第十五章整式乘除与因式分解.docx
《第十五章整式乘除与因式分解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十五章整式乘除与因式分解.docx（54页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
第十五章整式乘除与因式分解
第十五章整式乘除与因式分解
教材内容
本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式和因式分解。
这些知识是以后学习分式和根式运算、函数知识的基础，也是学习物理、化学等学科不可或缺的数学工具。
幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是学习整式乘法的基础，作为它的直接应用，接着安排了单项式乘法，在此基础上，引进单项式与多项式及多项式与多项式的乘法。
这样安排从简到繁，由易到难，层层递进。
乘法公式是在学习整式乘法基础上得到的。
教材安排了三个多项式乘法的计算，通过总结它们的共同点，把它们作为公式，即平方差公式。
接着用类似的方式引进了乘法的完全平方公式，之后，适时引进添括号法则，以满足整式运算的需要。
同底数幂的除法是学习整式除法的基础，教材首先介绍同底数幂的除法性质，接着根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底数幂的除法为依据，由计算具体的实例得到单项式除法的法则。
多项式除以单项式的基本点就是把多项式除以单项式转化为单项式除法。
从整式乘法与因式分解的关系认识因式分解的概念，同时从整式乘法与因式分解的关系介绍了因式分解的基本方法，即提公因式法和公式法。
这些内容是多项式因式分解中一部分最基本的知识和基本方法。
教学目标
[知识与技能]1、使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。
使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。
2、使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。
3、使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
4、使学生理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握提公因式法和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。
[过程与方法]通过由特殊到一般的猜想与说理验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力；重视学生对算理的理解，有意识地培养学生条理性和表达能力；在探索因式分解方法的过程中，学会逆向思维，渗透化归的思想方法。
[情感与态度]让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯；在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简洁美；在灵活运用公式的过程中，提倡多样化算法，激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神。
重点难点
整式的乘除法，乘法公式及因式分解的两种方法是重点；灵活的运用乘法公式，添括号法则和灵活地运用公式法分解因式是难点。
课时安排
15．1整式的乘法………………………………………………4课时
15．2乘法公式…………………………………………………3课时
15．3整式的除法………………………………………………3课时
15．4因式分解…………………………………………………3课时
本章小结………………………………………………………2课时
15.1同底数的幂相乘
[教学目标]1、理解同底数幂的乘法法则，掌握其公式的运用；2、通过由特殊到一般的推导过程，培养学生的猜想、归纳和表达能力。
[重点难点]同底数幂的乘法公式及其运用是重点；理解同底数幂的乘法公式是难点。
[教学过程]
一、情景导入
一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
可进行1014×103次运算.
如何计算1012×103呢？
根据乘方的意义可知
容易知道1012×103是同底数的幂相乘。
上面的计算有没有规律呢？
二、同底数幂的乘法法则
探究：
根据乘方的意义填空：
（1）25×22＝2（）；
（2）a3·a2＝a（）；
（3）5m·5n＝5（）（m、n都是正整数）。
你发现了什么？
这三个式子都是同底数的幂相乘；相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
一般地，对于任意底数a与任意正整数m、n，am·an的幂是多少呢？
因此，我们有am·an=am+n（m、n都是正整数）
用语言叙述是：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
三、例题
例1计算：
（1）x2·x5
（2）a·a6（3）2×24×23（4）xm·x3m+1
分析：
式子表示什么运算？
结果是多少？
解：
（1）x2·x5=x2+5=x7．
（2）a·a6=a1·a6=a1+6=a7．
（3）2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28．
（4）xm·x3m+1=xm+（3m+1）=x4m+1．
注意：
a＝a1。
指数1一般省略不写。
例2计算
（1）am·an·ap;
（2）－a·（-a）3;
（3）27·3n;（4）（a-b）2（a-b）3.
