15第十五讲函数模型及其应用学生版2.docx
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15第十五讲函数模型及其应用学生版2
环球雅思学校学科教师辅导讲义
学员编号：
年级：
课时数：
3
学员姓名：
辅导科目：
数学学科教师：
授课类型
T（专题）函数模型及其应用
星级
★★★
授课日期及时段
被称为“星子之王”的第谷·布拉赫在天体观测方面获得不少成就，死后留下20多年的观测资料和一份精密星表。
他的助手开普勒利用了这些观测资料和星表，进行新星表编制。
然而工作伊始便遇到了困难，按照正圆轨道来编制火星运行表一直行不通，火星这个“狡猾家伙”总不听指挥，老爱越轨。
经过一次次分析计算，开普勒发现，如果火星轨道不是正圆，而是椭圆，那么矛盾不就烟消云散了吗。
经过长期细致而复杂计算以后，他终于发现：
行星在通过太阳的平面内沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。
这就是行星运动第一定律，又叫“轨道定律”。
当开普勒继续研究时，“诡谲多端”的火星又将他骗了。
原来，开普勒和前人都把行星运动当作等速来研究的。
他按照这一方法苦苦计算了1年，却仍得不到结果。
后来他发现，在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的联线所扫过的面积相等。
这就是行星运动第二定律，又叫“面积定律”。
开普勒又经过9年努力，找到了行星运动第三定律：
太阳系内所有行星公转周期的平方同行星轨道半长径的立方之比为一常数，这一定律也叫“调和定律”。
【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。
（1）求略中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象。
小结：
由函数图象，可以形象直观地研究推断函数关系，可以定性地研究变量之间的变化趋势，是近年来常见的应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合。
练习1：
向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h
的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（）
（A）（B）（C）（D）
练习2：
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式
；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式
；
（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：
市场售价和种植成本的单位：
元/102㎏，时间单位：
天）
【例2】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。
早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：
，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。
下表是1950~1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64562
65994
67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
小结：
已知函数模型解实际问题主要有两类：
（1）已知函数解析式形式，只须求待定系数，较易；
（2）根据题目所给条件，能够列出两个变量、之间的关系式，从而得出函数解析式，这类题目的关键是审清题意，弄清常量、变量诸元素之间的关系。
归纳：
解函数应用题的步骤：
解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后再用相应的数学知识去解决，基本程序如下：
1、阅读、审题：
要做到简缩问题，删掉将要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。
2、建模：
将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。
3、合理求解纯数学问题。
4、解释并回答实际问题。
【例1】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润。
练习1：
（P106）某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元。
（1）分别求出总成本y1（单位：
万元），单位成本y2（单位：
万元），销售总收入y3（单位：
万元），总利润y4（单位：
万元）与总产量x（单位：
件）的函数解析式；
（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析。
练习2：
某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100台需要增加投入2500元。
对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台。
已知销售收入函数为：
，其中x是产品售出的数量，
。
（1）若x为年产量，y为利润，求y＝f（x）的解析式；
（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？
【例2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？
试写出这个函数模型的解析式。
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏重，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
练习3：
18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离（天文单位）如下表：
行星
1（金星）
2（地球）
3（火星）
4（？
）
5（木星）
6（土星）
7（？
）
距离
0.7
1.0
1.6
5.2
10.0
他研究行星排列规律后估测在火星和土星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你用函数的模型推测谷神星离太阳的平均距离，在土星外面是什么星？
继续推测它与太阳的平均距离。
练习4：
某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68。
为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型
，乙选择了模型
，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数。
结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型较好？
小结：
有许多实际问题，只是采集了两个变量相应的一些离散数据，一般采用函数拟合的方法进行研究，即先画散点图，再选出拟合函数，并进行检验。
这节课学习了哪些？
A组
1.一般地，家庭用电量（kW·h）与气温（℃）有一定的关系，如图3－2－17所示，图
（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图
（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（）
A.气温最高时，用电量最多
B.气温最低时，用电量最少
C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
2.如图所示，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：
x＝t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S＝f（t）的图象大致为图中的（）
3.某厂有形状为直角梯形的边角料，现从中截取矩形铁片（如图），当矩形面积最大时，矩形的两边x、y分别应为（）
A.x＝15，y＝12B.x＝14，y＝10
C.x＝12，y＝15D.x＝10，y＝14
4.某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为0.8万元，第二年起与老工人的年薪相同，若以今年为第一年，那么第n年企业付给工人的工资总额y（万元）表示成n的函数，其表达式为（）
A.y＝（3n＋5）·1.2n＋2.4
B.y＝8×1.2n＋2.4n
C.y＝（3n＋8）·1.2n＋1＋2.4
D.y＝（3n＋5）×1.2n－1＋2.4
5.设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系式是y＝ekx，其中c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105Pa，1000m高空的大气压为0.9×105Pa，则600m高空的大气压强为.
6.某批发商批发某种商品的单价P（单位：
元/kg）与一次性批发数量Q单位：
kg）之间的函数图象如图，一零售商仅有现金2700元，他最多可购买这种商品kg（不考虑运输费等其他费用）.
7.某市原来的民用电价为0.52元/kW·h，换装分时电表后，峰时段的电价为0.55元/kW·h，谷时段的电价为0.30元/kW·h，对于一个平均每天用电量为15kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的20%，则这个家庭每天在峰时段的平均用电量至多为kW·h.
8.某债券市场发行三种债券：
A种面值100元，一年到期本利共103元；B种面值50元，半年到期，本利共50.9元；C种面值为100元，但买入时只需付97元，一年到期拿回100元，则三种投资收益比例从小到大排列为.
9.“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：
总收入不超过1000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过1000元部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为x，x＝全月总收入－1000元，税率见下表：
级数
全月应纳税所得额x
税率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2000元部分
10%
3
超过2000元至5000元部分
15%
9
超过100000元部分
45%
（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1－3级纳税额f（x）的计算公式；
（2）某人2004年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？
10.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：
水费＝基本费＋超额费＋损耗费.若每月用水量不超过最低限量a（m3）只付基本费8元和每户每月定额损耗费c元；若用水量超过a（m3）时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元.该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：
月份
用水量（m3）
水费
1
9
9
2
15
19
3
22
33
根据表中的数据，求a、b、c.
11.如图所示铁路线上AB段的长为100km，工厂C到铁路的距离CA为20km，现要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨·千米的运费与公路每吨·千米的运费之比为3∶5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处？
12.某地区地理位置偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所获利润为P＝
（x－40）2＋10万元，为顺应开发大西北的宏伟政策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元，若开发该产品，必须在前5年中，
每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通，公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润Q＝
（60－x）2＋
·（60－x）万元.
问：
从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？
13.某班52名学生全部参加绿化美化环境的志愿者行动，这次行动要求完成栽400株花和种200棵树的任务.据经验如果栽花每个学生每小时可以栽3株，如果植树每个学生每小时可以植1棵，现把这52名学生分成甲、乙两组，甲组只栽花，乙组只植树，并且同时开始工作，为了在最短时间内完成这项任务，两组各应安排多少名同学？
并论述这种分组的合理性.
14.甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过ckm/h，已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度V（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定成本为a元.
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域.
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
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