最新中考数学专项复习题库二次函数实际应用.docx

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最新中考数学专项复习题库二次函数实际应用

二次函数实际应用

类型一　销售问题

1.鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．

（1）求销售量y个与降价x元之间的函数关系式；

（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？

（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？

解：

（1）∵当售价为80元/个时，每周可卖出160个，售价每降低2元，每周可多卖出20个，

∴y＝

·20＋160＝10x＋160；

（2）根据题意得：

W＝（80－50－x）（10x＋160）＝－10x2＋140x＋4800，

化为顶点式得W＝－10（x－7）2＋5290，∵x为偶数，

∴当x为6或8元，即定价为80－6＝74或80－8＝72元时，利润最大，最大利润为5280元；

（3）若要利润不低于5200元，则当利润为5200元时，

代入

（2）中的函数关系式得－10（x－7）2＋5290＝5200，

解得x1＝10，x2＝4，

∵y＝10x＋160，10>0，

∴y随x的增大而增大，

∴销量y的最小值为y最小＝4×10＋160＝200，所需资金为200×50＝10000（元）．

答：

他至少要准备10000元进货成本．

2.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：

该产品每千克售价不得超过90元．在销售过程中发现销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：

售价x（元/千克）

…

50

60

70

80

…

销售量y（千克）

…

100

90

80

70

…

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为每千克多少元？

（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？

此时的最大利润为多少元？

解：

（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），根据题意得

，

解得

，

故y与x的函数关系式为y＝－x＋150；

（2）根据题意得（－x＋150）（x－20）＝4000，

解得x1＝70，x2＝100>90（不合题意，舍去），

故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为每千克70元；

（3）w与x的函数关系式为：

w＝（－x＋150）（x－20）

＝－x2＋170x－3000

＝－（x－85）2＋4225，

∵－1<0，且20≤x≤90，

∴当x＝85时，利润最大，利润最大值是4225.

∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．

3.某公司开发出一种高科技电子节能产品，投资2500万一次性购买整套生产设备，此外生产每件产品需成本20元，每年还需投入500万广告费，该商品的年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图所示：

第3题图

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若该公司第一年即可盈利，那么该商品的售价应为多少时，第一年盈利最大，此时最大利润是多少？

（3）在

（2）的前提下，即在第一年盈利最大时，第二年公司重新确定产品定价，能否使两年共盈利3500万元？

若能，求第二年产品售价；若不能，说明理由．

解：

（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，

将点（30，120），（70，80）代入，

得

，

解得

，

∴y关于x的函数关系式为y＝－x＋150（30≤x≤70）；

（2）设盈利w万元，根据题意得

w＝（x－20）（－x＋150）－2500－500

＝－（x－85）2＋1225，

∵30≤x≤70，

∴当售价为70元/件时，第一年盈利最大，最大盈利为1000万元；

（3）能．

根据题意得第二年的投入费用为每件20元的生产成本及500万元的广告费，

根据题意有（x－20）（－x＋150）－500＝3500－1000，

整理得x2－170x＋6000＝0，

解得x＝50或x＝120（舍去）．

故第二年产品售价为50元．

类型二　抛物线型

4.把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米），适用公式h＝20t－5t2（0≤t≤4）．

（1）当t＝3时，求足球距离地面的高度；

（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；

（3）若存在实数t1和t2（t1≠t2），当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围．

解：

（1）当t＝3时，h＝20t－5t2＝20×3－5×9＝15（米），

∴此时足球距离地面的高度为15米；

（2）∵h＝10，∴20t－5t2＝10，

即t2－4t＋2＝0，解得t＝2＋

或t＝2－

，

∴经过2＋

或2－

秒时，足球距离地面的高度为10米；

（3）∵m≥0，由题意得t1和t2是方程20t－5t2＝m的两个不相等的实数根，移项得5t2－20t＋m＝0，

∴b2－4ac＝（－20）2－20m＞0，

∴m＜20，

∴m的取值范围是0≤m＜20.

