八年级上册一次函数经典例题.docx

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八年级上册一次函数经典例题

一次函数复习课

知识点1一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：

y=2x+3，y=-x+2，y=

x等都是一次函数，y=

x，y=-x都是正比例函数.

【说明】

（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.

（3）当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数.

（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.

知识点2函数的图象

把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：

列表、描点、连线．

知识点3一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．

由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：

直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-

，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.

知识点4一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质

（1）k的正负决定直线的倾斜方向；

①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②如图11－18

（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：

直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

知识点5正比例函数y=kx（k≠0）的性质

（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；

（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；

（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．

知识点6点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系

（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；

（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．

例如：

点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．

知识点7确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．

（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．

知识点8待定系数法

先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：

函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．

知识点9用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

（1）设函数表达式为y=kx+b；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

（3）求出k与b的值，得到函数表达式．

例如：

已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．

解：

设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），

由题意可知，

解

∴此函数的关系式为y=

．

【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：

第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）.

思想方法小结

（1）函数方法．

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．

（2）数形结合法．

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．

知识规律小结

（1）常数k，b对直线y=kx+b（k≠0）位置的影响．

①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；

当b=0时，直线经过原点；

当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．

②当k，b异号时，即-

＞0时，直线与x轴正半轴相交；

当b=0时，即-

=0时，直线经过原点；

当k，b同号时，即-

﹤0时，直线与x轴负半轴相交．

③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；

当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；

当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；

当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；

当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；

当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．

（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx（k≠0）的位置关系．

直线y=kx+b（k≠0）平行于直线y=kx（k≠0）

当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；

当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．

（3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．

①k1≠k2

y1与y2相交；

②

y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；

③

y1与y2平行；

④

y1与y2重合.

典例讲解

基本题

本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．

例1下列函数中，哪些是一次函数？

哪些是正比例函数？

（1）y=-

x；

（2）y=-

；（3）y=-3-5x；

（4）y=-5x2；（5）y=6x-

（6）y=x（x-4）-x2.

基础应用题

本节基础知识的应用主要包括：

（1）会确定函数关系式及求函数值；

（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．

例3一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长0．5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数．

学生做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是.

例4某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：

M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为℃．

例5已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当x=4时，求y的值；

（3）当y=4时，求x的值．

例6若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）

A．m﹤OB．m＞0

C．m﹤

D．m＞M

学生做一做某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．

（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；

（2）画出函数的图象；

（3）求5年后的产值．

例7已知一次函数y=kx+b的图象如图11－22所示，求函数表达式．

例8求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．

综合应用题

本节知识的综合应用包括：

（1）与方程知识的综合应用；

（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．

例8已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．

（1）y是x的一次函数吗？

请说明理由；

（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？

例9某移动通讯公司开设了两种通讯业务：

“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．

（1）写出y1，y2与x之间的关系；

（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？

（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？

例10已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）画出函数的图象；

（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？

（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；

（5）设点P在y轴负半轴上，

（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．

例11已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.

（1）k为何值时，它的图象经过原点？

（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?

（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？

（4）k为何值时，y随x的增大而减小？

例12判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．

探索与创新题

主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．

例13老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：

（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？

这说明了什么？

（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？

甲生说：

“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”

乙生说：

“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的．”

你认为这两个同学的说法正确吗？

例14某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：

“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：

“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．

（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；

（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．

学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：

每千克9元，由基地送货上门；乙方案：

每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．

（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；

（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？

并说明理由．

例15一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为.

中考试题预测

例1某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：

一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？

例2已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．

（1）求这个函数的解析式。

（2）在直角坐标系内画出这个函数的图象．

例3如图11－27所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据．

指距d/cm

20

21

22

23

身高h/cm

160

169

178

187

（1）求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围）

（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？

例4汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米／时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系用图象（如图11－28所示）表示应为（）

例5已知函数：

（1）图象不经过第二象限；

（2）图象经过点（2，-5）.请你写出一个同时满足

（1）和

（2）的函数关系式：

．

例6人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数，另么b=0．8（220-a）．

（1）正常情况下，在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少？

（2）一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次，他有危险吗？

例7某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下表所示．

（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．

例82006年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图11－29是某水库的蓄水量V（万米2）与干旱持续时间t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题．

（1）该水库原蓄水量为多少万米2？

持续干旱10天后．水库蓄水量为多少万米3？

（2）若水库存的蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，请问：

持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？

（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？

例9图11－30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题．

（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？

（2）这次比赛全程是多少千米？

（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？

例10如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：

1的两部分，求直线l的解析式．