高二数学 76圆的方程备课资料大纲人教版必修.docx

高二数学 76圆的方程备课资料大纲人教版必修.docx

《高二数学 76圆的方程备课资料大纲人教版必修.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学 76圆的方程备课资料大纲人教版必修.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高二数学76圆的方程备课资料大纲人教版必修

2019-2020年高二数学7.6圆的方程（备课资料）大纲人教版必修

参考练习题

1.求下列各圆的标准方程：

（1）圆心在y=-x上且过两点（2，0），（0，-4）；

（2）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点（2，-1）.

（3）圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切.

分析：

从圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.

解：

（1）设圆心坐标为（a,b），则所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2,

∵圆心在y=-x上，∴b=-a①

又∵圆过（2，0），（0，-4）

∴（2-a）2+b2=r2②

a2+（-4-b）2=r2③

由①②③联立方程组

可得a=3,b=-3,r2=10.

∴所求圆的方程为（x-3）2+（y+3）2=10.

（2）∵圆与直线x+y-1=0相切，并切于点M（2，-1），则圆心必在过点M（2，-1）且垂直于x+y-1=0的直线l上，l的方程为y=x-3，

即圆心为C（1，-2），

r=,

∴所求圆的方程为：

（x-1）2+（y+2）2=2.

（3）设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2,

∵圆与坐标轴相切，

∴a=±b,r=｜a｜

又∵圆心（a,b）在直线5x-3y=8上.

∴5a-3b=8,

由

得

∴所求圆的方程为：

（x-4）2+（y-4）2=16

或（x-1）2+（y+1）2＝1.

2.已知圆x2+y2=25.求：

（1）过点A（4，-3）的切线方程.

（2）过点B（-5，2）的切线方程.

分析：

求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在时，结合图形验证，当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式xx0+yy0=r2求得.

解：

（1）∵点A（4，-3）在圆x2+y2=25上.

∴过点A的切线方程为：

4x-3y-25=0.

（2）当过点B（-5，2）的切线的斜率存在时，设所求切线方程为y-2=k（x+5）.

即kx-y+5k+2=0

由

得.

∴此时切线方程为：

21x-20y+145=0.

当过点B（-5，2）的切线斜率不存在时，结合图形可知x=-5，也是切线方程.

综上所述，所求切线方程为：

21x-20y+145=0或x=-5.

3.求与圆x2+y2-2x=0外切，且与直线x+y=0相切于点（3，-）的圆的方程.

分析：

使用圆的标准方程，由题设列出方程组，求解待定系数.

解：

设所求圆方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.

圆x2+y2-2x=0的圆心为（1，0），

半径为1.

由两圆外切得

①

由圆与直线x+y=0切于点（3，-）.

∴

由②得b=（a-4）,

代入③得r=±（2a-6）.

将b=（a-4）及r=2a-6代入③，

得a=4,b=0,r=2.

同理，将r=-（2a-6）,b=（a-4）代入①，可得a=0,b=--4,r=6.

故所求圆的方程为

（x-4）2+y2=4或x2+（y+4）2=36.

●备课资料

参考练习题

1.求过P（5，-3），Q（0，6）两点，并且圆心在直线l：

2x-3y-6=0上的圆方程.

分析一：

（1）利用圆的标准方程，先求出PQ的垂直平分线l1，由l1与l的交点即圆心C，再求半径r=｜OC｜.

分析二：

（2）利用圆的一般方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0，分别将P、Q代入方程得两个方程组，再由圆心（）在直线l上得一方程，解关于D、E、F.

解：

设所求圆的方程为：

x2+y2+Dx+Ey+F=0

将P（5,-3）,Q（0,6）代入得

5D-3E+F=-34①

6E+F=-36②

又∵圆心（）在直线2x-3y-6=0上

∴2D-3E+12=0③

联①②③组成方程组

得D=-38,E=-,F=92.

∴所求圆的方程为x2+y2-38x-y+92=0.

2.圆C过点A（1，2），B（3，4）且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程.

分析：

因所求圆的弦长为6，为求弦长，

由｜x2-x1｜=及韦达定理来解.

解：

设所求圆的方程为：

x2+y2+Dx+Ey+F=0

令y=0得x2+Dx+F=0

由韦达定理，得x1+x2=-D,x1x2=F.

由｜x2-x1｜==6

∴D2-4F=36①

将A（1，2），B（3，4）分别代入

x2+y2＋Dx+Ey+F=0

得D+2E+F=-5②

3D+4E+F=-25③

解由①②③组成的方程组

得D=-8,E=-2,F=7或D=12,E=-22,F=27.

故所求圆的方程为：

x2+y2+12x-22y+27=0

或x2+y2-8x-2y+7=0

评述：

与弦长有关的问题，要注意使用韦达定理，这样可使运算简化.

3.已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ,求m的值.

分析：

设P1（x1,y1）、Q（x2,y2）.

由OP⊥OQ

得kOP·kOQ=-1

即x1x2+y1y2=0

故可用韦达定理来解.

解：

由

消去y得：

5x2+10x+4m-27=0.

