全国通用版高中数学 第一章 常用逻辑用语 143 含有一个量词的命题的否定.docx

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全国通用版高中数学第一章常用逻辑用语143含有一个量词的命题的否定

1.4.3　含有一个量词的命题的否定

学习目标

　1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

知识点一　全称命题的否定

思考　尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．

（1）所有矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）∀x∈R，x2－2x＋1≥0.

答案　

（1）将量词“所有”换为：

“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：

“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得

（2）（3）的否定：

（2）存在一个素数不是奇数；

（3）∃x0∈R，x

－2x0＋1<0.

梳理　写全称命题的否定的方法：

（1）更换量词，将全称量词换为存在量词；

（2）将结论否定．

对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：

∀x∈M，p（x），它的否定綈p：

∃x0∈M，綈p（x0）．

全称命题的否定是特称命题．

知识点二　特称命题的否定

思考　尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．

（1）有些实数的绝对值是正数；

（2）某些平行四边形是菱形；

（3）∃x0∈R，x

＋1<0.

答案　

（1）先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：

“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得

（2）（3）的否定：

（2）所有平行四边形都不是菱形；

（3）∀x∈R，x2＋1≥0.

梳理　写特称命题的否定的方法：

（1）将存在量词改写为全称量词，

（2）将结论否定．

对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：

∃x0∈M，p（x0），它的否定綈p：

∀x∈M，綈p（x）．特称命题的否定是全称命题．

（1）命题綈p的否定为p.（√）

（2）∃x0∈M，p（x0）与∀x∈M，綈p（x）的真假性相反．（√）

（3）从特称命题的否定看，是对“量词”和“p（x）”同时否定．（×）

类型一　全称命题的否定

例1　写出下列全称命题的否定：

（1）任何一个平行四边形的对边都平行；

（2）数列：

1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；

（3）∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

（4）可以被5整除的整数，末位是0.

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的否定

解　

（1）其否定：

存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

（2）其否定：

数列：

1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．

（3）其否定：

∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

（4）其否定：

存在被5整除的整数，末位不是0.

反思与感悟　全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．

跟踪训练1　写出下列全称命题的否定：

（1）p：

每一个四边形的四个顶点共圆；

（2）p：

所有自然数的平方都是正数；

（3）p：

任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

（4）p：

对任意实数x，x2＋1≥0.

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的否定

解　

（1）綈p：

存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

（2）綈p：

有些自然数的平方不是正数．

（3）綈p：

存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根．

（4）綈p：

存在实数x0，使得x

＋1<0.

类型二　特称命题的否定

例2　写出下列特称命题的否定，并判断其真假．

（1）p：

∃x0∈R,2x0＋1≥0；

（2）q：

∃x0∈R，x

－x0＋

＜0；

（3）r：

有些分数不是有理数．

考点　存在量词的否定

题点　含存在量词的命题的否定

解　

（1）綈p：

∀x∈R,2x＋1＜0，綈p为假命题．

（2）綈q：

∀x∈R，x2－x＋

≥0.

∵x2－x＋

＝

2≥0，∴綈q是真命题．

（3）綈r：

一切分数都是有理数，綈r是真命题．

反思与感悟　特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：

∃x0∈M，p（x0）成立⇒綈p：

∀x∈M，綈p（x）成立．

跟踪训练2　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．

（1）有些实数的绝对值是正数；

（2）某些平行四边形是菱形；

（3）∃x0，y0∈Z，使得

x0＋y0＝3.

考点　存在量词的否定

题点　含存在量词的命题的否定

解　

（1）命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．

（2）命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

（3）命题的否定是“∀x，y∈Z，

x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，

x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．

类型三　含量词的命题的应用

例3　已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．

考点　含有一个量词的命题

题点　由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围

解　因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：

“存在x0∈R，x

＋ax0＋1＜0”．

由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．

由于函数f（x）＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，

借助二次函数的图象易知：

Δ＝a2－4＞0，

解得a＜－2或a＞2.

