种面积（亩）
地块1
地块2
地块3
地块4
地块5
地块6
小麦
500
550
630
1000
800
700
76
玉米
800
700
600
950
900
930
88
水果
1000
960
840
650
600
700
96
蔬菜
1200
1040
980
860
880
780
40
地块面积（亩）
42
56
44
39
60
59
问如何安排种植计划，可得到最大的总收益。
解：
本问题地块总面积：
42+56+44+39+60+59=300亩
计划播种总面积：
6+88+96+40=300亩
因此这是一个产销平衡的运输问题。
可以建立下列的运输模型：
地块1
地块2
地块3
地块4
地块5
地块6
计划播种面积（亩）
小麦
500
550
630
1000
800
700
76
玉米
800
700
600
950
900
930
88
水果
1000
960
840
650
600
700
96
蔬菜
1200
1040
980
860
880
780
40
地块面积（亩）
42
56
44
39
60
59
300300
代入产销平衡的运输模板可得如下结果：
种植计划方案
地块1
地块2
地块3
地块4
地块5
地块6
计划播种面积（亩）
小麦
6
39
31
76
玉米
29
59
88
水果
2
56
38
96
蔬菜
40
40
地块面积（亩）
42
56
44
39
60
59
300300
7.2某客车制造厂根据合同要求从当年开始起连续四年年末交付40辆规格型号相同的大型客车。
该厂在这四年内生产大型客车的能力及每辆客车的成本情况如下表：
年度
可生产客车数量（辆）
制造成本（万元/辆）
正常上班时间
加班时间
正常上班时间
加班时间
1
20
30
50
55
2
38
24
56
61
3
15
30
60
65
4
42
23
53
58
根据该厂的情况，若制造出来的客车产品当年未能交货，每辆车每积压一年的存储和维护费用为4万元。
在签订合同时，该厂已储存了20辆客车，同时又要求四年期未完成合同后还需要储存25辆车备用。
问该厂如何安排每年的客车生产量，使得在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用加储存维护费用为最少？
解：
这是一个生产储存问题，可以化为运输问题来做。
根据已知条件，我们可以做以下分析，建立运输模型。
1、由于上年末库存20辆车，这些产品在这四年中只计仓储费不计生产费用，所以我们记为0年，第一行；
2、在建立的运输表中，相应单元格内填入当年交付产品的所有成本（包括生产和存储成本）；
3、年份从1到4表示当年的正常生产，而1’到4’表示当年加班生产的情况；
4、由于期末（4年底）要有25辆车的库存，即4年末的需求量是40+25=65辆；
5、在表中没有具体成本的单元格中，表示没有生产也没有交货，为了保证这个真实情况的描述，在这些格中填M，使安排的生产量为0。
6、在计算成本时，当年生产当年交货不加存储成本，但对未交付的产品，第二年要付一个年的存储费4万元，依此类推。
根据上面的分析，可得运价表如下。
年度1
年度2
年度3
年度4
库存
生产能力（辆）
0
4
8
12
16
20
20
1
50
54
58
62
66
20
1’
55
59
63
67
71
30
2
56
60
64
68
38
2’
61
65
69
74
24
3
60
64
68
15
3’
65
69
74
30
4
53
57
42
4’
58
62
23
合同需求量（辆）
40
40
40
40
25
这是一个产大于销的运输模型，代入求解模型可得：
即：
生产安排的方案：
第一季度正常上班生产20台，加班27台，拿出正常生产18台和加班2台，加上年前储存的20台，满足本季度的40台；
第二季度正常生产38台，不安排加班。
加上第一季度储存的2台，满足本季度的40台；
第三季度正常生产15台，不安排加班。
加上第一季度储存的25台，满足本季度的40台；
第四季度正常生产42台。
加班生产23台。
拿出正常生产的17台的加班生产的23台满足本季度的40台。
剩余25台以后务用。
如下表表示：
年度1
年度2
年度3
年度4
库存
生产能力（辆）
0
20
20
1
18
2
20
1’
2
25
30
2
38
38
2’
24
3
15
15
3’
30
4
17
25
42
4’
23
23
合同需求量（辆）
40
40
