高考数学三角函数大题综合训练.docx
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高考数学三角函数大题综合训练
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2017三角函数大题综合训练
一．解答题（共30小题）
1．（2016?
白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
2．（2016?
广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是
a、b、c，已知
3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos
2
A．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5
，b=5，求sinBsinC的值．
3．（2016?
成都模拟）已知函数
2
2
f（x）=cosx﹣sinxcosx﹣
sinx．
（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时
x的集合；
（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形
ABC的三个内角，若cosB=
，f（C）=﹣，求sinA的
值．
222
4．（2016?
台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c=a+b
﹣ab．
（1）求角C的值；
（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．
5．（2016?
惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．
6．（2015?
山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）
=，ac=2，求sinA和c的值．
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2
．
7．（2015?
新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sinB=2sinAsinC
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=
，求△ABC的面积．
8．（2015?
湖南）设△ABC
的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：
sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=
，且B为钝角，求A，B，C．
9．（2015?
新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD
面积是△ADC
面积的
2倍．
（1）求
；
（2）若AD=1，DC=
，求BD和AC的长．
10．（2015?
湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为
a、b、c，a=btanA，且B为钝
角．
（Ⅰ）证明：
B﹣A=
；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
2
px﹣p+1=0
11．（2015?
四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x+
（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小
（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．
12．（2015?
河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）
（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
13．（2015?
浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2
22
﹣a=c．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
14．（2015?
陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）
与=（cosA，sinB）平行．
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（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
15．（2015?
江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
16．（2015?
天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面
积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
17．（2015?
怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为
，求b，c．
18．（2015?
甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且bcosC=3acosB
﹣ccosB．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若
，且
，求a和c的值．
19．（2015?
衡水四模）在△ABC
中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，函数f（x）=2cosxsin
（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=
处取得最大值．
（1）当
时，求函数f（x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC=
，求△ABC的面积．
20．（2015?
潍坊模拟）已知函数
2
sinxcosx（x∈R）．
f（x）=2cosx+2
（Ⅰ）当x∈[0，
]时，求函数
f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=
（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．
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21．（2015?
济南二模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），
函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，
求△ABC的面积S．
22．（2015?
和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，
b=4，B=+A．
（1）求cosB的值；
（2）求sin2A+sinC的值．
23．（2015?
洛阳三模）在锐角△ABC中，=
（1）求角A；
（2）若a=，求bc的取值范围．
24．（2015?
河北区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
2cosAcosC+1=2sinAsinC．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．
25．（2015?
云南一模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，
sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若
（1）求A的大小；
（2）设为△ABC的面积，求的最大值及此时B的值．
26．（2015?
历下区校级四模）已知向量，，
若．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，
（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．
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27．（2015?
高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin
（A+）+2cos（B+C）=0，
（1）求A的大小；
（2）若a=6，求b+c的取值范围．
28．（2015?
威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，
sin（B﹣A）=cosC．
（Ⅰ）求A，B，C；
（Ⅱ）若S△ABC=3+
，求a，c．
29．（2015?
新津县校级模拟）已知向量
，函数f（x）=
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，若f（B）=1，b=
，sinA=3sinC，
求△ABC的面积．
30．（2015?
和平区二模）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，
BC=5．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长．
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三角函数大题综合训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2016?
白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】
（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角
和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C
的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，
进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．
【解答】解：
（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，
∴由正弦定理化简已知等式得：
=，
整理得：
2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosC=﹣，
∵C为三角形内角，
∴C=；
（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣
，
∴由余弦定理得：
2
2
2
2
2
c=a+b
﹣2abcosC，即4=a
+b+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤，（当且仅当
a=b时成立），
∵S=absinC=ab≤，
∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，
则当a=b=时，△ABC的面积最大为．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
2．（2016?
广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知
2
3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cosA．
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（I）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简
2
3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cosA，得到cosA的值，即可求解A．
（II）通过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．
【解答】解：
（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得
2
2cosA+3cosA﹣2=0，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．
解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣（
4分）
因为0＜A＜π，所以A=
．﹣﹣﹣﹣（
6分）
（II）由S=bcsinA=bc?