分析：
式子可以看成什么运算？
结果是多少？
解：
（1）am·an·ap=（am·an）·ap
=am+n·ap=am+n+p；
（2）－a·（-a）3＝（-a）1＋3（-a）4＝a4；
或－a·（-a）3＝a·a3＝a4；
（3）27·3n＝33·3n＝233＋n；
（4）（a-b）2（a-b）3＝（a-b）2＋3＝（a-b）5.
反思：
①要注意有些形式上不是同底数幂的乘法可以转化为同底数幂的乘法来计算；②
（1）的结果说明了什么？
四、课堂练习
课本142面练习
（1）－（4）题。
五、课堂小结
这节课我们学习了一些什么知识？
探讨了同底数幂的运算法则；运用同底数幂的运算法则进行计算。
运用同底数幂的运算法则进行计算时要注意：
必须是同底数的幂才能相乘；结果是底数不变，指数相加.
作业：
149面8题。
教学后记：
15.2－3幂的乘方和积的乘方
[教学目标]经历探索幂的乘方与积的乘方运算性质的过程，理解和掌握幂的乘方和积的乘方法则，并会运用它们进行熟练的计算。
[重点难点]幂的乘方和积的乘方的计算是重点；正确地运用幂的乘方和积的乘方法则是难点。
[教学过程]
一、复习导入
根据幂的意义填空：
（1）32表示_____个_____相乘；
（2）（32）3表示_____个_____相乘；
（3）a2表示_____个_____相乘；（4）（a2）3表示______个_____相乘；
（5）am表示个相乘；（6）（am）3表示个相乘。
式子（32）3、（a2）3、（am）3有什么共同特点？
都是幂的乘方.
二、幂的乘方
（一）幂的乘方法则
探究1根据乘方的意义填空：
（1）（32）3=32×32×32=3（）；
（2）（a2）3=a2×a2×a2=a（）；
（3）（am）3=am×am×am=a（）.
从计算中你发现了什么？
幂的乘方的结果是底数没有变，指数相乘。
（am）n等于什么？
即（am）n=amn（m、n是正整数）.
上面的结论用语言表达是：
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
（二）例题
例1计算：
（1）（103）5；
（2）（a4）4;
（3）（am）2;（4）－（x4）3.
分析：
式子表示什么意义？
结果是多少？
理由是什么？
解：
（1）（103）5＝103×5＝1015；
（2）（a4）4＝a4×4＝a16；
（3）（am）2＝10m×2＝a2m；
（4）－（x4）3＝－x4×3＝－x12.
三、积的乘方
（一）积的乘方法则
探究2填空：
（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a（）b（）；
（2）（ab）3=______=_______=a（）b（）
（3）（ab）n=______=______=a（）b（）（n是正整数）
（ab）2、（ab）3、（ab）n表示什么运算？
从上面的计算中你发现了什么规律？
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
用符号语言表达是：
an·bn=（ab）n（n为正整数）
（二）例题
例2计算：
（1）（2a）3；
（2）（-5b）3；
（3）（xy2）2；（4）（-2x3）4。
分析：
式子表示什么意义？
由积的乘方法则可得到什么？
解：
（1）（2a）3=23·a3=8a3．
（2）（-5b）3=（-5）3·b3=-125b3．
（3）（xy2）2=x2·（y2）2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4．
（4）（-2x3）4=（-2）4·（x3）4=16·x3×4=16x12．
四、课堂练习
课本143面练习；144面练习。
五、课堂小结
这节课学习了什么内容？
1、幂的乘方法则是什么？
用符号怎么表达？
2、积的乘方法则是什么？
用符号怎么表达？
3、幂的乘方与积的乘方的计算。
在计算过程中，要注意同底数的幂相乘、幂的乘方和积的乘方的区别，以免混淆出错。
作业：
课本148面1、2。
教学后记：
15.1整式的乘法
（一）
[教学目标]探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并会运用它们进行计算．
[重点难点]单项式与单项式、单项式与多项式的乘法是重点；单项式与多项式相乘去括号法则的应用是难点。
[教学过程]
一、情景导入
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
地球与太阳的距离约为（3×105）×（5×102）千米．
怎样计算（3×105）×（5×102）呢？
二、单项式与单项式相乘
（一）单项式乘法法则
根据乘法的交换律和结合律有
（3×105）×（5×102）=（3×5）×（105×102）=15×107.