设P1（x1,y1）、Q（x2,y2）

由韦达定理知x1·x2=，

x1+x2=-2.

消去x得：

5y2-12y+m=0

∴y1·y2=

由OP⊥OQ,

得kOP·kOQ=-1

∴=-1

∴x1x2+y1y2=0

∴=-1

∴m=2.

4.设方程（x2+y2-25）+a（2x-y-10）=0；a可取任何实数值，求证：

这个方程表示圆恒过两定点.

证明：

若（x2+y2-25）+a（2x-y-10）=0对任意a成立，则

解得：

即圆恒过定点（3，-4）、（5，0）.

5.△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，5），B（-2，-2），C（5，5），求其外接圆的方程.

分析：

设出圆的方程的一般式，列方程组求待定系数.

解：

设所求圆的方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0,

由题设得方程组

解得D=-4，E=-2，F=-20.

∴△ABC的外接圆方程为

x2+y2-4x-2y-20=0.

评述：

用待定系数法求圆的方程：

（1）如果由己知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a、b、r.

（2）如果己知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.

●备课资料

参考练习题

1.填空题

（1）已知圆的参数方程是（0≤θ＜2π）若圆上一点M的坐标为（4,-4），则M所对应的参数θ的值为.

分析：

将点M的坐标代入参数方程分别求得sinθ,cosθ的值，由此求θ的值.

解：

将点M（4，-4）代入

得

又∵0≤θ＜2π,∴θ=.

答案：

（2）已知圆的参数方程为,则它的普通方程为.

分析：

由参数方程解得cosθ、sinθ的表达式，由cos2θ+sin2θ=1求出x与y的关系式，即可求得.

解：

由

得

由cos2θ+sin2θ=1

得（x+5）2+（y-3）2=9

答案：

（x+5）2+（y-3）2=9

2.已知点M是圆x2+y2-4x=0上的一个动点，点N（2，6）为定点，当点M在圆上运动时，求线段MN的中点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形.

分析：

先将圆x2+y2-4x=0化为（x-2）2+y2=4利用圆的参数方程求解.

解法一：

将已知圆的方程化为：

（x-2）2+y2=4,

则其参数方程为

故可设点M（2+2cosθ,2sinθ）

又∵点N（2，6）.

∴MN的中点P为

∴点P的轨迹方程为：

它表示圆心在（2，3），半径为1的圆.

3.若实数x、y满足x2+y2-2x+4y=0，求x-y的最大值.

分析一：

将圆化为参数方程来解.

解法一：

将圆x2+y2-2x+4y=0变为

（x-1）2+（y+2）2=5,

∴圆的参数方程为

代入x-y得

x-y=（1+cosθ）-（-2+sinθ）

=3+（cosθ-sinθ）

=3+cos（θ+）

≤3+

∴x-y的最大值为3+.

分析二：

令x-y=u代入圆方程来解.

解析二：

令u=x-y，则y=x-u代入圆方程得2x2+2（1-u）x+u2-4u=0

由Δ=4（1-u）2-8（u2-4u）≥0

即u2-6u-1≤0

∴3-≤u≤3+

即3-≤x-y≤3+

∴x-y的最大值为3+.

4.已知对于圆x2+（y-1）2=1上任意一点P（x,y），不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：

将圆的参数方程代入x+y+m≥0，转化为求m的最值问题来解.

解：

由x2+（y-1）2=1得其参数方程为：

代入x+y+m≥0

得cosθ+1+sinθ+m≥0

∴m≥-cosθ-sinθ-1

∴m≥-sin（θ＋）-1恒成立，

∴转化为求-sin（θ+）-1的最大值，

∴-sin（θ+）-1的最大值为-1.

∴m≥-1.

5.已知圆x2+y2=1,定点A（1,0）,B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且∠BOC=（O为坐标原点），求△ABC重心G的轨迹方程.

分析：

利用三角形重心坐标公式：

来解.

解：

令B（cosθ,sinθ）,则C（cos（θ+）,sin（θ+））,设重心坐标为G（x,y）

则

化为普通方程得：

（x-）2+y2=.

2019-2020年高二数学7.6圆的方程（第一课时）大纲人教版必修

课时安排

3课时

从容说课

圆是同学们比较熟悉的曲线.本节将介绍圆的标准方程、一般方程和参数方程，其中标准方程和一般方程又统称为圆的普通方程.三种方程各有特点，且可互化.所以通过对本节的学习，应熟练掌握圆的三种方程，并能相互灵活转化.

在初中几何课中己学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用.

●课题

§7.6.1圆的方程

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

圆的标准方程.

（二）能力训练要求

1.掌握圆的标准方程；

2.能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；

3.从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径.

（三）德育渗透目标

1.渗透数形结合思想；

2.培养学生的思维素质；

3.提高学生的思维能力.

●教学重点

已知圆的圆心为（a,b），半径为r，则圆的标准方程是（x-a）2+（y-b）2=r2.特别地，a=b=0时，它表示圆心在原点，半径为r的圆：

x2+y2=r2.

●教学难点

根据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数a、b、r，从而求出圆的标准方程.

