中考总复习圆的切线专题.docx
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中考总复习圆的切线专题
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题型专项（八）与切线有关的证明与计算
类型 1与全等三角形有关
1．（2016· 梧州）如图，过⊙O 上的两点 A，B 分别作切线，交于 BO，AO 的延长线于点 C，
D，连接 CD，交⊙O 于点 E，F，过圆心 O 作 OM⊥CD，垂足为点 M.
求证：
（1）△ACO≌△BDO；
（2）CE＝DF.
证明：
（1）∵AC，BD 分别是⊙O 的切线，
∴∠A＝∠B＝90°.
又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，
∴△ACO≌△BDO.
（2）∵△ACO≌△BDO，
∴OC＝OD.
又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.
又∵OM⊥EF，点 O 是圆心，
∴EM＝FM.
∴CM－EM＝DM－FM.
∴CE＝DF.
2．（2016· 玉林模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝60°，P 是 OB 上一点，过 P 作 AB
的垂线与 AC 的延长线交于点 Q，过点 C 的切线 CD 交 PQ 于点 D，连接 OC.
（1）求证：
△CDQ 是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求 BP∶PO 的值．
解：
（1）证明：
由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.
∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.
∵CD 是⊙O 的切线，CO 是半径，
∴CD⊥CO.
∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.
∴∠DCQ＝∠Q.
故△CDQ 是等腰三角形．
（2）设⊙O 的半径为 1，则 AB＝2，OC＝1，BC＝ 3.
∵等腰三角形 CDQ 与等腰三角形 COB 全等，
∴CQ＝CB＝ 3.
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∴AQ＝AC＋CQ＝1＋ 3.
11＋ 3
22
3－ 3
2
2
.
∴BP∶PO＝ 3.
3．（2016· 柳州）如图，AB 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，点 P 是线段 CA 的延长线上一点，
点 E 在弧上且满足 PE2＝PA·PC，连接 CE，AE，OE 交 CA 于点 D.
（1）求证：
△PAE∽△PEC；
（2）求证：
PE 为⊙O 的切线；
1
2
证明：
（1）∵PE2＝PA·PC，
PEPA
PCPE
又∵∠APE＝∠EPC，
∴△PAE∽△PEC.
（2）∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE.
1
2
1
2
∴∠OAE＝∠OEA.
∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°，
∴∠AOE＋2∠OEA＝180°，
即 2∠PEA＋2∠OEA＝180°.
∴∠PEA＋∠OEA＝90°.
∴PE 为⊙O 的切线．
（3）设⊙O 的半径为 r，则 AB＝2r.
∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝ 3r.
过点 O 作 OF⊥AC 于点 F，
1
22
r3
22
在△ODF 与△PDE 中，
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⎧∠ODF＝∠PDE，
⎨∠OFD＝∠PED，
⎩OF＝PE，
∴△ODF≌△PDE.∴DO＝DP.
类型 2与相似三角形有关
4．（2016· 泰州）如图
在ABC 中，∠ACB＝90°，在 D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙O
交 BC 于点 E，连接 AE 交 CD 于点 P，交⊙O 于点 F，连接 DF，∠CAE＝∠ADF.
（1）判断 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求 CP 的长．
解：
（1）AB 是⊙O 切线．
理由：
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE＋∠CEA＝90°.
∵∠CAE＝∠ADF，∠CDF＝∠CEA，
∴∠ADF＋∠CDF＝90°.
∴AB 是⊙O 切线．
（2）连接 CF.
∵∠ADF＋∠CDF＝90°，∠PCF＋∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠PCF.
∴∠PCF＝∠PAC.
又∵∠CPF＝∠APC，
PCPF
PAPC
∴PC2＝PF·PA.设 PF＝a，则 PC＝2a.
∴4a2＝a（a＋5）．
5
3
10
3
5．（2015· 北海）如图，AB，CD 为⊙O 的直径，弦 AE∥CD，连接 BE 交 CD 于点 F，过点 E
作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P，使∠PED＝∠C.
（1）求证：
PE 是⊙O 的切线；
（2）求证：
ED 平分∠BEP；
（3）若⊙O 的半径为 5，CF＝2EF，求 PD 的长．
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解：
（1）证明：
连接 OE.
∵CD 是圆 O 的直径，
∴∠CED＝90°.
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠OEC.
又∵∠PED＝∠C，
∴∠PED＝∠OEC.
∴∠PED＋∠OED＝∠OEC＋∠OED＝90°，即∠OEP＝90°.
∴OE⊥EP.
又∵点 E 在圆上，
∴PE 是⊙O 的切线．
（2）证明：
∵AB，CD 为⊙O 的直径，
∴∠AEB＝∠CED＝90°.
∴∠AEC＝∠DEB（同角的余角相等）．
又∵∠PED＝∠C，AE∥CD，
∴∠PED＝∠DEB，
即 ED 平分∠BEP.
（3）设 EF＝x，则 CF＝2x.
∵⊙O 的半径为 5，
∴OF＝2x－5.