思考：
如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，这是什么运算？
怎样计算这个式子呢?
ac5·bc2=（a·c5）·（b·c2）
=（a·b）·（c5·c2）（乘法交换律和结合律）
=abc5+2（同底数的幂相乘）
=abc7
类似地，请你试着计算：
（-5a2b3）·（4b2c）
上面都是单项式乘以单项式，总结一下，怎样进行单项式乘法？
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（二）例1计算：
（1）（－5a2b）（－3a）；
（2）（2x）3（－5xy2）。
分析：
（1）、
（2）是什么运算？
怎样进行这样的计算？
解：
（1）（－5a2b）（－3a）=[（-5）×（-3）]（a2·a）b
=15a3b。
（2）（2x）3（－5xy2）=8x3·（-5）·xy2
=[8×（-5）]（x3·x）y2
=-40x4y2
注意：
系数相乘时要注意积的符号；先乘方再相乘。
思考：
课本145面练习2题。
三、单项式与多项式相乘
（一）单项式乘多项式法则
看下面的问题：
三家连锁店以相同的价格m（单位：
元/瓶）销售某种新商品，它们在一个月内的销售量（单位：
瓶）分别是a、b、c，你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？
方法一：
先分别求三家连锁店的收入，总收入为ma+mb+mc。
方法二：
先求三家连锁店的总销量，总收入为m（a+b+c）。
显然，m（a+b+c）=ma+mb+mc。
从运算的角度来说，这个式子表示什么？
它有什么特点？
这个式子表示乘法分配律；这个式子左边是单项式乘以多项式，右边是单项式的和。
请你试着计算：
2a2·（3a2－5b）。
从上面解决的两个问题中，总结一下，怎样将单项式与多项式相乘？
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
容易知道，单项式与多项式相乘就是乘法分配律的运用。
（二）例2计算：
（1）（－4x2）·（3x+1）；
（2）（2/3ab2－2ab）·1/2ab。
分析：
从运算的角度看，这个式子表示什么？
怎样进行这样的计算？
解：
（1）（－4x2）·（3x+1）=（－4x2）·3x+（－4x2）·1
=－12x3－4x2。
（2）（2/3ab2－2ab）·1/2ab=2/3ab2·1/2ab－2ab·1/2ab
=1/3a2b3－a2b2。
注意：
去括号时要注意符号。
四、课堂练习
课本145面练习1题；146练习1、2题。
五、课堂小结
这节课我们学习了什么内容？
1、单项式的乘法法则及其运用；
2、多项式的乘法法则及其运用。
作业：
149面3、4、6、9题。
教学后记：
第十五章第一阶段复习（15.1—4）
一、双基回顾
1、同底数幂的乘法法则：
am·an=am+n（m，n都是正整数）.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
注意：
①同底数幂的乘法法则可以推广，即am·anap=am+n+p（m，n，p都是正整数）；②同底数幂的乘法法则可以逆用，即am+n=am·an。
[1]计算：
-x2·（-x）3=；（a-b）（b-a）2=。
2、幂的乘方：
（am）n=amn（m，n都是正整数）.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
注意：
幂的乘方法则可以逆用，即amn=（am）n。
[2]计算：
（a3）4=；（a2）n=；36=（32）（）；a3m=（am）（）。
3、积的乘方：
（ab）n=anbn（n为正整数）.
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
注意：
①积的乘方法则可以推广，即：
（abc）n=anbncn；②幂的乘方法则可以逆用，即anbn=（ab）n。
[3]计算：
（-ab2）5=；（1/2）10·210=。
4、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
[4]计算：
1/2x2y·（-4x3y2）
5、单项式与多项式相乘的乘法法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
注意：
单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用.
