推土机合理生产摸型.docx
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推土机合理生产摸型
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
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1.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2011年8月8日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
推土机生产计划
摘要
本文通过数学建模的方式，利用非线性规划建立起动态模型，针对推土机的生产和销售的关系，只考虑两大矛盾，即建材费的上涨和贮存费的存在，其中生产能力分为生产能力无限，和生产能力有限的两类情况，本文通过平衡这两类矛盾，制定了合理月生产计划，最终达到推土机销售获得最大的利润。
问题一中的模型的建立是一个非线性规划模型的标准形式，找出总利润最大化时，每月的生产计划，总利润最大时，总成本最少。
对于6个月来说销售数量总和一定，所以产生销售费用总和也一定，固定成本总和也一定，而6个月里所产生的总成本=固定成本总和+可变成本总和+销售费用总和+贮存费总和，所以只要算出在6个月里所产生的可变成本的总和、贮存费的总和达到最少，那么6个月所产生的费用就达到最少。
只要产品由生产到销售完成所产生的总费最少，那么久是所获得的利润最大。
建立可变成本的总和、贮存费总和的数学表达式，用灰色系统理论可以求出上半年前1到6月每月应该生产推土机的数目、可变成本和贮存费用之和最小时的数值，在总结所算的的结果给出明确的生产到销售所需的费用、生产计划和最大利润。
生产所需可变成本和贮存的费用：
3492.65（万）
生产计划：
一月生产33台，二月生产34台，三月生产31台，四月生产31台，五月生产29台，六月生产29台
问题二中建立的模型也与问题一非常相似，也是建立一个非线性规划模型的标准形式，找出总利润最大化时，每月的生产计划，总利润最大时，也就是总成本最少。
不过多了一个约束条件（工厂每月生产量的上限为33台推土机），也就是在原本的约束条件上再加上该约束条件后再运用灰色关联度算出上半年1到6月可变成本总和+贮存费总和最少时的数值，每月应该生产推土机的数目。
总结以上结果明确给出生产到销售所需的总成本、生产计划和最大利润。
生产所需可变成本和贮存的费用：
3595.75（万）
生产计划：
一月生产22台，二月生产33台，三月生产33台，四月生产34台，五月生产33台，六月生产33台；或者一月生产33台，二月生产22台，三月生产33台，四月生产33台，五月生产33台，六月生产33台。
在问题一和二中的可变成本和贮存费用的最小费用都知道，从而公司在上半年的利润最大也就可以得到
关键词：
可变成本贮存费回归分析每月生产计划
一、问题重述
广州市某重型机械厂通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并给合今年上半年可能出现的影响推土机销售的因素，预测该厂2011年上半年的销售情况如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
销售量（台）
42
32
41
67
25
29
该厂的推土机2010年12月的销售均价为48万元/台，今年上半年的售价保持不变。
2010年12月末尚有49台未售出。
推土机从计划生产到售出会发生下列费用：
（1）生产成本，包括固定成本（主要是指厂房、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、其他材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40%），按照2010年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与推土机生产台数的平方成正比，比例系数为0.5。
且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨10%，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。
