知识梳理与自测人教A版文科数学《13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词》.docx
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知识梳理与自测人教A版文科数学《13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词》
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲
考情考向分析
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2.理解全称量词和存在量词的意义．
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.
1．简单的逻辑联结词
（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
（2）命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
（1）全称量词：
短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：
短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p（x）成立
∀x∈M，p（x）
∃x0∈M，綈p（x0）
特称命题
存在M中的一个x0，使p（x0）成立
∃x0∈M，p（x0）
∀x∈M，綈p（x）
概念方法微思考
含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？
提示 p∨q：
一真即真；p∧q：
一假即假；p，綈p：
真假相反．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）命题“3≥2”是真命题．（ √ ）
（2）命题p和綈p不可能都是真命题．（ √ ）
（3）“全等三角形的面积相等”是特称命题．（ × ）
（4）命题綈（p∧q）是假命题，则命题p，q都是真命题．（ × ）
题组二 教材改编
2．[P18A组T1]已知p：
2是偶数，q：
2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
3．[P28T6（4）]命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．
答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形
题组三 易错自纠
4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.
5．（2018·郑州质检）命题“∃x0∈R，x－x0－1>0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2－x－1≤0
B．∀x∈R，x2－x－1>0
C．∃x0∈R，x－x0－1≤0
D．∃x0∈R，x－x0－1≥0
答案 A
6．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 ∵函数y＝tanx在上是增函数，
∴ymax＝tan＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1．（2018·石家庄模拟）命题p：
若sinx>siny，则x>y；命题q：
x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是（ ）
A．p或qB．p且qC．qD．綈p
答案 B
解析 取x＝，y＝，可知命题p是假命题；
由（x－y）2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
2．（2017·山东）已知命题p：
∃x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：
若a2A．p∧qB．p∧（綈q）
C．（綈p）∧qD．（綈p）∧（綈q）
答案 B
解析 ∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝（－1）2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，
∴p为真命题，綈p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，（－1）2<（－2）2，但－1>－2，
∴q为假命题，綈q为真命题．
根据真值表可知p∧（綈q）为真命题，p∧q，（綈p）∧q，（綈p）∧（綈q）为假命题．
故选B.
3．已知命题p：
∃x0∈R，使sinx0＝；命题q：
∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（綈q）”是假命题；③命题“（綈p）∨q”是真命题；④命题“（綈p）∨（綈q）”是假命题，其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都填上）
答案 ②③
解析 因为对任意实数x，|sinx|≤1，而>1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，所以q为真．故②③正确．
思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
（1）确定命题的构成形式；
（2）判断其中命题p，q的真假；
（3）确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例1
（1）（2018·沈阳模拟）下列四个命题中真命题是（ ）
A．∀n∈R，n2≥n
B．∃n0∈R，∀m∈R，m·n0＝m
C．∀n∈R，∃m0∈R，mD．∀n∈R，n2答案 B
解析 对于选项A，令n＝，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.
（2）下列命题中的假命题是（ ）
A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，（x－1）2>0
C．∃x0∈R，lgx0<1D．∃x0∈R，tanx0＝2
答案 B
解析 当x∈N*时，x－1∈N，可得（x－1）2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.
命题点2 含一个量词的命题的否定
例2
（1）已知命题p：
“∃x0∈R，
－x0－1≤0”，则綈p为（ ）
A．∃x0∈R，
－x0－1≥0
B．∃x0∈R，
－x0－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1>0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
（2）（2018·福州质检）已知命题p：
∀x1，x2∈R，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）≥0，则綈p是（ ）
A．∃x1，x2∈R，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）≤0
B．∀x1，x2∈R，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）≤0
C．∃x1，x2∈R，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）<0
D．∀x1，x2∈R，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）<0
答案 C
解析 已知全称命题p：
∀x1，x2∈R，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）≥0，则綈p：
∃x1，x2∈R，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）<0，故选C.
思维升华
（1）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p（x0）成立．
（2）对全（特）称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练1
（1）（2018·东北三校联考）下列命题中是假命题的是（ ）
A．∃x0∈R，log2x0＝0B．∃x0∈R，cosx0＝1
C．∀x∈R，x2>0D．∀x∈R,2x>0
答案 C
解析 因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.
（2）已知命题p：
∃x0∈R，log2（
＋1）≤0，则（ ）
A．p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）≤0
B．p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）>0
C．p是真命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）≤0
D．p是真命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）>0
答案 B
解析 因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2（3x＋1）>0，所以p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）>0.故选B.