所以实数a的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）．

引申探究

把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．

解　由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．

故a的取值范围为[－2,2]．

反思与感悟　含有一个量词的命题与参数范围的求解策略

（1）对于全称命题“∀x∈M，a＞f（x）（或a＜f（x））”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f（x）的最大值（或最小值），即a＞f（x）max（a＜f（x）min）．

（2）对于特称命题“∃x0∈M，a＞f（x0）（或a＜f（x0））”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f（x）的最小值（或最大值），即a＞f（x）min（或a＜f（x）max）．

（3）若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．

跟踪训练3　已知函数f（x）＝x2－2x＋5.

（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

（2）若存在一个实数x0，使不等式m－f（x0）>0成立，求实数m的取值范围．

考点　含有一个量词的命题

题点　由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围

解　

（1）不等式m＋f（x）>0可化为m>－f（x），

即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.

要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.

（2）不等式m－f（x0）>0可化为m>f（x0），若存在一个实数x0，使不等式m>f（x0）成立，只需m>f（x）min.

又f（x）＝（x－1）2＋4，∴f（x）min＝4，∴m>4.

∴所求实数m的取值范围是（4，＋∞）.

1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是（　　）

A．∀x∈R，|x|＋x2＜0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x0∈R，|x0|＋x

＜0D．∃x0∈R，|x0|＋x

≥0

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的否定

答案　C

2．∃m0，n0∈Z，使得m

＝n

＋2017的否定是（　　）

A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2017

B．∃m0，n0∈Z，使得m

≠n

＋2017

C．∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2017

D．以上都不对

考点　存在量词的否定

题点　含存在量词的命题的否定

答案　C

3．命题“∀x∈R，x＞sinx”的否定是________________．

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的否定

答案　∃x0∈R，x0≤sinx0

4．由命题“存在x0∈R，使

－m≤0”是假命题，得m的取值范围是（－∞，a），则实数a的值是________．

考点　含有一个量词的命题

题点　含一个量词的命题的否定

答案　1

解析　其否定为：

∀x∈R，使e|x－1|－m＞0，

且为真命题．m＜e|x－1|.

只需m＜（e|x－1|）min＝1.故a＝1.

5．写出下列命题的否定，并判断其真假．

（1）∃x0∈R，x

＋2x0＋2＝0；

（2）p：

所有的正方形都是菱形；

（3）p：

至少有一个实数x0，使x

＋1＝0.

考点　含有一个量词的命题

题点　含一个量词的命题的否定

解　

（1）綈p：

∀x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命题．

由为∀x∈R，x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1＞0恒成立．

（2）綈p：

至少存在一个正方形不是菱形，假命题．

因为所有的正方形都是菱形．

（3）綈p：

∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

因为当x＝－1时，x3＋1＝0.

1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：

第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：

将“≥”否定为“<”．

2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：

第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题

1．下列命题中，真命题的个数是（　　）

①存在实数x0，使得x

＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．

A．0B．1C．2D．3

考点　含有一个量词的命题

题点　含一个量词的命题真假判断

答案　B

解析　x2＋2≥2，故①是假命题；∀x∈R，|sinx|≤1，故②是假命题；f（x）＝0既是奇函数又是偶函数，所以③是真命题．故选B.

2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（　　）

A．存在x0∈R，x

－x

＋1≤0

B．存在x0∈R，x

－x

＋1≥0

C．存在x0∈R，x

－x

＋1＞0

D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的否定

答案　C

解析　由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x0∈R，x

－x

＋1＞0”．故选C.

3．已知命题p：

存在a∈（－∞，0），a2－2a－3＞0，那么命题p的否定是（　　）

A．存在a∈（0，＋∞），a2－2a－3≤0

B．存在a∈（－∞，0），a2－2a－3≤0

C．对任意a∈（0，＋∞），a2－2a－3≤0

D．对任意a∈（－∞，0），a2－2a－3≤0

考点　存在量词的否定

题点　含存在量词的命题的否定

答案　D

解析　易知綈p：

对任意a∈（－∞，0），a2－2a－3≤0，故选D.

4．已知p：

∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果p是假命题，那么a的取值范围是（　　）

A．a＜

B．0＜a≤

C．a≤

D．a≥

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的真假求参数的取值范围

答案　C

解析　易知綈p：

∃x0∈R，ax

＋2x0＋3≤0，

显然当a＝0时，满足题意；

当a＞0时，由Δ≥0，得0＜a≤

；

当a＜0时，满足题意．

所以a的取值范围是

.