●教学方法

引导法

引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出圆的标准方程.

●教具准备

投影片两张

第一张：

§7.6.1A

第二张：

§7.6.1B

例：

如图所示是圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的高度.（精确到0.01m）.

●教学过程

Ⅰ.课题导入

我们知道，平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点就是圆心，定长就是半径.那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？

Ⅱ.讲授新课

（打出投影片§7.7.1A）

请同学们试着来求一下圆心是C（a,b），半径是r的圆的方程.

［师］（引导学生分析）：

根据圆的定义，不难得出圆C就是到圆心C（a,b）的距离等于定长r的所有点所组成的集合.

［师］这个集合是怎样的一个集合呢？

是否可用数学语言把它描述出来？

［生］圆C就是集合P={M｜｜MC｜=r}.

［师］这样的话，不妨设M（x,y）是圆上任意一点，由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为……

［生］（回答）：

.

［师］整理此式，可得到……

［生］（x-a）2+（y-b）2=r2.

［师］这个方程就是圆心为C（a,b），半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点，这时a=0,b=0,则圆的方程是……

［生］x2+y2=r2.

［师］看来，只要已知圆心坐标和半径，便可写出圆的标准方程.

下面，我们看一些例子.

［例1］求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程.

分析：

要想写出圆的方程，需知圆心坐标和半径，圆心为C（1，3），而半径需根据已知条件求得，因为圆C和直线3x-4y-7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离，而后可写出圆C的方程.

解：

已知圆心是C（1，3），

∵圆C和直线3x-4y-7=0相切，

∴半径r等于圆心C到这条直线的距离.

由点到直线距离公式，可得

r=.

∴所求的圆的方程是

（x-1）2+（y-3）2=.

［例2］已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程.

分析：

欲求过M的直线方程，只要求出此直线斜率即可.

解：

设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1，

∵圆的切线垂直于过切点的半径，

∴k=-.

∵k1=.

∴k=-.

∴经过点M的切线方程是：

y-y0=-（x-x0）,

整理得x0x+y0y=x02+y02.

又∵点M（x0,y0）在圆上，

∴x02+y02=r2.

∴所求切线方程是x0x+y0y=r2.

当点M在坐标轴上时，切线方程为：

x=x0或y=y0.

可看出上面方程也同样适用.

（打出投影片§7.7.1B）

［例3］这是一实际应用例子.

分析：

首先我们应建立恰当的坐标系，将这一问题转化为数学问题.

解：

建立坐标系，圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0,b），圆的半径是r，那么圆的方程是x2+（y-b）2=r2.

∵P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.

∴

解得：

b=-10.5,r2=14.52

∴圆方程为：

x2+（y+10.5）2=14.52.

把点P2的横坐标x=-2代入这个圆方程，

得（-2）2+（y+10.5）2=14.52,

∵P2的纵坐标y＞0

∴y+10.5=

即y=-10.5

≈14.36-10.5=3.86（m）

答：

支柱A2P2的高度约为3.86m.

Ⅲ.课堂练习

［生］课本P77,练习1，2，3，4.

1.写出下列各圆的方程：

（1）圆心在原点，半径是3；

解：

x2+y2=9.

（2）圆心在点C（3，4），半径是；

解：

（x-3）2+（y-4）=5.

（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，-3）

解：

r=｜PC｜=

圆方程为：

（x-8）2+（y+3）2=25

2.已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程.

解：

∵圆的半径r为原点到直线4x+3y-70=0的距离.

∴r=.

∴圆方程为：

x2+y2=196.

3.写出过圆x2+y2=10上一点M（2,）的切线的方程.

解：

利用例2结论可得：

切线方程为2x+y=10.

4.已知圆的方程是x2+y2=1,求：

（1）斜率等于1的切线的方程.

（2）在y轴上截距是的切线的方程.

解：

（1）设切点坐标为M（x0,y0）

则kOM=-1=

又∵x02+y02=1

∴

∴切线方程为y＋=x-

或y-=x+

即:

y=x±.

（2）设切点M（x0,y0），切线与y轴交点B（0，）

则：

kOM·kBM=-1

即=-1

x02+y02-y0=0

又∵x02+y02=1

∴

∴切线方程为y=±x+.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，首先要掌握根据圆心坐标和圆的半径可写出圆的标准方程.

其次，根据圆的标准方程可求得圆心坐标和半径.

另外，还要会变通一些条件，从而求得圆的半径或圆心坐标，以便写出圆的标准方程.还需了解的是过圆x2+y2=r2上一点（x0,y0）的切线方程为：

x0x+y0y=r2.

最后，还要注意结合初中所学的平面几何知识和前面所学的直线方程的有关知识解决一些综合性问题.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P81习题7.61,2,3,4.

（二）1.预习内容：

课本P77～79

2.预习提纲：

（1）圆的一般方程有何特点？

（2）圆的标准方程和圆的一般方程如何互化？

●板书设计

§7．6．1圆的方程

（一）

一、圆的标准方程

（x-a）2+（y-b）2=r2［例3］

［例1］

［例2］