在
OEF 中，OE2＝EF2＋OF2，即 52＝x2＋（2x－5）2，解得 x＝4，
∴EF＝4.
∴BE＝2EF＝8，CF＝2EF＝8.
∴DF＝CD－CF＝10－8＝2.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB＝90°.
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝6.
∵∠BEP＝∠A，∠EFP＝∠AEB＝90°，
∴△EFP∽△AEB.
PFEFPF4
∴BE＝AE，即 8 ＝6.
3
.
1610
33
6．（2014· 桂林）如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，P 为 BC 延长线上一点，∠PAC＝∠B，
AD 为⊙O 的直径，过点 C 作 CG⊥AD 于点 E，交 AB 于点 F，交⊙O 于点 G.
（1）判断直线 PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
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（2）求证：
AG2＝AF·AB；
（3）若⊙O 的直径为 10，AC＝2 5，AB＝4 5
求AFG 的面积．
解：
（1）PA 与⊙O 相切．
理由：
连接 CD.
∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠D＋∠CAD＝90°.
∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，
∴∠PAC＝∠D.
∴∠PAC＋∠CAD＝90°，即 DA⊥PA.
∵点 A 在圆上，∴PA 与⊙O 相切．
（2）证明：
连接 BG.
∵AD 为⊙O 的直径，CG⊥AD，
︵︵
∴AC＝AG.∴∠AGF＝∠ABG.
∵∠GAF＝∠BAG，∴△AGF∽△ABG.
∴AG∶AB＝AF∶AG.∴AG2＝AF·AB.
（3）连接 BD.
∵AD 是直径，∴∠ABD＝90°.
∵AG2＝AF·AB，AG＝AC＝2 5，AB＝4 5，
AG2
AB
∵CG⊥AD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.
∵∠EAF＝∠BAD
∴AEF∽△ABD.
AFAE5
＝，即＝
∴EF＝ AF2－AE2＝1.
∵EG＝ AG2－AE2＝4，
∴FG＝EG－EF＝4－1＝3.
11
∴S△AFG＝2FG·AE＝2×3×2＝3.
类型 3与锐角三角函数有关
7．（2014· 梧州）如图，已知⊙O 是以 BC 为直径的△ABC 的外接圆，OP∥AC，且与 BC 的
垂线交于点 P，OP 交 AB 于点 D，BC，PA 的延长线交于点 E.
（1）求证：
PA 是⊙O 的切线；
3
5
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解：
（1）证明：
连接 OA.
∵AC∥OP，∴∠AOP＝∠OAC，∠BOP＝∠OCA.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠AOP＝∠BOP.
又∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP＝∠OBP.
∵BP⊥CB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴OA⊥PA.
∴PA 是⊙O 的切线．
（2）∵PB⊥CB，∴PB 是⊙O 的切线．
又∵PA 是⊙O 的切线，
∴PA＝PB＝6.
PBAO3
EPEO5
在
OPB 中，OP＝ 62＋32＝3 5.
∵BC 为⊙O 直径，∴∠CAB＝90°.
∴∠CAB＝∠OBP＝90°，∠OCA＝∠BOP.
ACCB
BOOP
CB·BO186 5
OP3 55
8．（2015· 来宾）已知⊙O 是以 AB 为直径的△ABC 的外接圆，OD∥BC 交⊙O 于点 D，交
AC 于点 E，连接 AD，BD，BD 交 AC 于点 F.
（1）求证：
BD 平分∠ABC；
（2）延长 AC 到点 P，使 PF＝PB，求证：
PB 是⊙O 的切线；
3
5
解：
（1）证明：
∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD.
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB.
∴∠CBD＝∠OBD.
∴BD 平分∠ABC.
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（2）证明：
∵⊙O 是以 AB 为直径的△ABC 的外接圆，
∴∠ACB＝90°.∴∠CFB＋∠CBF＝90°.
∵PF＝PB，∴∠PBF＝∠CFB.
由
（1）知∠OBD＝∠CBF，
∴∠PBF＋∠OBD＝90°.∴∠OBP＝90°.
∴PB 是⊙O 的切线．
（3）∵在
ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，
BCBC3
AB105
∴BC＝6，AC＝ AB2－BC2＝8.
∵OD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，∠AED＝∠OEC＝180°－∠ACB＝90°.
ACBCAB， 8 ＝ 6 ＝10.
∴AE＝4，OE＝3.
∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.
∴AD＝ AE2＋DE2＝ 42＋22＝2 5.
9．（2016· 柳州模拟）如图，已知：
AC 是⊙O 的直径，PA⊥AC，连接 OP，弦 CB∥OP，直
线 PB 交直线 AC 于点 D，BD＝2PA.
（1）证明：
直线 PB 是⊙O 的切线；
（2）探究线段 PO 与线段 BC 之间的数量关系，并加以证明；
（3）求 sin∠OPA 的值．
解：
（1）证明：
连接 OB.