题型三 命题中参数的取值范围
例3
（1）（2018·大同质检）已知命题p：
“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：
“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
答案 [e,4]
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．
（2）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[0,3]时，f（x）min＝f（0）＝0，当x∈[1,2]时，
g（x）min＝g
（2）＝－m，由f（x）min≥g（x）min，
得0≥－m，所以m≥.
引申探究
本例
（2）中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[1,2]时，g（x）max＝g
（1）＝－m，
由f（x）min≥g（x）max，得0≥－m，∴m≥.
思维升华
（1）已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．
（2）对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决．
跟踪训练2
（1）已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．
答案
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．
设f（x）＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a<0，解得a>，
即实数a的取值范围为.
（2）已知c>0，且c≠1，设命题p：
函数y＝cx为减函数．命题q：
当x∈时，函数f（x）＝x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________．
答案 ∪（1，＋∞）
解析 由命题p为真知，0由命题q为真知，2≤x＋≤，
要使x＋>恒成立，需<2，即c>，
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0当p假q真时，c的取值范围是c>1.
综上可知，c的取值范围是∪（1，＋∞）．
常用逻辑用语
有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．
一、命题的真假判断
例1
（1）下列命题的否定为假命题的是________．（填序号）
①∀x∈R，－x2＋x－1<0；
②∀x∈R，|x|>x；
③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；
④∀x∈R，sin2x＋sinx＋1＝0.
答案 ①
解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．
（2）（2018·哈尔滨联考）已知命题p：
∀x∈R,3x<5x；命题q：
∃x0∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧qB．（綈p）∧q
C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）
答案 B
解析 若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题，
∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，
∴（綈p）∧q是真命题．
二、充要条件的判断
例2
（1）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵存在负数λ，使得m＝λn，∴非零向量m与n方向相反，∴m·n<0.
∵m·n<0，即|m||n|cos〈m，n〉<0，
∴cos〈m，n〉<0，∴m与n的夹角为钝角或平角，不一定有m与n反向，故选A.
（2）已知圆C：
（x－1）2＋y2＝r2（r>0）．设p：
0圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 圆C：
（x－1）2＋y2＝r2的圆心（1,0）到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2.当r∈（0,1）时，直线与圆相离，圆C上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆C上只有1个点到直线的距离为1；当r∈（1,2）时，直线与圆相离，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r∈（2,3）时，直线与圆相交，圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r∈（0,3）时，圆C上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1，可得0三、求参数的取值范围
例3
（1）（2018·周口模拟）若命题“∃x0∈R，x＋（a－1）x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－1,3]
B．（－1,3）
C．（－∞，－1]∪[3，＋∞）
D．（－∞，－1）∪（3，＋∞）
答案 D
解析 因为命题“∃x0∈R，x＋（a－1）x0＋1<0”等价于“x＋（a－1）x0＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝（a－1）2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.
（2）已知命题p：
∃x∈R，（m＋1）·（x2＋1）≤0，命题q：
∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．
答案 （－∞，－2]∪（－1，＋∞）
解析 由命题p：
∃x∈R，（m＋1）（x2＋1）≤0，可得m≤－1，
由命题q：
∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题，
当p真q假时，m≤－2；
当p假q真时，－1当p假q假时，m≥2，
所以m≤－2或m>－1.
1．已知命题p：
“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：
“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则（ ）
A．p∨q为真B．p∧q为真
C．p真q假D．p∨q为假
答案 D
解析 由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．因此选D.
2．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，>2
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋（－）＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
3．已知命题p：
∃x0∈R，x＋1<2x0；命题q：
若mx2－mx＋1>0恒成立，则0A．“綈p”是假命题B．q是真命题
C．“p∨q”为假命题D．“p∧q”为真命题
答案 C
解析 因为x2＋1<2x，
即x2－2x＋1<0，也即（x－1）2<0，
所以命题p为假；
若mx2－mx＋1>0恒成立，
则m＝0或
则0≤m<4，所以命题q为假，故选C.
4．命题“∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0≤x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0>x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
C．∃x0∈R，∃n0∈N*，使得n0>x
D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x
答案 D
解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x”．故选D.
5．若∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A．（－∞，2]B．（2，3]
C.D．{3}
答案 A
解析 因为∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，所以∀x∈，2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，λ≤2x＋恒成立是真命题，令f（x）＝2x＋，则f′（x）＝2－，当x∈时，f′（x）<0，当x∈时，f′（x）>0，所以f（x）≥f＝2，则λ≤2.