（2）销售费用，与当月的销售金额成正比。
（3）贮存费，生产出的推土机未售出的必须贮存，即该厂生产的推土机平均每台每月的贮存费为0.1万元。
2010年以来，央行和发改委出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年上半年建材的价格仍会有一定的增长。
预计的增长速度（以2010年12月的价格为基准）见下表：
月份
1
2
3
4
5
6
增长速度
10%
10%
20%
20%
30%
30%
该厂希望在上半年就把生产的推土机全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从2011年1月到6月每月的生产计划（即每月完成多少台）。
（1）如果该厂的月生产能力没有限制，并且允许期货（即尚未下线的推土机）销售，但在6月底前要全部完成交货，如何制定月生产计划？
（2）如果该厂每月的生产能力限于33台，并且允许期货（即尚未下线的推土机）销售，但在6月底前要全部完成交货，又该如何制定月生产计划？
二、问题分析
在一段时间内，工厂生产产品，就是为了把产品销售出去，然后得到盈利或者亏本，而盈利和亏本的或多或少，有很多因素决定，每个工厂都想在这段时间内获得最大经济效益而不想亏本，就算工厂在这段时间内是亏本的，那也想亏的最少。
所以在推土机的生产和销售过程中为了获得最大的利润，我们就对推土机的生产和销售都出以下的分析，同时给出了生产和销售的方案。
问题一、目的就是利润最大，从而给出生产计划。
公司上半年生产的推土机都要售完，其中销售收入是确定的，跟月进度计划无关，可以不予考虑。
销售费用与当月的销售金额成正比，不跟生产计划有关，固定费用是固定给的支出，都可不予考虑。
而生产成本中的人工成本也是固定的，唯一可以的是推土机的贮存费用与受生产材料影响的可变成本。
所以题意最后变成制定生产计划使得可变成本和贮存费用之和最小。
最后就得到生产计划和最大利润。
问题二、由于多了一个约束条件该厂每月的生产能力限于33台，模型的建立与问题一的一样。
在问题一求的的基础上，因为上面的结果已使得盈利最大，现在只需要将大于生产能力的月的工作分给别的月份去坐，使分的时候盈亏达到最小，从而盈利可以得到最大。
三、基本假设
（1）时间分为6个月，每个月有30天；
（2）在六个月内推土机性能都不会发生变化；
（3）在月尾也就是在每月的30号完成该月的销售和交货；
（4）生产中的固定成本一定；
（5）每月的销售量一定为预测的销售量，所以6个月的销售总量一定，建材的上涨比例也一定正确；
（6）推土机要求在6月份全部销售完；
（7）只要当月有推土机未出售，就算贮存费用。
四、符号说明
：
第i个月把推土机销售出去的机量；
：
第i个月前生产出的推土机未售出的的机量；
：
可变成本（万元）与推土机生产台数的平方成正比的比例系数
：
该厂生产的推土机平均每台每月的贮存费为0.1万元
M：
该厂生产推土机所用到的固定成本；
：
第i个月生产出的推土机所需的可变成本；
：
第i个月生产出的推土机未售出的的机量所需贮存的费用；
：
第i个月所计划生产的推土机的机量；
Z：
今年上半年一共所需的总成本
：
第i个月由于建材价格上涨，使可变成本多增加的倍数
：
推土机销售均价为48万元/台
五、模型的建立与求解
4.11、模型一的建立
要得公司的利润最大，公司上半年生产的推土机都要售完，其中销售收入是确定的，跟月进度计划无关，可以不予考虑。
销售费用与当月的销售金额成正比，不跟生产计划有关，固定费用是固定给的支出，都可不予考虑。
而生产成本中的人公成本也是固定的，唯一可以的是推土机的贮存费用与受生产材料影响的可变成本。
所以题意最后变成制定生产计划使得可变成本和贮存费用之和最小。
由已知条件可以得到，上半年第i个月的可变成本为
（万）。
第i个月未售出的推土机的贮存费用为
（万）。
于是问题
（1）为求解下列模型：
模型中约束条件的说明：
因为第i个月生产的推土机加上上个月底售不出的推土机就是为这个月总的推土机（台）（即为第i个月总共的推土机），由于在这个月售出的推土机为
，所以到了这个月底还有的推土机为：
ni
其中
表示第一个月初就有推土机（即为2010年12月底售不出的推土机，），
=0是因为在第6个月底就要把所有的推土机都售出，即没有剩下的推土机，所以第7个月初就没有推土机.