40
40
25
7.3某企业生产有甲、乙、丙、丁四个分厂生产同一种产品，这四个分厂的产量分别为：
200吨、300吨、400吨和100吨，这些产品供应给A、B、C、D、E、F六个地区，六个地区的需求量分别为：
200吨、150吨、350吨、100吨、120吨、120吨。
由于工艺、技术的差别，各分厂运往各销售地区的单位运价（万元/吨）、各厂单位产品成本（万元/吨）和各销地的销售价格（万元/吨）如下表：
单位：
（万元/吨）
A
B
C
D
E
F
各厂成本
甲
0.05
0.04
0.03
0.04
0.03
0.01
0.12
乙
0.03
0.08
0.09
0.05
0.06
0.01
0.14
丙
0.07
0.07
0.03
0.07
0.04
0.04
0.11
丁
0.06
0.04
0.02
0.06
0.05
0.08
0.15
各地售价
0.2
0.24
0.18
0.22
0.16
0.22
1、试确定该公司获利最大的产品调运方案。
2、如果E地区至少供应100吨，试确定该公司获利最大的产品调运方案。
2、如果E地区至少供应100吨，C地区的需要必须全部得到满足，试确定该公司获利最大的产品调运方案。
解：
1、先求出无条件运输问题的结果：
根据问题要求，可以编制以下运价（单位产品利润）表：
A
B
C
D
E
F
各厂产量吨）
甲
0.03
0.08
0.03
0.06
0.01
0.09
200
乙
0.03
0.02
-0.05
0.03
-0.04
0.07
300
丙
0.02
0.06
0.04
0.04
0.01
0.07
400
丁
-0.01
0.05
0.01
0.01
-0.04
-0.01
100
各地销量
200
150
350
100
120
120
这是一个销大于产的产销不平衡运输问题。
代入求解模板，得以下结果：
即，安排方案如下：
A
B
C
D
E
F
各厂产量吨）
甲
50
100
30
20
200
乙
200
100
300
丙
350
50
400
丁
100
100
各地销量
200
150
350
100
120
120
可获最大利润44.6元。
2、这是有条件的产销不平衡问题，加条件后就已转化为产销平衡的运输问题
A
B
C
D
E
F
各厂产量吨）
甲
0.03
0.08
0.03
0.06
0.01
0.01
0.09
200
乙
0.03
0.02
-0.05
0.03
-0.04
-0.04
0.07
300
丙
0.02
0.06
0.04
0.04
0.01
0.01
0.07
400
丁
-0.01
0.05
0.01
0.01
-0.04
-0.04
-0.01
100
-M
40
各地销量
200
150
350
100
100
20
120
代入求解模板得以下结果：
即，安排方案如下：
A
B
C
D
E
F
各厂产量吨）
甲
50
100
30
20
200
乙
200
100
300
丙
330
70
400
丁
100
100
20
20
40
各地销量
200
150
350
100
100
20
120
可获最大利润44元。
3、这也是有条件的产销不平衡问题，加条件后就已转化为产销平衡的运输问题
A
B
C
D
E
F
各厂产量吨）
甲
0.03
0.08
0.03
0.06
0.01
0.01
0.09
200
乙
0.03
0.02
-0.05
0.03
-0.04
-0.04
0.07
300
丙
0.02
0.06
0.04
0.04
0.01
0.01
0.07
400
丁
-0.01
0.05
0.01
0.01
-0.04
-0.04
-0.01
100
-M
-M
40
各地销量
200
150
350
100
100
20
120
代入求解模板得以下结果：
即，安排方案如下：
A
B
C
D
E
F
各厂产量吨）
甲
50
100
50
200
乙
180
120
300
丙
350
50
400
丁
100
100
20
20
150
各地销量
200
150
400
100
100
50
120
可获最大利润43.8元。
注：
本问题注意的是对于求最大化的产销不平衡问题，大M就取负值。
7.4某自行车制造公司设有两个装配厂，且在四个地区有销售公司。
该公司生产和销售的相关数据如下表：
两个装配厂的有关数据
装配厂
A
B
产量（辆）
1100
1000
装配费用（元/辆）
45
55
四个销售公司和需求量
销售公司