∵BC∥OP，OB＝OC，
∴∠BCO＝∠POA，
∠CBO＝∠POB，∠BCO＝∠CBO.
∴∠POA＝∠POB.又∵PO＝PO，OB＝OA，
∴△POB≌△POA.∴∠PBO＝∠PAO＝90°.
∴PB 是⊙O 的切线．
3
2
证明：
∵△POB≌△POA，∴PB＝PA.
∵BD＝2PA，∴BD＝2PB.
∵BC∥PO
∴DBC∽△DPO.
BCBD2
POPD3
（3）∵CB∥OP
∴DBC∽△DPO.
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DOPD33
1
3
设 OA＝x，PA＝y.则 OD＝3x，OB＝x，BD＝2y.
在
OBD 中，由勾股定理得（3x）2＝x2＋（2y）2，即 2x2＝y2.
∵x＞0，y＞0，∴y＝ 2x，OP＝ x2＋y2＝ 3x.
OAx13
∴sin∠OPA＝＝＝＝.
类型 4与特殊四边形有关
10．（2016· 玉林）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在圆上，且四边形 AOCD 是平行四边形，
过点 D 作⊙O 的切线，分别交 OA 延长线与 OC 延长线于点 E，F，连接 BF.
（1）求证：
BF 是⊙O 的切线；
（2）已知圆的半径为 1，求 EF 的长．
解：
（1）证明：
连接 OD.
∵EF 为⊙O 的切线，
∴∠ODF＝90°.
∵四边形 AOCD 为平行四边形，
∴AO＝DC，AO∥DC.
又∵DO＝OC＝OA，
∴DO＝OC＝DC.
∴△DOC 为等边三角形．
∴∠DOC＝∠ODC＝60°.
∵DC∥AO，
∴∠AOD＝∠ODC＝60°.
∴∠BOF＝180°－∠COD－∠AOD＝60°.
在△DOF 和△BCF 中，
⎧DO＝BO，
⎨∠DOF＝∠BOF，
⎩OF＝OF，
∴△DOF≌△BOF.
∴∠ODF＝∠OBF＝90°.
∴BF 是⊙O 的切线．
（2）∵∠DOF＝60°，∠ODF＝90°，
∴∠OFD＝30°.
∵∠BOF＝60°，∠BOF＝∠CFD＋∠E，
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∴∠E＝∠OFD＝30°.
∴OF＝OE.
又∵OD⊥EF，
∴DE＝DF.
在
ODF 中，∠OFD＝30°.
∴OF＝2OD.
∴DF＝ OF2－OD2＝ 22－12＝ 3.
∴EF＝2DF＝2 3.
11．（2016· 宁波）如图，已知⊙O 的直径 AB＝10，弦 AC＝6，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，
过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E.
（1）求证：
DE 是⊙O 的切线；
（2）求 DE 的长．
解：
（1）证明：
连接 OD.
∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠DAO.
∴∠ODA＝∠DAE.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE.
∴DE 是⊙O 切线．
（2）过点 O 作 OF⊥AC 于点 F.
∴AF＝CF＝3.
∴OF＝ OA2－AF2＝ 52－32＝4.
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形 OFED 是矩形．
∴DE＝OF＝4.
12．（2015·桂林）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，AB＝4，PC，PD 是⊙O 的两条
切线，C，D 为切点．
（1）如图 1，求⊙O 的半径；
（2）如图 1，若点 E 是 BC 的中点，连接 PE，求 PE 的长度；
（3）如图 2，若点 M 是 BC 边上任意一点（不含 B，C），以点 M 为直角顶点，在 BC 的上方作
∠AMN＝90°，交直线 CP 于点 N，求证：
AM＝MN.
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解：
（1）连接 OD，OC.
∵PC，PD 是⊙O 的两条切线，C，D 为切点，
∴∠ODP＝∠OCP＝90°.
∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC.
∴四边形 DOCP 是正方形．
∵AB＝4，∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴DO＝CO＝DC· sin45°＝4×
2
2
（2）连接 EO，OP.
∵点 E 是 BC 的中点，
∴OE⊥BC，∠OCE＝45°，
则∠EOP＝90°.
∴EO＝EC＝2，OP＝ 2CO＝4.
∴PE＝ OE2＋OP2＝2 5.
（3）证明：
在 AB 上截取 BF＝BM.
∵AB＝BC，BF＝BM，
∴AF＝MC，∠BFM＝∠BMF＝45°.
∵∠AMN＝90°，
∴∠AMF＋∠NMC＝45°，∠FAM＋∠AMF＝45°.
∴∠FAM＝∠NMC.
∵由
（1）得 PD＝PC，∠DPC＝90°，
∴∠DCP＝45°.
∴∠MCN＝135°.
∵∠AFM＝180°－∠BFM＝135°，
⎧∠FAM＝∠CMN，
在△AFM 和△MCN 中，⎨AF＝MC，
⎩∠AFM＝∠MCN，
∴△AFM≌△MCN（ASA）．
∴AM＝MN.
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