运用灰色关联式分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态历程分析，这时本题就转换为求解下列非线性规划模型：
决策变量：
用
表示第i个月推土机计划生产的机数（i=1,2,3,4,5,6）显然它们应当是非负整数。
总成本=总固定成本+总可变成本+总销售费用+总贮存费用
Z=M+
约束条件：
为了满足推土机用的费用最小的要求
minz=M+
+
4.12模型一的运用与求解
上述模型可以转化成求解如下动态规划模型：
利用贝尔曼方程的最优化原理与嵌入原理，一下就是分别利用逆向递推和顺向递推的方法解出方程
（1）逆向递推求解贝尔曼基础方程
（1）
将
代入
（1）
得：
（2）
令
得：
代入
（2）式
得到
（3）
令
得：
代入（3）式
得：
（4）
令
代入（4）式
（5）
令
代入（5）式
得：
（2）顺向递推求解和
\
‘
得出可变成本和贮存费用之和最小：
建造月进度计划见下表：
月份
1
2
3
4
5
6
销售量（台）
42
32
41
67
25
29
生产量（台）
33
34
31
31
29
29
4.21、模型二的建立
由于多了一个约束条件该厂每月的生产能力限于33台，模型的建立与问题一的一样。
模型的约束条件的说明：
因为第i个月生产的推土机，加上上个月底售不出的推土机（即为第i个月初的推土机）就是为这个月总的推土机台数（台），由于在这个月售出的推土机为Ni，所以到了这个月底还有的推土机为：
;
其中
表示第一个月初就有推土机（即为2010年12月底售不出的推土机，），
=0是因为在第6个月底就要把所有的推土机都售出，即没有剩下的推土机，所以第7个月初就没有推土机.因为每个月建生产的台数都是整数的，同时公司的月生产能力也有所限制，不超过33台，所以在模型的约束条件中多了
.
在问题一求的的基础上，因为上面的结果已使得盈利最大，现在只需要将大于生产能力的月的工作分给别的月份去坐，使分的时候盈亏达到最小，从而盈利可以得到最大。
4.22模型二的运用与求解
由结果可以看出，会先将生产价的不同和一起考虑。
月份
1
2
3
4
5
6
成本计算
成本
602.95
640
579.8
576.6
546.65
546.65
费用越小分给的工作量就越大，但也有个范围，而不是无限制的分，即要满足生产能力的33套才可以分。
分得的结果为两种情况,如下表
月份
1
2
3
4
5
6
情况一
台数
22
33
33
33
33
33
情况二
台数
33
22
33
33
33
33
六、模型的分析
结论一：
生产能力无限时的生产计划：
一月生产33台，二月生产34台，三月生产31台，四月生产31台，五月生产29台，六月生产29台；
结论二：
生产能力有限，并且生产能力是33台/月的是两种情况：
第一种方案：
一月生产22台，二月生产33台，三月生产33台，四月生产33台，五月生产33台，六月生产33台；第二种方案：
一月生产33台，二月生产22台，三月生产33台，四月生产33台，五月生产33台，六月生产33台。
七、模型的推广
通常人们可以通通过事物外界的一些特征来了解其内部的进行机制，但当人们在对诸如社会系统，农业系统等时，人们无法建立客观的物理原理，其作用原理也就不明确，而且内部因素难以识别或之内的关系隐蔽，所以人们难以准确了解这类系统的行为特征，对其定量描述难度较大，给建模带来极大的不便。
在此，我们就可以借助预测模型，因为可以把随即量看做是在一定范围内变化的量，就可以通过一定的方法将未知的量变换成生成量，从而利用生成量得到规律性很强的生成函数。
这种方法在生活中十分常见，而且我们可以预测其应用前景是广阔的。
我们可以利用它来进行天气的预报，对洪涝灾害的预测，对股票的预测等等，以及针对这些因素应该采取哪些方法或措施。
八、模型的评价与优化
优点：
建立相关多元线性模型，对推土机生产计划做了明确的指导，预测模型误差较小，适用于各方面类似的预测问题，具有很好地普适性。
此模型层次替推，之间的逻辑清晰，便于理解。
运用此模型可以十分准确地推测不同的生产计划对销售推土机最终的获利情况影响的比重。
缺点：
由于材料所给数据不全，所以建立的模型不能更深入的计算出具体获利情况;因为很多数据还都是预测的基础上,而我们是假设这些数据如未来预测的一样,所以与实际情况可能有差入。
参考文献：
[1]推土机行业--制定推土机月生产计划，
[2]赵静，但琦，数学建模与数学实验[M].3版，北京：
高等教育出版社，2008
[3]邓聚龙，灰色理论基础，武汉：
华中科技大学出版社，2002
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