1
2
3
4
需求量（辆）
500
300
550
650
从两个装配厂到四个销售公司的运价表
运输单价
销售公司
1
2
3
4
装配厂A
9
4
7
18
装配厂B
2
17
15
8
各家销售公司需要的自行车应由哪个厂装配，才能保证公司获得最大利润？
解：
首先将问题的数据整理如下表：
运输单价（元/辆）
销售公司
装配费用（元/辆）
产量（辆）
1
2
3
4
装配厂A
9
4
7
18
45
1100
装配厂B
2
17
15
8
55
1000
需求量（辆）
500
300
550
650
运输问题数学模型：
运输单价（元/辆）
公司1
公司2
公司3
公司4
产量（辆）
装配厂A
54
49
52
64
1100
装配厂B
57
73
69
61
1000
需求量（辆）
500
300
550
650
因生产需求量大于需求量，所以这是一个产大于销的产销不平衡的运输运输问题，代入产大于销的产销不平衡运输问题求解模板，可得结果：
即：
生产安排方案如下表：
运输单价（元/辆）
公司1
公司2
公司3
公司4
产量（辆）
装配厂A
250
300
550
1100
装配厂B
250
650
1000
需求量（辆）
500
300
550
650
此运输问题的最小成本（最优值）:
110700元。
即按此方案安排生产，可以使总成本为最低，因此就可以得到最大的利润。
7.5某公司在三个地方有三个分厂，生产同一种产品，其产量分别为300箱、400箱和500箱。
需要供应给四个地方销售，这四地的产品需求分别为400箱、250箱、550箱和200箱。
三个分厂到四个销售地的单位运价如下表：
销地
产地
甲
乙
丙
丁
1分厂
21
17
23
25
2分厂
10
15
30
19
3分厂
23
21
20
22
（1）应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？
（2）如果2分厂的产量从400箱增加到600箱，应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？
（3）如果甲销地的需求量从400箱增加到500箱，其它情况都与
（1）完全相同，应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？
解：
（1）本问题的运输模型：
销地
产地
甲
乙
丙
丁
产量
1分厂
21
17
23
25
300
2分厂
10
15
30
19
400
3分厂
23
21
20
22
500
销量
400
250
550
200
本问题总产量：
1200箱；总销量：
1400箱。
所以是一个销大于产的产销不平衡运输问题。
代入销大于产的产销不平衡运输问题求解模板，可得结果：
即：
运输安排方案如下表：
销地
产地
甲
乙
丙
丁
产量
1分厂
240
50
10
300
2分厂
400
400
3分厂
500
500
销量
400
240
550
200
最小的运输费用：
19450元。
（2）如果2分厂的产量从400箱增加到600箱，可得以下的运输模型：
销地
产地
甲
乙
丙
丁
产量
1分厂
21
17
23
25
300
2分厂
10
15
30
19
600
3分厂
23
21
20
22
500
销量
400
250
550
200
此时总产量：
1400箱；总销量：
1400箱。
所以是一个产销平衡运输问题。
代入产销平衡运输问题求解模板，可得结果：
即：
运输安排方案如下表：
销地
产地
甲
乙
丙
丁
产量
1分厂
100
200
300
2分厂
150
450
600
3分厂
400
90
500
销量
400
250
550
200
最小的运输费用：
34140元。
（3）如果甲销地的需求量从400箱增加到500箱，可得以下的运输模型：
销地
产地
甲
乙
丙
丁
产量
1分厂
21
17
23
25
300
2分厂
10
15
30
19
400
3分厂
23
21
20
22
500
销量
500
250
550
200
此时总产量：
1200箱；总销量：
1500箱。
所以仍是一个销大于产的产销不平衡运输问题。
代入销大于产的产销不平衡运输问题求解模板，可得结果：
即：
运输安排方案如下表：
销地
产地
甲
乙
丙
丁
产量
1分厂
50
250
300
2分厂
400
400
3分厂
500
500
销量
500
250
550
200
