勾股定理经典例题含答案.docx
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勾股定理经典例题含答案
勾股定理经典例题含答案11页
勾股定理是一个大体的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
若是直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2,假设a、b、c都是正整数,（a,b,c）叫做勾股数组。
勾股定理现约有500种证明方式，是数学定理中证明方式最多的走理之一°勾股定理是人类发觉并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是的纽带之一。
"勾三,股四,弦五"是勾股走理的一个最闻名的。
远在公元前约三千年的人就明白和应用勾股定理，还明白许多勾股数组。
古埃及人也应用过勾股定理。
在中国，西周的提出了"勾三股四弦五"的勾股走理的特例。
在西方,最先提出并证明此走理的为公元前6世纪古希腊的,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
类型一:
勾股定理的直接用法
—、在Rt-ABC中，zC=90°
⑴已知a=6,c=10,求b,
（2）已知a=40,b=9,求c;（3）已知c=25,b=15,求a.
思路点拨：
写解的进程中,必然要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股走理的变形利用。
解析：
⑴在"BC中，zC=90°,a=6,c=10,b=J』一』=8
（2）在3\BC中，zC=90°,a=40,=41
（3）在厶ABC中,zC=90°,c=25,b=15,a=一护=20
触类旁通
【变式】：
如图^B=^ACD=^°,AD=X3.CD=12.BC=3.那么AB的长是多少?
【答案】•."100=90°
AD=13,CD=12
.••AC2=AD2-CD2
=132-122
:
.AC=S
又・・zABO90°且BC=3
.••由勾股走理可得
AB2=AC2・BC2
=52-32
:
.AB=4
•・AB的长是4
类型二：
勾股走理的构造应用
二如图，已知：
在山力中，=60°,AC=10，血=30.求：
30的长.
思路点拨：
由条件=6胪，想到构造含刃°角的直角三角形，为此作2D丄于0,那么有
的长.
解析：
作丄。
丄EC于。
，那么因=60°,
.Z^£）=90°-60o=30°（甩A的两个锐角互余）
BD=-AB=\5
・・2（在应△中，若是一个锐角等于,
那么它所对的直角边等于斜边的一半）・
根据勾股走理，在就⑷°中.
且0=』30匚廿=15柘
■
根据勾股走理,在魁WD中,
CD=一加2=^702-152x3=65
■
・5C=S£）+DC=65+15=80
•••
触类旁通【变式1】如图，已知：
ZC=90°zAM=CM,MPYAB求证：
BP2=AP2+BC\
cm*
解析:
连结BM,依照勾股走理，在P^BMP中，
胪二妣2_»
■
而在B1LAMP中,那么依照勾股走理有
MP2=曲一AP2
■
■胡2=B胪_（卫也2_/0）=B胪_AM^+AP1
••
又•.•AM=CM（已知），
・bp2=bm2-cm^ap2
•••
在中，依照勾股走理有
紘二昨
t
・BP^BC^AP^
•••
【变式2】已知:
如图rzB=zD=90°,zA=60°,AB=4,CD=2O求:
四边形ABCD的面积。
分析：
如何构造直角三角形是解此题的关键，能够连结ACr或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点
E,依照此题给走的角应选后两种,进一步依照此题给定的边选第三种较为简单。
解析：
延长AD、BC交于E。
类型三：
勾股定理的实际应用
（-）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点动身，沿北偏东60°方向走了5如~屁抵达b点，然后再
沿北偏西30°方向上了500m抵达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确泄目的地C在营地A的什么方向。
解析：
（1）过B点作BE//AD
.\ZDAB=ZABE=60°
•••30°+ZCBA+ZABE=180°
•••ZCBA=90°
即AABC为宜角三角形
由已知可得：
BC=500m.AB=500^m
由勾股立理可得：
為C2=BC2+AB2
虫此AC=VSC2+AB2=/002+（5o叭存）2=100O（m）
（2）在RtAABC中,
VBC=500m>AC=1000m
•••ZCAB=30°
IZDAB=60°•••ZDAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
触类旁通
【变式】一辆装满货物的卡车•其外形髙2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车可否
【答案】由于厂门宽度是不是足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时英高度是不是小于CH.如下图,
点D在离厂门中线0.8米处，且CD丄AB,与地而交于H.解：
OC=1米（大门宽度一半），
OD=0.8米（卡车宽度一半）
在RtAOCD中，由勾股立理得：
CD=JoL_0刃2=712-0.82=0.6米，
CH=0.6+2.3=2.9（米）＞2.5（米）・
因此髙度上有0.4米的余量，因此卡车能通过厂门・
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费太髙的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村落A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个极点，现打算在四个村落联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部份・请你帮忙计算一下，哪一种架设方案最省电线.
