二次函数应用拱桥问题.docx
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二次函数应用拱桥问题
二次函数综合应用题（拱桥问题）
适用学科
数学
适用年级
初中三年级
适用区域
全国
课时时长（分钟）
60
知识点
二次函数解析式的确定、二次函数的性质和应用
教学目标
1.掌握二次函数解析式求法。
2学会用二次函数知识解决实际问题，掌握数学建模的思想，进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。
3.进一步体验应用函数模型解决实际问题的过程，体会到数学来源于生活，又服务于生活，感受数学的应用价值。
教学重点
1.从实际问题中抽象出相应的函数关系式，并能理解坐标系中点坐标和线段之间关系；
2.根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中点的坐标
教学难点
如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。
教学过程
一、复习预习
平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？
对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。
这节我们就看二次函数解决拱桥问题。
二、知识讲解
考点/易错点1：
二次函数解析式的形式
1、一般式：
y=ax2+bx+c（a≠0）
2、顶点式：
y=a（x-h）2+k（a≠0）
顶点坐标（h，k）
直线x=h为对称轴，k为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值
3、双根式：
y=a（x-
）（x-
）（a≠0）（
是抛物线与x轴交点的横坐标）
并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x轴有交点时才行
4、顶点在原点：
5、过原点：
6、顶点在y轴：
考点/易错点2：
建立平面直角坐标系
1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置
2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。
三、例题精析
【例题1】
【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．
（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；
（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数表达式；
（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
【答案】
（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，
且过点（10，－4）
∴
故
（2）设水位上升hm时，水面与抛物线交于点（
）
则
∴
（3）当d＝18时，
∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。
【解析】顶点式：
y=a（x-h）
+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．
【例题2】
【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m
速度上升，经过多少小时会达到拱顶?
【答案】解：
以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的
顶点E在y轴上,且B、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）
设抛物线为y=ax²+k.
由B、D两点在抛物线上，有
解这个方程组，得
所以，
顶点的坐标为（0，
）则OE=
÷0.1=
（h）
所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过
小时会达到拱顶.
【解析】以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式
【例题3】
【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽
，水位上升3m，达到警戒线CD，这时水面宽
．若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
【答案】解：
根据题意设抛物线解析式为：
y＝ax2＋h
又知B（2
，0），D（2
，3）
∴
解得：
∴y＝－
x2＋6∴E（0，6）即OE＝6
EF＝OE－OF＝3t＝
＝
＝12（小时）
答：
水过警戒线后12小时淹到拱桥顶．
【解析】建立直角坐标系，求出解析式
四、课堂运用
【基础】
1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：
分）之间满足函数关系：
y＝－0.1x2＋2.6x＋43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？
x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？
【巩固】
1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=
表示
．在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
（1）在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗?
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:
前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问
:
如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?
若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超
过每小时多少千米?
【拔高】
1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图（3）所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。
这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?
是否会超过1m?
．
五、课程小结
（1）用函数的观点来认识问题，从实际问题中抽象出数学问题；
（2）根据题意建立直角坐标系， 建立数学模型，解决实际问题；
（3）找到两个变量之间的关系； 掌握数形结合思想；
（4）从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．感受数学在生活实际中使用
六、课后作业
【基础】
1、如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
求此抛物线的解析式。
【巩固】
1、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施?
【拔高】
1、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥?
（3）若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．
；
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