6．命题p：
∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0,4]B．[0,4]
C．（－∞，0]∪[4，＋∞）D．（－∞，0）∪（4，＋∞）
答案 D
解析 因为命题p：
∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
所以綈p：
∃x0∈R，ax＋ax0＋1<0，
则a<0或解得a<0或a>4.
7．下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x0∈R，
≤0
B．∀x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
答案 D
解析 因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为当x＝－5时，2－5<（－5）2，所以B不正确；
“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确；
当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确．
8．（2018·东莞外国语学校月考）已知命题p：
∃x0∈R，cosx0＝；命题q：
∀x∈R，x2－x＋1>0.则下列结论正确的是（ ）
A．命题p∧q是真命题
B．命题p∧（綈q）是真命题
C．命题（綈p）∧q是真命题
D．命题（綈p）∨（綈q）是假命题
答案 C
解析 因为对任意x∈R，都有cosx≤1成立，而>1，所以命题p：
∃x0∈R，cosx0＝是假命题；因为对任意的x∈R，x2－x＋1＝2＋>0，
所以命题q：
∀x∈R，x2－x＋1>0是真命题．
由此对照各个选项，可知命题（綈p）∧q是真命题．
9．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为______________．
答案 ∃x0∈（0，＋∞），≤x0＋1
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________．
答案 （－4,0]
解析 “对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝（－k）2－4×k×（－1）＝k2＋4k<0，解得－411．已知命题“∃x0∈R，使2x＋（a－1）x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 （－1,3）
解析 原命题的否定为∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝（a－1）2－4×2×<0，则－212．已知命题p1：
∀x∈（0，＋∞），3x>2x，p2：
∃θ0∈R，sinθ0＋cosθ0＝，则在命题q1：
p1∨p2；q2：
p1∧p2；q3：
（綈p1）∨p2和q4：
p1∧（綈p2）中，真命题是________．
答案 q1，q4
解析 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在（0，＋∞）上恒成立，所以命题p1是真命题；sinθ＋cosθ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：
p1∨p2，q4：
p1∧（綈p2）是真命题．
13．（2018·三明模拟）已知命题p：
∃x0∈R，使tanx0＝1；命题q：
x2－3x＋2<0的解集是{x|1①命题“p且q”是真命题；
②命题“p且綈q”是假命题；
③命题“綈p或q”是真命题；
④命题“綈p或綈q”是假命题．
其中正确结论的序号为____________．
答案 ①②③④
解析 ∵命题p，q均为真命题，
∴“p且q”是真命题，“p且綈q”是假命题，“綈p或q”是真命题，“綈p或綈q”是假命题，故①②③④都正确．
14．已知命题p：
∃x0∈R，ex0－mx0＝0，命题q：
∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨（綈q）为假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 若p∨（綈q）为假命题，则p假q真．
由ex－mx＝0，可得m＝，x≠0，
设f（x）＝，x≠0，则
f′（x）＝＝，
当x>1时，f′（x）>0，函数f（x）＝在（1，＋∞）上是单调递增函数；当0（1）＝e，所以函数f（x）＝的值域是（－∞，0）∪[e，＋∞），由p是假命题，可得0≤m当命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.
所以当p∨（綈q）为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.
15．已知函数f（x）＝x＋，g（x）＝2x＋a，若∀x1∈，∀x2∈[2,3]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围是______________．
答案 （－∞，－3]
解析 由题意知f（x）min≥g（x）max（x∈[2,3]），因为f（x）在上为减函数，g（x）在[2,3]上为增函数，所以f（x）min＝f
（1）＝5，g（x）max＝g（3）＝8＋a，所以5≥8＋a，即a≤－3.
16．已知p：
∀x∈，2x>m（x2＋1），q：
函数f（x）＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是____________．
答案
解析 ∀x∈，2x>m（x2＋1），即m<＝在上恒成立，当x＝时，max＝，∴min＝，
∴由p真得m<.
设t＝2x，则t∈（0，＋∞），则函数f（x）化为g（t）＝t2＋2t＋m－1，由题意知g（t）在（0，＋∞）上存在零点，令g（t）＝0，得m＝－（t＋1）2＋2，又t>0，所以由q真得m<1.
又“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q一真一假，
则或解得≤m<1.
故所求实数m的取值范围是.
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