思路点拨：
解答此题的思路是：
最省电线确实是线路长最短，通过利用勾股加理计算线路长，然后进行比较,得岀结论.
解析：
设正方形的边长为1,那么图
（1）、图
（2）中的总线路长别离为
AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3
图（3）中，在RtAABC中
同理=徙
・••图（3）中的线路长为2^«2.828
图（4）中，延长EF交BC于H,则FH丄BC,BH=CH
30°,=-
由ZFBH=2及勾股左理得：
遇,阴二更
EA=ED=FB=FC=36
•••EF=1-2FH=1-3
・••此图中总线路的长为4EA+EF=1+V3«2.732
T3>2.828>2.732
・••图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.
触类旁通
【变式】如图，一圆柱体的底而周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底而的直径.一只蚂蚁从点A动身,
沿着圆柱的侧而爬行到点C,试求岀爬行的最短路程.
解:
（提问：
勾股定理）
.•・+时=丿车+1（?
=2府=10.77（cm）（勾股左理）.
答：
最短路程约为10.77cm.
类型四：
利用勾股定理作长为石的线段
五、作长为旋、加、昉的线段。
思路点拨：
由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于庞，直角边为旋和1的直角三角形斜边长确实是右，类似地可作昉°
作法：
如下图
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角AACB,使AB为斜边：
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角小占人。
斜边为耳卫：
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形曲厲3，如此斜边/£、曲1、/场、曲3的长度确实是旋、羽、爲、的。
触类旁通【变式】在数轴上表示航的点。
解析：
能够把航看做是直角三角形的斜边，（丽）2=1°,
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：
如下图在数轴上找到A点，使OA=3,作AC丄OA且截取AC=1,以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为航。
类型五：
逆命题与勾股定理逆定理
六、写出以下原命题的逆命题并判泄是不是正确
1.原命题：
猫有四只脚.（正确）
2.原命题：
对顶角相等（正确）
3.原命题：
线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）
4.原命题：
角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）
思路点拨：
把握原命题与逆命题的关系。
解析：
1.逆命题：
有四只脚的是猫（不正确）
2.逆命题：
相等的角是对顶角（不正确）
3.逆命题：
到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.・（正确）
4.逆命题：
到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）
总结升华：
此题是为了学习勾股泄理的逆命题做预备。
7、如果AABC的三边别离为a、b、c,且知足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判定AABC的形状。
思路点拨：
要判z^AABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手，解决问题。
解析：
由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-l0c+25=0,
•••（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0o
V（a-3）2^0,（b4）—0,（c-5）2^0c
••a=3,b=4,c=5o
v32+42=52,
.*•a2+b2=c2o
由勾股上理的逆泄理，得AABC是直角三角形。
总结升华：
勾股立理的逆立理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。
触类旁通【变式1】四边形ABCD中.ZB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13>求四边形ABCD的面积。
【答案】：
连结AC
VZB=90°,AB=3,BC=4
AAC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
AAC=5
VAC2+CD2=169,AD2=I69
AAC2+CD2=AD2
•••ZACD=90°（勾股左理逆左理）
弘TD=仏+九◎巳必氏灼曲・切6
【变式2］已知:
AABC的三边别离为m2-n2,2miLm2+n2（m,n为正整数，且m>n）,判左ZkABC是不是为直角三角形.