=
bc=5
，得bc=20．
又b=5，所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（
8分）
2
2
2
．﹣﹣﹣（10分）
由余弦定理，得a
=b+c﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=
又由正弦定理，得
sinBsinC=
sinA?
sinA=?
sin2
A=
×=
．﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，
两角和与差的三角函数，考查转化思想以
及计算能力．
3．（2016?
成都模拟）已知函数
f（x）=
2
2
cosx﹣
sinxcosx﹣sinx．
（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时
x的集合；
（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形
ABC的三个内角，若
cosB=
，f（C）=﹣，求sinA的
值．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】转化思想；综合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）取得最大值时x的集合．
（Ⅱ）由条件求得
cos（2C+
）=﹣
，C=
，求出sinB的值，再根据sinA=sin（B+C）
求得它的值．
【解答】解：
（Ⅰ）函数
f（x）=
2
x﹣
2
2
2
cos
sinxcosx﹣sinx=cosx﹣sinxcosx+（cosx
2
﹣sinx）
=
﹣
sin2x+
cos2x=
+
cos（2x+
），
故函数取得最大值为
，此时，2x+
=2kπ时，即x的集合为{x|x=kπ﹣
，k∈Z}．
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（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）
=﹣，
∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+=，∴C=．
∵cosB=，∴sinB=，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+
=
．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，
同角三角函数的基本关系，属于中
档题．
4．（2016?
台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC
2
2
2
的三个内角A，B，C所对的边，且c=a+b
﹣ab．
（1）求角C的值；
（2）若b=2，△ABC的面积
，求a的值．
【考点】余弦定理；三角形的面积公式．
【专题】解三角形．
【分析】
（1）利用余弦定理，可求角
C的值；
（2）利用三角形的面积公式，可求
a的值．
2
2
2
﹣ab，∴cosC=
=
，
【解答】解：
（1）∵c
=a+b
∵0°＜C＜180°，∴C=60°；
（2）∵b=2，△ABC的面积，
∴=，
解得a=3．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键．
5．（2016?
惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．
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【考点】余弦定理的应用；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出
D角的正弦函数值，然后求
△ACD的面积；
（Ⅱ）利用余弦定理求出
AC，通过BC=2
，利用正弦定理求解AB的长．
【解答】（共13分）
解：
（Ⅰ）因为∠D=2∠B，
，
所以
．⋯（3分）
因为∠D∈（0，π），
所以
．⋯（5分）
因为AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积
．⋯（7分）
2
2
2
．
（Ⅱ）在△ACD中，AC=AD
+DC﹣2AD?
DC?
cosD=12
所以
．⋯（9分）
因为
，
，⋯（11分）
所以
．
所以AB=4．⋯（13分）
【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查．
6．（2015?
山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）
=，ac=2，求sinA和c的值．
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．
【专题】解三角形．
【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；
②利用正弦定理解之．
【解答】解：
①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，
sin（A+B）=
，ac=2
，所以sinB=
，sinAcosB+cosAsinB=
，
所以sinA+cosA=
，结合平方关系
2
2
sinA+cosA=1，
得27sin2
A﹣6
sinA﹣16=0，
解得sinA=
或者sinA=﹣
（舍去）；
②由正弦定理，
由①可知sin（A+B）=sinC=
，sinA=
，
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所以a=2
c，又ac=2
，所以c=1．
【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，
用到了两角和与差的正弦函数、
同角三角
函数的基本关系式、正弦定理等知识．
2
．
7．（2015?
新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sinB=2sinAsinC
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=
，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
2
2
【分析】（I）sinB=2sinAsinC，由正弦定理可得：
b=2ac，再利用余弦定理即可得出．
（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．
2
【解答】解：
（I）∵sin
B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：
＞0，
代入可得（bk）2=2ak?
ck，
2
∴b=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：
cosB===．
（II）由（I）可得：
b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
2
2
∴a+c=2ac，解得a=c=．
∴S△ABC==1．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、
勾股定理、三角形面积计算公式，
考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
8．（2015?
湖南）设△ABC
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：
sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=
，且B为钝角，求A，B，C．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得
=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．
（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得
sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由
（1）
2
B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形
sinB=cosA，可得sinB=，结合范围可求
内角和定理可求C．
【解答】解：
（Ⅰ）证明：
∵a=btanA．
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