，∴P⊇Q.
3．（教材习题改编）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩（∁UB）＝________.
答案：
{2,4}
4．（教材习题改编）集合{a，b}的所有子集为________．
答案：
{a}，{b}，{a，b}，∅
1．认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．
2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
[小题纠偏]
1．已知全集为R，集合A＝{x|x2＋5x－6≥0}，B＝
，则A∩（∁RB）等于（ ）
A．[6,8）B．[3,8]
C．[3,8）D．[1,8]
解析：
选D 依题意得A＝{x|（x＋6）（x－1）≥0}＝（－∞，－6]∪[1，＋∞），∁RB＝
，因此A∩（∁RB）＝[1,8]．
2．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为（ ）
A．9B．8
C．7D．6
解析：
选C 当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x∉N，故集合A＝{2,5,6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.
3．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
解析：
∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，
∴x＝1或x＝4.
答案：
1或4
[题组练透]
1．（易错题）已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为（ ）
A．3B．6
C．8D．9
解析：
选D 集合B中元素有（1,1），（1,2），（1,4），（2,1），（2,2），（2,4），（4,1），（4,2），（4,4），共9个．
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝
，则b－a＝（ ）
A．1B．－1
C．2D．－2
解析：
选C 因为{1，a＋b，a}＝
，a≠0，所以a＋b＝0，则
＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．
解析：
∵A＝∅，∴方程ax2－3x＋2＝0无实根，
当a＝0时，x＝
不合题意，
当a≠0时，Δ＝9－8a<0，∴a>
.
答案：
4．（易错题）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：
由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－
，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－
时，m＋2＝
，而2m2＋m＝3，故m＝－
.
答案：
－
[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第4题易忽视．
[典例引领]
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3D．4
解析：
选D 用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2．已知集合A＝{x|y＝
，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（ ）
A．ABB．BA
C．A⊆BD．B＝A
解析：
选B 由题意知A＝{x|y＝
，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}．所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以BA，故选B.
[由题悟法]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
[即时应用]
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A 因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B
a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．
2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
解析：
当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，
则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，如图．
则
解得2＜m≤4.
综上，m的取值范围为（－∞，4]．
答案：
（－∞，4]
………………………………
[命题分析]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
常见的命题角度有：
（1）求交集或并集；
（2）交、并、补的混合运算；
（3）新定义集合问题．
[题点全练]
角度一：
求交集或并集
1．（2016·兰州诊断）已知集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|2x>1}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
解析：
由|x|<1，得－1又由2x>1，解得x>0，所以B＝{x|x>0}．
所以A∩B＝{x|0－1}．
答案：
{x|0－1}
角度二：
交、并、补的混合运算
2．（2015·天津高考）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁UB＝（ ）
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}
解析：
选A 由题意得∁UB＝{2,5,8}，∴A∩∁UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．
3．（2016·南昌调研）
设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是（ ）
A．[0,1]
B．[－1,2]
C．（－∞，－1）∪（2，＋∞）
D．（－∞，－1]∪[2，＋∞）
解析：
选C 因为A＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]，B＝{y|－1≤y≤1}＝[－1,1]，所以A∪B＝[－1,2]，所以∁R（A∪B）＝（－∞，－1）∪（2，＋∞）．
4．设集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x－a≥0}．
（1）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得A∩B＝{x|0≤x<3}？
若存在，求出a的值及对应的A∪B；若不存在，说明理由．
解：
A＝{x|－2（1）如图，若A∩B＝∅，则a≥3，
所以a的取值范围是[3，＋∞）．
（2）如图，由A∩B＝{x|0≤x<3}得a＝0，
A∪B＝{x|x>－2}．
角度三：
新定义集合问题
5．若x∈A，则
∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ）
A．1B．3
C．7D．31
解析：
选B 具有伙伴关系的元素组是－1；
，2，
所以具有伙伴关系的集合有3个：
{－1}，
，
.
6．（2015·辽宁期末）对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝（M－N）∪（N－M），设A＝
，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝（ ）
A.
B.
C.
∪[0，＋∞）
D.
∪（0，＋∞）
解析：
选C 依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝
，故A⊕B＝
∪[0，＋∞）．
[方法归纳]
解集合运算问题4个注意点
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．设集合M＝{x|x＋1>0}，N＝{x|x－2<0}，则M∩N＝（ ）
A．（－1，＋∞） B．[－1,2）
C．（－1,2）D．[－1,2]
解析：
选C 因为M＝{x|x＋1>0}＝{x|x>－1}，N＝{x|x－2<0}＝{x|x<2}，所以M∩N＝（－1,2）．
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝（ ）
A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}
C．{2,4,7}D．{2,5,7}
解析：
选C 由补集的定义，得∁UA＝{2,4,7}．
3．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．－3∈AB．3∉B
C．A∩B＝BD．A∪B＝B
解析：
选C 化简A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B.
4．（2015·陕西高考）设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（ ）
A．[0,1]B．（0,1]
C．[0,1）D．（－∞，1]
解析：
选A M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝[0,1]．
5．（2016·吉林实验中学）已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪（∁RB）＝（ ）
A．[－1,0]B．[1,2]
C．[0,1]D．（－∞，1]∪[2，＋∞）
解析：
选D ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}＝{x|0二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知集合A＝
，则集合A中的元素个数为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
解析：
选C ∵
∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，
故集合A中的元素个数为4.