5．下列命题中，假命题是（　　）

A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，（x－1）2>0

C．∃x0∈R，lgx0<1D．∃x0∈R，tanx0＝2

考点　含有一个量词的命题

题点　含一个量词的命题真假判断

答案　B

解析　对于∀x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图象是将y＝2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，A为真命题；当x＝1时，（x－1）2＝0，故B为假命题；当0

6．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）>n

B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）>n

C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）>n0

D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）>n0

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的否定

答案　D

解析　“f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定为“f（n）∉N*或f（n）>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.

7．已知a>0，函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是（　　）

A．∃x1∈R，f（x1）≤f（x0）B．∃x1∈R，f（x1）≥f（x0）

C．∀x∈R，f（x）≤f（x0）D．∀x∈R，f（x）≥f（x0）

考点　含有一个量词的命题

题点　含一个量词的命题真假判断

答案　C

解析　当a>0时，函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－

为抛物线顶点的横坐标，f（x）min＝f（x0），故对于∀x∈R，f（x）≥f（x0）成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题．

二、填空题

8.“若|x|+|y|=0，则x，y全为0”的否定为.

答案　若|x|+|y|=0，则x，y不全为0

9.函数y=x+b的值随x的增加而增加的否定为.

答案　若x增加，则函数y=x+b的值不增加

10．设命题p：

∀x∈R，x2＋ax＋2＜0，若p为假，则实数a的取值范围是________．

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的真假求参数的取值范围

答案　（－∞，＋∞）

解析　綈p：

∃x0∈R，x

＋ax0＋2≥0为真命题，

显然a∈R.

11．命题“对任意x∈R，都有|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是_________________________.

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的否定

答案　∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3

三、解答题

12．若命题“∀x∈[－1，＋∞），x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．

考点　简单逻辑联结词的综合应用

题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围

解　x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，

令f（x）＝x2－2ax＋2－a，

所以全称命题转化为“∀x∈[－1，＋∞），f（x）≥0恒成立”，

所以Δ≤0或

即－2≤a≤1或－3≤a＜－2，所以－3≤a≤1.

故所求实数a的取值范围为[－3,1]．

13．已知p：

∀a∈（0，b]（b∈R且b＞0），函数f（x）＝

sin

的周期不大于4π.

（1）写出綈p；

（2）当p是假命题时，求实数b的最大值．

考点　全称量词的否定

题点　全称量词的命题的否定

解　

（1）綈p：

∃a0∈（0，b]（b∈R且b＞0），

函数f（x）＝

sin

的周期大于4π.

（2）由于綈p是假命题，所以p是真命题，

所以∀a∈（0，b]，

≤4π恒成立，

解得a≤2，所以0＜b≤2，所以实数b的最大值是2.

四、探究与拓展

14．关于x的函数y＝x2－（a＋1）x＋2a对于任意a∈[－1,1]的值都有y＞0，则实数x的取值范围为____________．

考点　简单逻辑联结词的综合应用

题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围

答案　（－∞，－

）∪（

，＋∞）

解析　设f（a）＝x2－（a＋1）x＋2a，则有f（a）＝（2－x）a＋x2－x，a∈[－1,1]，

∵当a∈[－1,1]时，y＝f（a）＞0恒成立，

∴对a的系数讨论如下：

①当x＝2时，f（a）＝2＞0显然成立；

②当x≠2时，由f（a）＞0，a∈[－1,1]恒成立，得

即

解得x＞

或x＜－

.

综上可得，x的取值范围为（－∞，－

）∪（

，＋∞）．

15．给出两个命题，命题甲：

关于x的不等式x2＋（a－1）x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：

函数y＝（2a2－a）x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．

（1）甲、乙中至少有一个是真命题；

（2）甲、乙中有且只有一个真命题．

考点　简单逻辑联结词的综合应用

题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围

解　当甲命题为真时，Δ＝（a－1）2－4a2＜0，

解得a＞

或a＜－1.

当乙命题为真时，2a2－a＞1，解得a＞1或a＜－

.

（1）甲、乙中至少有一个是真命题时，

a的取值范围是

∪

.

（2）甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：

当甲真乙假时，a的取值范围是

；

当甲假乙真时，a的取值范围是

，

故a的取值范围为

∪

.

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