分析:
此题是利用勾股泄理的的逆定理，只要证明川+沪之2即可
证明:
（m2-»2）2+（2w«）2=亦一2戲2屛+”$+4诂?
？
二加4■十2加V十泸
=3『+/）2
因此AABC是直角三角形.
2
【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点，F为AB上一点，且BF=^AB。
请问FE与DE是否垂直?
请说明匚
【答案】答：
DE丄EF。
证明：
设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,•••EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2：
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2o
连接DF（如图）
DF2=AF2+AD~9a2+16a~25a2o
•••DF^EFhDE?
•••FE丄DEo
经典例题精析
类型一：
勾股定理及其逆定理的大体用法
一.假设直角三角形两直角边的比是3：
4,斜边长是20,求此直角三角形的而积。
思路点拨：
在直角三角形中明白两边的比值和第三边的长度，求面积，能够先通过比值设未知数，再依照勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
解析：
设此直角三角形两直角边别离是3x,4x,依照题意得：
（3x）2+（4x）2=202
化简得x2=16：
2
•••直角三角形的而积=空X3xX4x=6x—96
总结升华：
直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股左理列方程（组）求解。
触类旁通【变式1】等边三角形的边长为2,求它的而积。
【答案】如图.等边ZkABC,作AD丄BC于D
2
贝|J：
bd=2bc（等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合）7AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）
•••BD=1
在直角三角形ABD中.AB2=AD2+BD\RP：
AD2=AB2-BD2=4-1=3
.*.AD=^
2
Saabc=2BC•AD=^
注：
等边三角形而积公式：
假设等边三角形边长为a,那么其而积为4ac
【变式2】直角三角形周长为12c】m斜边长为5cm,求直角三角形的而积°【答案】设此直角三角形两直角边长别藹是x,*依照题意得：
\+j/+5=12
（1）
\x2+/=52
（2）
由⑴得:
x+y=7,
（x+y）2=49,x2+2xy+y2=49（3）
（3）-
（2）,得：
xy=12
11
•••直角三角形的而积是2Xy=2xi2=6（cm2）
【变式3】假设直角三角形的三边长别离是n+1,n+2,n+3,求m
思路点拨：
第一要确信斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股泄理列方程求解。
解：
此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：
（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2
化简得：
n2=4
An=±2,但当n=-2时，1】+1=—1<0,An=2
总结升华：
注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给岀哪条是直角边哪条是斜边的情形下，第一要先确信斜边，直角边。
【变式4】以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8,15,17B.4,5,6C.5,8,10D、8,39,40
解析：
此题可直接用勾股泄理的逆定理来进行判泄，
对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：
Z=c2-a2=（c-a）（c+a）来判泄。
例如：
对于选择D,
V8M（40+39）X（40—39）,
•••以&39,40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断英它选项。
【答案】：
A
【变式5】四边形ABCD中，ZB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的而积。
解：
连结AC
VZB=90°,AB=3,BC=4
AAC2=AB2+BC2=25（勾股左理）
•••AC=5
VAC2+CD2=169,AD2=169
•••AC2+CD2=AD2
•••ZACD=90°（勾股左理逆立理）
11
•'•S/\bcd=Saabc+Saacd=2AB•BC+2AC•CD=36
类型二勾股定理的应用
二如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且ZQPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m°假设拖沓机行驶时，周m100m之内会受到噪音的阻碍，那么拖沓机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是不是会受到噪声阻碍？
请说明理由，若是受阻碍，已知拖沓机的速度为18knVli,那么学校受阻碍的时刻为多少秒？
思路点拨：
（1）要判定拖沓机的噪音是不是阻碍学校A,实质上是看A到公路的距离是不是小于100m.小于100m那么受阻碍，大于100m那么不受阻碍，故作垂线段AB并计算其长度。
