高考文数题型秘籍36基本不等式解析版.docx

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高考文数题型秘籍36基本不等式解析版

专题三十六基本不等式

【高频考点解读】

1.了解基本不等式的证明过程．　

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

【热点题型】

题型一基本不等式

例1、函数f（x）＝x＋

（x>1）的最小值为（　　）

A．11　　　　　　B．5

C．6D．7

【提分秘籍】

1．基本不等式成立的条件是a，b都是正数．在解题时，如果a，b为负数，可提取负号，创造变量为正数的条件，再利用基本不等式解题．

2．在运用基本不等式的变形时，注意一定要验证它们成立的条件是否满足．

【举一反三】

已知正数x，y满足

＋

＝1，则x＋2y的最小值为________．

【热点题型】

题型二利用基本不等式求最值

例2、若不等式m≤

＋

在x∈（0,1）时恒成立，则实数m的最大值为（　　）

A．9　　　　B.

　　　　C．5　　　　D.

【提分秘籍】

1.利用基本不等式求最值时要注意：

（1）基本不等式中涉及的各数（或式）均为正；

（2）和或积为定值；

（3）等号能否成立．

即要满足“一正、二定、三相等”的条件．另外需注意变形公式的灵活运用及通过对原代数式或解析式的拆分来创造利用公式的条件．

2.不等式求最值常用的变形方法

（1）变符号；

（2）拆项；（3）添项；（4）凑系数；（5）同除构造ax＋

型．

【举一反三】

若点A（1,1）在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则

＋

的最小值为________．

【热点题型】

题型三条件最值问题

例3、（2013年高考天津卷）设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，

＋

取得最小值．

【提分秘籍】

利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路

（1）对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解；

（2）条件变形进行“1”的代换求目标函数最值．

【举一反三】

已知向量a＝（x－1,2），b＝（4，y），若a⊥b，则9x＋3y的最小值为（　　）

A．2

B．12

C．6D．3

【热点题型】

题型四基本不等式的实际应用

例4、为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x＝4－

（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．

（1）将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

（2）该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

【提分秘籍】

在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点

（1）设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数；

（2）建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；

（3）在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值；

（4）回到实际问题中去，写出实际问题的答案．

【举一反三】

某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（　　）

A．10B．11

C．13D．21

【热点题型】

题型五利用基本不等式求解三元函数的最值策略

例5、（2013年高考山东卷）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当

取得最大值时，

＋

－

的最大值为（　　）

A．0　　　　　B．1

C.

D．3

【提分秘籍】利用基本不等式求解三元函数的最值策略

近几年三元函数的最值逐渐成为高考的热点，主要考查考生的变形推理能力、构造能力、化归能力．求解时要注意以下二种策略的应用：