故a1＝0，a2＝1，a3＝2，…，an＝n－1.
5．（文）（2010·揭阳市模拟）某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d（km）（d<200km）的中心城市，其产销资料如表：
当距离d达到n（km）以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．（经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本），则n的值为________.
作物
项目
水果
蔬菜
稻米
甘蔗
市场价格（元/kg）
8
3
2
1
生产成本（元/kg）
3
2
1
0.4
运输成本（元/kg·km）
0.06
0.02
0.01
0.01
单位面积相对产量（kg）
10
15
40
30
[答案] 50
[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4，则y1＝50－0.6d，y2＝15－0.3d，y3＝40－0.4d，y4＝18－0.3d，
由
⇒50≤d<200，故n＝50.
（理）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m>0）在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
[答案] －8
[解析] 解法1：
由已知，定义在R上的奇函数f（x）图象一定过原点，又f（x）在区间[0,2]上为增函数，所以方程f（x）＝m（m>0）在区间[0,2]上有且只有一个根，不妨设为x1；
∵f（x1）＝－f（－x1）＝－[－f（－x1＋4）]＝f（－x1＋4），∴－x1＋4∈[2,4]也是一个根，记为x2，
∴x1＋x2＝4.
又∵f（x－4）＝－f（x），∴f（x－8）＝f（x），∴f（x）是周期为8的周期函数，
∴f（x1－8）＝f（x1）＝m，不妨将此根记为x3，
且x3＝x1－8∈[－8，－6]；同理可知x4＝x2－8∈[－6，－4]，
∴x1＋x2＋x3＋x4＝x1＋x2＋x1－8＋x2－8＝－8.
解法2：
∵f（x）为奇函数，且f（x－4）＝－f（x），
∴f（x－4）＝f（－x），以2－x代入x得：
f（－2－x）＝f（－2＋x）
∴f（x）的图象关于直线x＝－2对称，
又f（x）为奇函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2也对称．
又f（x－8）＝f（（x－4）－4）＝－f（x－4）＝f（x），
∴f（x）的周期为8.
又在R上的奇函数f（x）有f（0）＝0，f（x）在[0,2]上为增函数，方程f（x）＝m，在[－8,8]上有四个不同的根x1、x2、x3、x4.
∴必在[－2,2]上有一实根，不妨设为x1，∵m>0，∴0≤x1≤2，∴四根中一对关于直线x＝2对称一对关于直线x＝－6对称，故x1＋x2＋x3＋x4＝2×2＋2×（－6）＝－8.
6．（文）某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用（即有400公斤不需要保管）．
（1）设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1（元）关于x的函数关系式；
（2）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y（元）最少，并求出这个最小值．
[解析]
（1）每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天（也就是下次购买原材料的前一天）用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天．
∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为
y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋（x－1）]＝6x2－6x.
（2）由
（1）可知，购买一次原材料的总的费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600（元），
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y＝
＋6x＋594＝2
＋594＝714.
当且仅当
＝6x，即x＝10时，取得等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．
（理）当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009的哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：
①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12千米；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16千米；③一辆出租车日平均行程为200千米．
（1）从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济（即省钱）；
（2）假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．
[解析]
（1）设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为P元，
由题意可知，W＝
×2.8＝
（t≥0且t∈N）
×3≤P≤
×3 （t≥0且t∈N），
即37.5t≤P≤40t.
又
>40t，即W>P，所以使用液化气比使用汽油省钱．
（2）①令37.5t＋5000＝
，解得t≈545.5，
又t≥0，t∈N，∴t＝546.
②令40t＋5000＝
，解得t＝750.
所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱．
7．（文）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系：
x＝2000
.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）在乙方年产量为t吨时，甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
[解析]
（1）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为：
w＝2000
－st（t≥0）
因为w＝2000
－st＝－s（
－
）2＋
，
所以当t＝
2时，w取得最大值．
所以乙方取得最大利润的年产量t＝
2吨
（2）设甲方净收入为v元，则v＝st－0.002t2，
将t＝
2代入上式，得到甲方纯收入v与赔付价格s之间的函数关系式：
v＝
－
，
又v′＝－
＋
＝
，
令v′＝0得s＝20.
当s<20时，v′>0；
当s>20时，v′<0.
所以s＝20时，v取得最大值．
因此甲方向乙方要求赔付价格s＝20（元/吨）时，获最大纯收入．
（理）（2010·济南一中）2009年，浙江吉利与褔特就收购福特旗下的沃尔沃达成初步协议，吉利计划投资20亿美元来发展该品牌．据专家预测，从2009年起，沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆（2009年销售量为20000辆），销售利润每辆每年比上一年减少10%（2009年销售利润为2万美元/辆）．
（1）第n年的销售利润为多少？
（2）求到2013年年底，浙江吉利能否实现盈利（即销售利润超过总投资，0.95≈0.59）．
[解析]
（1）∵沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆，
∴沃尔沃汽车的销售量构成了首项为20000，公差为10000的等差数列{an}．
∴an＝10000＋10000n.