[5]计算：
-2x（x2-3x+2）
二、例题导引
例1计算：
（-3）2004·（1/3）2005.
例2若
求
的值。
例3计算：
（-2a2）（3ab2-5ab3）.
例4解不等式：
x2+
x（3-2x）＜2
.
三、练习提高
夯实基础
1、下列运算中，正确的是（）
A.x2·x3=x6B.（ab）3=a3b3
C.3a+2a=5a2D.（x³）²=x5
2、y·y2m·y2m+1=.
3、计算：
（-x²y）5=
4.计算（a3）2+a2·a4的结果为（）
A.2a9B.2a6C.a6+a8D.a12
5、（-0.25）13·413=.
6、计算：
4x2·（-2xy）=；（4×106）×（8×103）=。
7、下列计算错误的是（）
A.-a·（-a）2=a3B.a2·（-a）2=a4
C.（-a）3·a2=-a5D.-a3·（-a）3=a6
8、已知am=2，an=3，则am+n=.
9、如果xn-4·xn=x2，那么n等于（）
A.2B.3C.4D.5
10、计算：
（1）（-x）3（-y）2-（-x3y2）
（2）（1.1×105）2·（2.2×103）
（3）-2a2b·（3a2b）4（4）（-
x2y）3·（-3xy2）2
11、计算：
（4/9x2y-4x2y）·（-1/4xy）
12、求值：
x²（x-1）-x（x²+x-1），其中x=
。
巩固提高
13、计算：
（-2）2006+（-2）2007所得的解为（）
A、2B、-2C、-22006D、22006
14、若（ambn）2=a8b6，则m=，n=。
15、化简a（b-c）-b（c-a）+c（a-b）的结果是（）
A、2ab+2bc+2acB、2ab-2bcC、2abD、-2bc
16、如果一个三角形的底边长为2x2y+xy-y2，高为6xy，则这个三角形的面积是。
17、用边长为1cm的小正方形搭如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是＿＿＿cm。
（用含n的代数式表示）
18、计算：
（1）3ab2·（-1/3a2b）·2abc；
（2）（a-b）·（a-b）2·（b-a）3；
（3）24×45×（-0.125）4；（4）（-3/2xy）·（2/3x2y-4xy2+4/3y）。
19、解方程：
3x（7-x）=18-（3x-15）x
20、已知2x-3=0，求代数式x（x2-x）+x2（5-x）-9的值。
21、若n为自然数，试说明n（2n+1）-2n（n-1）的值一定是3的倍数.
22、已知2x=a，2y=b，求2x+y+23x+2y的值.
探索创新
23、若2x+5y-4=0，则4x×32y的值是多少？
24、阅读下面解题过程，试比较2100与375的大小。
解：
因为2100=（24）25，375=（33）25，又因为24=16，33=27，且16＜27，所以，2100＜375。
请根据上述解答，比较355、444、533的大小.