最小的运输费用：
19300元。
7.6甲、乙两个煤矿每年分别生产煤炭500万吨、600万吨，供应A、B、C、D四个发电厂需要，各电厂的用煤量分别为300万吨、200万吨、500万吨、100万吨。
已知煤矿与电厂之间煤炭运输的单价如下表：
煤矿与发电厂间单位运价运价单位：
元/吨
A
B
C
D
甲
150
200
180
240
乙
80
210
60
170
（1）试确定从煤矿到每个电厂间煤炭的最优调运方案。
（2）若两煤矿之间、四个发电厂之间也可以调运煤炭，并知它们之间调运煤炭的单价如下：
煤矿间单位运价运价单位：
元/吨
甲
乙
甲
0
100
乙
100
0
发电厂间单位运价运价单位：
元/吨
A
B
C
D
A
0
60
40
80
B
60
0
50
50
C
40
50
0
85
D
80
50
85
0
试确定从煤矿到每个电厂间煤炭的最优调运方案。
（3）若在煤矿与发电厂之间增加两个中转站T1、T2，并知煤矿与中转站间和中转站与发电厂间的煤炭运价如下：
煤矿与中转站间单位运价运价单位：
元/吨
T1
T2
甲
90
100
乙
80
105
中转站间单位运价运价单位：
元/吨
T1
T2
T1
0
120
T2
120
0
中转站间与发电厂间单位运价运价单位：
元/吨
A
B
C
D
T1
80
85
90
88
T2
95
100
85
90
试确定从煤矿到每个电厂间煤炭的最优调运方案。
解：
（1）建立运输问题数学模型如下：
直接运输的运价表运价单位：
元/吨
A
B
C
D
产量（吨）
甲
150
200
180
240
500
乙
80
210
60
170
600
销量（吨）
300
200
500
100
代入求解模板可得结果：
即结果：
运量单位：
吨
A
B
C
D
产量（吨）
甲
200
200
0
100
500
乙
100
00
500
0
600
销量（吨）
300
200
500
100
最低费用：
132000元。
（2）建立运输问题数学模型如下：
煤矿间、电厂间可以转运的运价表运价单位：
元/吨
甲
乙
A
B
C
D
产量（吨）
甲
0
100
150
200
180
240
1600
乙
100
0
80
210
60
170
1700
A
10000
10000
0
60
40
80
1100
B
10000
10000
60
0
50
50
1100
C
10000
10000
40
50
0
85
1100
D
10000
10000
80
50
85
0
1100
销量（吨）
1100
1100
1400
1300
1600
1200
代入求解模板可得结果：
即得结果：
运量单位：
吨
甲
乙
A
B
C
D
产量（吨）
甲
1100
400
100
1600
乙
1100
600
1700
A
1000
100
1100
B
1100
1100
C
100
1000
1100
D
1100
1100
销量（吨）
1100
1100
1400
1300
1600
1200
最低费用：
129000元。
（4）编制运价表如下：
增加中转站后可以转运的运价表运价单位：
元/吨
甲
乙
T1
T2
A
B
C
D
产量（吨）
甲
0
100
90
100
150
200
180
240
1600
乙
100
0
80
105
80
210
60
170
1700
T1
90
80
0
120
80
85
90
88
1100
T2
100
105
120
0
95
100
85
90
1100
A
10000
10000
80
95
0
60
40
80
1100
B
10000
10000
85
100
60
0
50
50
1100
C
10000
10000
90
85
40
50
0
85
1100
D
10000
10000
88
90
80
50
85
0
1100
销量（吨）
1100
1100
1100
1100
1400
1300
1600
1200
代入求解模板可得结果：
即得结果：
运量单位：
吨
甲
乙
T1
T2
A
B
C
D
产量（吨）
甲
1100
300
200
1600
乙
1100
100
500
1700
T1
1100
200
100
1100
T2
1100
1100
A
1100
1100
B
1100
1100
C
1100
1100
D
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