∵沃尔沃汽车的销售利润按照每辆每年比上一年减少10%，因此每辆汽车的销售利润构成了首项为2，公比为1－10%的等比数列{bn}．∴bn＝2×0.9n－1.
第n年的销售利润记为cn，则cn＝an·bn＝（10000＋10000n）×2×0.9n－1.
（2）设到2013年年底，浙江吉利盈利为S，则
S＝20000×2＋30000×2×0.9＋40000×2×0.92＋50000×2×0.93＋60000×2×0.94①
0．9S＝20000×2×0.9＋30000×2×0.92＋40000×2×0.93＋50000×2×0.94＋60000×2×0.95②
①－②得，0.1S＝20000×2＋20000×（0.9＋0.92＋0.93＋0.94）－60000×2×0.95，
解得S＝10×（220000－320000×0.95）≈31.2×104>（20＋1.5）×104.
所以到2013年年底，浙江吉利能实现盈利．
1．（2010·江苏南通九校）若a>1，设函数f（x）＝ax＋x－4的零点为m，g（x）＝logax＋x－4的零点为n，则
＋
的取值范围是（ ）
A．（3.5，＋∞）B．（1，＋∞）
C．（4，＋∞）D．（4.5，＋∞）
[答案] B
[分析] 欲求
＋
的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨m、n之间的关系，观察f（x）与g（x）的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y＝ax和对数函数y＝logax与直线y＝－x＋4的交点的横坐标，因为指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，故其图象关于直线y＝x对称，又因直线y＝－x＋4垂直于直线y＝x，指数函数y＝ax和对数函数y＝logax与直线y＝－x＋4的交点的横坐标之和是直线y＝x与y＝－x＋4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m，n的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可．
[解析] 令ax＋x－4＝0得ax＝－x＋4，令logax＋x－4＝0得logax＝－x＋4，
在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝logax，y＝－x＋4的图象，结合图形可知，n＋m为直线y＝x与y＝－x＋4的交点的横坐标的2倍，由
，解得x＝2，所以n＋m＝4，
因为（n＋m）
＝1＋1＋
＋
≥4，又n≠m，故（n＋m）
>4，则
＋
>1.
2．（2011·温州十校模拟）已知函数f（x）＝2mx2－2（4－m）x＋1，g（x）＝mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0,2）B．（0,8）
C．（2,8）D．（－∞，0）
[答案] B
[解析] 当m≤0时，显然不合题意；当m>0时，f（0）＝1>0，①若对称轴
≥0即0②若对称轴
<0，即m>4，只要Δ＝4（4－m）2－8m＝4（m－8）（m－2）<0即可，即4综上03．定义域为D的函数f（x）同时满足条件：
①常数a，b满足aA．1对B．2对
C．3对D．4对
[答案] C
[分析] 由“k级矩形”函数的定义可知，f（x）＝x3的定义区间为[a，b]时，值域为[a，b]，可考虑应用f（x）的单调性解决．
[解析] ∵f（x）＝x3在[a，b]上单调递增，
∴f（x）的值域为[a3，b3]．
又∵f（x）＝x3在[a，b]上为“1级矩形”函数，
∴
，解得
或
或
，
故满足条件的常数对共有3对．
[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．
4．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：
x＝t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y＝f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（ ）
[答案] C
[解析] A、B、D的面积都是随着t的增大而增长的速度越来越快，到t＝
时，增长的速度又减慢，而C图则从t＝
开始匀速增大与f（t）不符．
5．（2010·天津文，4）函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（ ）
A．（－2，－1）B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1,2）
[答案] C
[解析] ∵f（0）＝－1<0，f
（1）＝e－1>0，
即f（0）f
（1）<0，
∴由零点定理知，该函数在区间（0,1）内存在零点．
6．（2010·福建理，4）函数f（x）＝
的零点个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 令x2＋2x－3＝0得，x＝－3或1
∵x≤0，∴x＝－3，令－2＋lnx＝0得，lnx＝2
∴x＝e2>0，故函数f（x）有两个零点．
7．已知y＝x（x－1）（x＋1）的图象如图所示，今考虑f（x）＝x（x－1）（x＋1）＋0.01，则方程f（x）＝0.
①有三个实根
②当x<－1时，恰有一实根
③当－1④当0⑤当x>1时，恰有一实根
正确的有________．
[答案] ①②
[解析] ∵f（－2）＝－5.99<0，f（－1）＝0.01>0，
即f（－2）·f（－1）<0，
∴在（－2，－1）内有一个实根，结合图象知，方程在（－∞，－1）上恰有一个实根．所以②正确．
又∵f（0）＝0.01>0，结合图象知f（x）＝0在（－1,0）上没有实数根，所以③不正确．
又∵f（0.5）＝0.5×（－0.5）×1.5＋0.01＝－0.365<0，f
（1）>0.所以f（x）＝0在（0.5,1）上必
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