（2）要求出学校受阻碍的时刻，实质是要求拖沓机对学校A的阻碍所行驶的路程。
因此必需找到拖沓机行至哪一点开始阻碍学校，行至哪一点后终止阻碍学校。
解析：
作AB丄MN,垂足为B。
在RtAABP中，VZABP=90°,ZAPB=30°,AP=160,
.IAB=2AP=80o（在直角三角形中，30。
所对的直角边等于斜边的一半）
•••点A到直线MN的距离小于100m,
•••这所中学会受到噪声的阻碍。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100（m）,由勾股左理得：
BC2=1OO2-8O2=36OO,.\BC=60。
同理，拖沓机行驶到点D处学校开始离开阻碍，那么，AD=100（m）,BD=60（m）,
ACD=120（m）o
拖拉机行驶的速度为：
18km/h=5m/s
t=120m三5m/s=24s。
答：
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华:
勾股宦理是求线段的长度的很重要的方式，假设图形缺少直角条件,那么能够通过作辅助垂线的方式,构造直角三角形以便利用勾股定理。
触类旁通【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了躲开拐角而走“捷径S在花园内走出了一条“路二他们仅仅少走了步路（假设2步为lm）,却踩伤了花草。
解析：
他们原先泄的路为3+4=7（m）
设走“捷径”的路长为xm,那么区=曲2十梓=5
故少走的路长为7-5=2（m）
又因为2步为lm,因此他们仅仅少走了4步路。
【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格咱们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，如此的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的髙与而积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？
平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求岀图中线段AC的长（可作辅助线）。
【答案】
（1）单位正三角形的髙为2,而积是224
24X—=6^3
（2）如图可直接得岀平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其而积4
（3）过A作AK丄BC于点K（如下图），那么在RtAACK中,
KC=1+1+1=-
22
类型三：
数学思想方式
（―）转化的思想方式
咱们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.
3、如图所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F別离是AB、AC边上的点，
且DE丄DF,假设BE=12,CF=5.求线段EF的长。
思路点拨：
现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，因此关键是线段的转化，依照直角三角形的特点，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.
解：
连接AD.
因为ZBAC=90°•AB=AC・又因为AD为AABC的中线，
所以AD=DC=DB・AD丄BC・
且ZBAD=ZC=45G・
因为ZEDA+ZADF=90°・又因为ZCDF+ZADF=90°・
所以ZEDA=ZCDF・因此△AED竺△CFD（ASA）.
所以AE=FC=5・
同理：
AF=BE=12・
在RtAAEF中，依照勾股泄理得：
肋矿+肿2=歹+122=1兀因此EF=13o
总结升华：
此题考査了等腰直角三角形的性质及勾股怎理等知识。
通过此题，咱们能够了解：
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
（二）方程的思想方式
4、如下图，已知AABC中，ZC=90°,ZA=60°,a+&=3+^3t求a、乃、C的值。
思路点拨：
由°+“=弓+語，再找出么、心的关系即可求岀虫和“的值。
解：
在RtAABC中，ZA=60°,ZB=90°-ZA=30°,
则*%,由勾股左理，得“二朋-沪二J（力尸二血。
因为a+B=3+朽，因此岳+鸟=3+語，
―馅（击+1）_誇y/3+1a=芒b=y/3«-yjs=3,c==2語
总结升华：
在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
触类旁通：
【变式】如下图，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。
解：
因为△ADE与△AFE关于AE对称，因此AD=AF,DE=EFa
因为四边形ABCD是矩形，所以ZB=ZC=90°,
在RtAABF中，AF=AD=BC=10cm.AB=8cm,
所以BF=^AF2-A32=V102-82二6（cm）。
因此FC二EC—BF二10—6=4（cm）设EC—xcm,那么EF=DE=（8-x）cm
在RtAECF中，+时=EF*,即x2+42=（8-r）2，解得入=：
3。
ER二DE二（8_Rem=5cm即EF的长为5cnio
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