5.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝－

x2＋2x＋4的一部分．

第5题图

（1）求演员弹跳离地面的最大高度；

（2）已知在一次表演中，人梯高BC＝4米，人梯到起跳点A的水平距离是6米，问这次表演是否成功？

请说明理由．

解：

（1）将二次函数y＝－

x2＋2x＋4化成y＝－

（x－3）2＋7，

∴当x＝3时，y有最大值，y最大＝7，

答：

演员弹跳离地面的最大高度是7米；

（2）能成功表演．理由是：

当x＝6时，y＝－

×62＋2×6＋4＝4.

即点B（6，4）在抛物线y＝－

x2＋2x＋4上，

因此，表演能成功．

6.为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：

米）与水平距离x（单位：

米）的函数关系式；（不要求写自变量x的取值范围）

（2）在

（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳

后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？

请通过计算说明；

（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？

（排球压线属于没出界）

第6题图

解：

（1）依题可知，排球飞行轨迹线顶点为G（7，3.2）且过C（0，1.8）．设排球运动轨迹方程为y＝a（x－7）2＋3.2，

则1.8＝a（0－7）2＋3.2，

解得a＝－

，

∴所求函数关系式为y＝－

（x－7）2＋3.2，

即y＝－

x2＋

x＋

；

（2）把x＝（18÷2＋0.5）＝9.5，代入y＝－

x2＋

x＋

得，y≈3.0＜3.1.

∴她可以成功拦住；

（3）设排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为：

y＝a（x－7）2＋h，

当排球正好过网时，将点B（9，2.43）和C（0，1.8）代入解析式得：

，解得

，

此时二次函数解析式为y＝－0.014（x－7）2＋2.486，

则球要过网时，h≥2.486；

当排球不出边界时，将点C（0，1.8）和D（18，0）代入解析式得：

，解得

.

此时二次函数解析式为y＝－0.025（x－7）2＋3.025.

球不出边界时，h≥3.025.

综上所述，若球既要过球网，又不出边界，排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025.

类型三　面积问题

7.如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上．若AB＝6米，AD＝4米，设AM的长为x米，矩形AMPQ的面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）当x为何值时，S有最大值？

请求出最大值．

第7题图

解：

（1）∵四边形AMPQ是矩形，∴PQ＝AM＝x.

∵PQ∥AB，∴△PQD∽△BAD，∴

＝

，

∵AB＝6，AD＝4，∴DQ＝

x，

∴AQ＝4－

x，

∴S＝AQ·AM＝（4－

x）x＝－

x2＋4x（0

（2）S＝－

x2＋4x＝－

（x－3）2＋6.

∵－

<0，

∴S有最大值，当x＝3时，S有最大值为6.

答：

当AM的长为3米时，矩形AMPQ的面积最大，最大面积为6平方米．

8.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？

如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由；

（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．

第8题图

解：

（1）由题意知，苗圃园与墙平行的一边长为（30－2x）米，可列方程

x（30－2x）＝72，即x2－15x＋36＝0.

解得x1＝3，x2＝12.

∵30－2x≤18，即x≥6，

∴x＝3舍去，故x＝12；

（2）依题意得8≤30－2x≤18，解得6≤x≤11.

面积S＝x（30－2x）＝－2（x－

）2＋

（6≤x≤11）．

①当x＝

时，S有最大值，S最大＝

；

②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×（30－22）＝88；

（3）x的取值范围是6≤x≤10.

【解法提示】由

（1）知，x≥6，

由题意得x（30－2x）≥100，

即－x2＋15x－50≥0，

解得5≤x≤10，

又∵x≥6，

∴x的取值范围是6≤x≤10.

9.如图，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒．

（1）若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm2，求长方体包装盒的高；

（2）设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为x（cm），长方体的侧面积为S（cm2），求S与x的函数关系式，并求x为何值时，S的值最大．

第9题图

解：

（1）设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为xcm，由题意得：

（

×

）2＝1250.