2．（2016·西安质检）已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为（ ）
A．8B．4
C．3D．2
解析：
选B 由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个，故选B.
3．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为（ ）
A．0或1或2B．1或2
C．0D．0或1
解析：
选A 由题意A＝{1,2}，当B≠∅时，
∵B⊆A，∴B＝{1}或{2}，
当B＝{1}时，a·1－2＝0，解得a＝2；
当B＝{2}时，a·2－2＝0，解得a＝1.
当B＝∅时，a＝0.故a的值为0或1或2.
4．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2b＋1，b∈Z}，C＝{x|x＝4c＋1，c∈Z}，则有（ ）
A．m＋n∈A
B．m＋n∈B
C．m＋n∈C
D．m＋n不属于A，B，C中任意一个集合
解析：
选B ∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又n∈B，
∴设n＝2b1＋1，b1∈Z，∴m＋n＝2（a1＋b1）＋1，
而a1＋b1∈Z，∴m＋n∈B.
5．设全集U＝R，A＝{x|2x（x－2）<1}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|x≥1}
B．{x|x≤1}
C．{x|0D．{x|1≤x<2}
解析：
选D 由2x（x－2）<1得x（x－2）<0，解得00，得x<1.图中阴影部分表示的集合为A∩∁UB.因为∁UB＝[1，＋∞），画出数轴，如图所示，所以A∩∁UB＝[1,2）．
6．已知A＝{0，m,2}，B＝{x|x3－4x＝0}，若A＝B，则m＝________.
解析：
由题知B＝{0，－2,2}，A＝{0，m,2}，若A＝B，则m＝－2.
答案：
－2
7．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩（∁RB）＝______________.
解析：
由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，
∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}．
∴A∩（∁RB）＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．
答案：
{x|－3＜x≤－1}
8．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．
解析：
集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是（－∞，－2]．
答案：
（－∞，－2]
9．（2016·贵阳监测）已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：
①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.（用列举法表示）
解析：
若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．
答案：
{a2，a3}
10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解：
由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
（1）因为A∩B＝[0,3]，
所以
所以m＝2.
（2）∁RB＝{x|xm＋2}，
因为A⊆∁RB，
所以m－2>3或m＋2<－1，
即m>5或m<－3.
因此实数m的取值范围是（－∞，－3）∪（5，＋∞）．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知集合A＝{x|x2－2015x＋2014<0}，B＝{x|log2xA．0B．1
C．11D．12
解析：
选C 由x2－2015x＋2014<0，解得1由log2x2．已知数集A＝{a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：
对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与
两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（ ）
A．{1,3,4}为“权集”
B．{1,2,3,6}为“权集”
C．“权集”中元素可以有0
D．“权集”中一定有元素1
解析：
选B 由于3×4与
均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，
，
，
，
，
，
都属于数集{1,2,3,6}，故B正确；由“权集”的定义可知
需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C，D错误．
3．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
（1）当m＝－1时，求A∪B；
（2）若A⊆B，求实数m的取值范围；
（3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
解：
（1）当m＝－1时，B＝{x|－2则A∪B＝{x|－2（2）由A⊆B知
解得m≤－2，
即实数m的取值范围为（－∞，－2]．
（3）由A∩B＝∅，得
①若2m≥1－m，即m≥
时，B＝∅，符合题意；
②若2m＜1－m，即m＜
时，需
或
得0≤m＜
或∅，即0≤m＜
.
综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞）．
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题
概念
使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句
特点
（1）能判断真假；
（2）陈述句
分类
真命题、假命题
2．四种命题及其相互关系
（1）四种命题间的相互关系：
（2）四种命题中真假性的等价关系：
原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
3．充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
A是B的真子集
集合与
充要条件
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
B是A的真子集
p是q的充要条件
p⇔q
A＝B
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
A，B互不包含
[小题体验]
1．下列命题是真命题的为（ ）
A．若
＝
，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则
＝
D．若x解析：
选A 由
＝
易得x＝y；由x2＝1，得x＝±1；
若x＝y<0，则
与
均无意义；
若x＝－2，y＝1，虽然xy2.
所以真命题为A.
2．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝
”是“A∩B＝{4}”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±
，故“m＝
”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
3．（教材习题改编）已知命题：
若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．
答案：
若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0
1．易混淆否命题与命题的否定：
否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．易忽视A是B的充分不必要条件（A⇒B且B
A）与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A
B）两者的不同．
[小题纠偏]
1．（2015·湖南高考）设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选C ∵x>1，∴x3>1，又x3－1>0，即（x－1）（x2＋x＋1）>0，解得x>1，∴“x>1”是“x3>1”的充要条件．
2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：
________________.
解析：
原命题的条件：
在△ABC中，∠C＝90°，
结论：
∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．
答案：
在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
[题组练透]
1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是（ ）
A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤b
C．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2
解析：
选B 根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：
若a2≤b2，则a≤b.
2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为（ ）
A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
解析：
选C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
3．（易错题）给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．（写出所有真命题的序号）
解析：
①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
答案：
①③
[谨记通法]
1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点
（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．
2．命题真假的2种判断方
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