教学后记：
15.1整式的乘法
（二）
[教学目标]探索并了解多项式与多项式相乘的法则，会运用它们进行计算．
[重点难点]多项式与多项式相乘是重点；去括号时符号的确定是难点。
[教学过程]
一、直接导入
前面我们学习了单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，那么怎样进行多项式与多项式的乘法呢？
二、多项式乘多项式的法则
为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，你能用几种方法求出扩大后的绿地的面积？
方法一：
由长乘宽得，绿地的面积为（a+b）（m+n）米2．
方法二：
由四小块的面积相加得，绿地的面积为（am+an+bm+bn）米2．
因此，（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
这个等式的右边是怎样从左边得到的呢？
仔细地观察，我们可以发现：
（a+b）（m+n）的结果可以看作由a+b中的每一项乘m+n中的每一项，再把所得的积相加而得到的。
即
（a+b）（m+n）==am+an+bm+bn。
根据上面的分析，请你总结多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
三、例题
例1计算：
（1）（3x+1）（x+2）；
（2）（x-8）（x-y）；
（3）（x+y）（x2-xy+y2）。
分析：
这是什么运算？
怎样进行这样的运算？
解：
（1）（3x+1）（x+2）=3x·x+3x·2+1·x+1×2
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2
（2）（x-8）（x-y）=x·x－xy－8xy+8y2
=x2－9xy+8y2。
（3）（x+y）（x2-xy+y2）=x3－x2y+xy2+x2y-xy2+y3
=x3+y3。
注意：
去括号时要注意符号的变化。
四、课堂练习
课本148面练习1、2。
五、课堂小结
这节课我们学习了多项式与多项式相乘，在计算的过程中要准确地运用法则，注意去括号时符号的变化。
作业：
课本149面5、7、10题；150面12题。
选做150面11题。
教学后记：
15.2.1平方差公式
[教学目标]1、经历探索平方差公式的过程，会验证平方差公式；2、明确平方差公式的结构特征，并能正确地运用公式进行计算．
[重点难点]平方差公式及其应用是重点；平方差公式的结构特点及灵活运用是难点。
[教学过程]
一、情景导入
前面我们学习了多项式与多项式的乘法,回忆一下,怎样进行多项式与多项式的乘法?
计算下列多项式的积：
（1）（x+1）（x-1）;
（2）（m+2）（m-2）;
（3）（2x+1）（2x-1）;（4）（x+5y）（x-5y）.
观察上述算式，它们有什么特征？
它们都是两个数的和与差的积。
解:
（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12
（2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-2×2=m2-22
（3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
（4）（x+5y）（x-5y）=x2+5y·x-x·5y-（5y）2=x2-（5y）2
二、平方差公式
看看计算的结果，你发现了什么规律？
两个数的和与差的积等于这两个数的平方差。
你用字母表示上述规律吗？
（a+b）（a-b）=a2-b2．
事实上，（a+b）（a-b）=a2－ab+ab－b2=a2-b2．
我们还可以用下面的图来验证。
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，如图1；把阴影部分再剪掉拼到剩余的部分上得到图2，请你用图1、图2进行说明。
图1的面积是a2-b2，图2的面积是（a+b）（a-b）。
因此，（a+b）（a-b）=a2-b2．
我们称它为平方差公式。
注意：
①公式的左边是两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。
三、例题
例1运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
分析：
这些式子有什么特点？
相当于平方差公式中a、b的是什么？
套用公式的结果是什么？
解：
（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a2-b2=4a2-b2．
（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
反思：
套用公式的结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。
例2计算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
分析：
（1）能够运用平方差公式计算吗？
怎样变形呢？
（2）这个式子有什么特点？
解：
（1）102×98=（100+2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996．
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-22-（y2+5y-y-5）
=y2-4-y2-4y+5=-4y+1．
反思：
①对
（2）题，你还有其它的变形方式吗？
（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-22-（y-1）（y+1）-5（y-1）。
②运用平方差公式，有时要进行适当的变形。
四、课堂练习
课本153面练习1、2题。
五、课堂小结
1、平方差公式是怎样的？
用语言怎么叙述？
2、运用平方差公式要注意些什么？
①要明确公式的特点；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；③有时要进行适当的变形。
作业：
课本156面1题。
教学后记：
15.2.2完全平方公式
（一）
[教学目标]理解完全平方公式的特征，了解公式的几何背景，会运用公式进行简单的计算。
[重点难点]完全平方公式及其应用是重点；完全平方公式的结构特征及灵活运用是难点。
[教学过程]
一、情景导入
请用两种方法计算下面图形的面积，你发现了什么？
由图
（1）得（a+b）2=a2+ab+b2，
由图
（2）得（a-b）2=a2-2ab+b2。
类似这样的等式在整式乘法中经常遇到，它有没有特殊的意义呢？
二、完全平方公式
计算下列各式：
（1）（p+1）2=（p+1）（
升级会员 