解得x1＝5

，x2＝55

（舍去），

答：

长方体包装盒的高为5

cm；

【一题多解】如解图，由已知得底面正方形的边长为

＝25

cm，

∴AN＝25

×

＝25，

∴PN＝60－25×2＝10，

∴PQ＝10×

＝5

cm.

答：

长方体包装盒的高为5

cm.

第9题解图

（2）由题意得，S＝4×

×

×x＝－4x2＋120

x.

∵a＝－4<0，

∴当x＝－

＝15

时，S有最大值．

类型四　其他问题

10.青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨

.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

淡季

旺季

未入住房间数

10

0

日总收入（元）

24000

40000

（1）该酒店豪华间有多少间？

旺季每间价格为多少元？

（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？

最高日总收入是多少元？

解：

（1）设该酒店有豪华间a间，则：

＝

（1＋

），解得a＝50，

经检验a＝50既是原分式方程的解，也符合题意，

∴旺季每间价格为：

40000÷50＝800（元）．

答：

该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；

（2）设该酒店豪华间上涨x元，日总收入为w元，则：

w＝（x＋800）（50－

）＝－

x2＋18x＋40000

　＝－

（x－225）2＋42025，

答：

当每间价格上涨225元时，日总收入最高，最高总收入为42025元．

11.某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y＝a（x－h）2＋k，二次函数y＝a（x－h）2＋k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为－16、20.

（1）试确定函数关系式y＝a（x－h）2＋k；

（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；

（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？

最多利润是多少万元？

第11题图

解：

（1）根据题意可设：

y＝a（x－4）2－16，

当x＝10时，y＝20，

∴a（10－4）2－16＝20，解得a＝1，

∴所求函数关系式为：

y＝（x－4）2－16；

（2）当x＝9时，y＝（9－4）2－16＝9，

∴前9个月公司累计获得的利润为9万元．

又∵当x＝10时，y＝20，而20－9＝11，

∴10月份一个月内所获得的利润为11万元；

（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元），

则有：

s＝（n－4）2－16－[（n－1－4）2－16]＝2n－9，

∵s是关于n的一次函数，且2>0，

∴s随着n的增大而增大，而n的最大值为12，

∴当n＝12时，s＝15，

∴第12个月该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．

12.国家为支持大学生创业，提供小额无息贷款，学生王芳享受政策无息贷款36000元用来代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），付员工的工资每人每天82元，每天应支付其他费用106元．

（1）求日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）若暂不考虑还贷，当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；

（3）若该店只有2名员工，则该店至少需要多少天才能还清贷款，此时，每件服装的价格应定为多少元？

第12题图

解：

（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数关系式为y＝k1x＋b1，由图象经过（40，60）、（58，24）两点可得：

，解得

.

∴y＝－2x＋140；

当58＜x≤71时，设y与x的函数关系式为y＝k2x＋b2，由图象经过（58，24）、（71，11）两点，可得：

，解得

.

∴y＝－x＋82.

综上所述：

y＝

；

（2）设人数为a，当x＝48时，y＝－2×48＋140＝44，

则（48－40）×44＝106＋82a，

解得：

a＝3.

答：

该店员工人数为3人；

（3）设每日的收入为W元，

当40≤x≤58时，W＝（x－40）（－2x＋140）＝－2（x－55）2＋450，

∴当x＝55时，W取得最大值450；

当58＜x≤71时，W＝（x－40）（－x＋82）＝－（x－61）2＋441，

∴当x＝61时，W取得最大值441.

综上可知，当x＝55时，W取得最大值450.

设需要b天，该店还清贷款，则：

（450－106－82×2）b≥36000，

解得b≥200.

答：

该店至少需要200天才能还清贷款，此时，每件服装的价格应定为55元．