（1）4a－2b+c=0；
（2）a0；（4）2a-b+1>0；其中正
确的结论有；（填序号）
题型四：
二次函数与方程不等式
1.已知二次函数yx2
4x
m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2
4xm＝0的解为
；
2.不论x为何值,函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A.a>0,△>0B.a>0,△<0
C.a<0,△<0D.a<0,△<0
3
2
+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1。
若其
.如图，这是抛物线
y=ax
与x轴的一交点为
A（3，0），则由图象可知，不等式
ax2+bx+c〉0的
解集是
；
4.实数x,y满足x2
3xy30,则x+y的最大值为
；
5.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察
图像写出y2≥y1时，x的取值范围；
2
求证
（1）不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）当m取何值时，抛物线与x轴两个交点之间的距离最短。
题型五：
形积问题
1.如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是（－1，2）．
（1）求点B的坐标；（相似）
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在
（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．
2.如图，抛物线yax2bx4a经过A（－1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一
点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m,m1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（）在（
）的条件下，连接
BD，点P
为抛物线上一点，且
DBP＝45
，求点
3
2
P的坐标．
3.如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，－3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以
点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
题型六：
二次函数应用利润问题
1.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于
55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
2.我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x（元∕件）
与每天销售量y（件）之间满足如图3-4-14所示关系．
（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；
（2）①试求出y与x之间的函数关系式；
②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定
为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
最大利润是多少？
（利润
=销售总价－成本总价）。
二次函数应用几何面积问题
1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建
一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如
图4）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化
带的面积最大？
BA
25m
CD
图4
2.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成
中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？
如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
题型七：
二次函数的综合题（四边形的存在性）
题型特点
四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，
如：
平行四边形、菱形、梯形的存在性等，往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、
画图及建等式计算等．
解题思路
①寻找定量，结合特殊四边形判定确定分类；
②转化四边形的存在性为点的存在性或三角形的存在性；
③借助几何特征建等式．
难点拆解
①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转画图，借助坐
标间关系及中点坐标公式建等式求解．
②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理．
③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借助对
称性和中点坐标公式联立求解．
④直角梯形存在性关键是利用好直角．
a.如图，抛物线错误！
未找到引用源。
（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC
面积的最大值和此时点
P的坐标．
Q作QN∥AC交x轴于点
（）点Q是抛物线在第一象限上的一个动点，过点
3
时，四边形QNAC是平行四边形；当点Q的坐标为
N．当点Q的坐标为
_________
_________时，四边形QNAC是等腰梯形．
y
y
D
C
C
P
b.如图，OA，OB的长分别是关于x的方程x2-12x+32=0的两根，且OA>OB．请解答下列问题：
（1）求直线AB的解析式．
（2）若P为AB上一点，且错误！
未找到引用源。
，求过点P的反比例函数
的解析式．
（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，P，O，Q为顶点的四边形是等腰梯形？
若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y
y
B
B
P
P
A
Ox
A
Ox
A
3.如图，在矩形OABC中，AO10，AB8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边
BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线错误！
未找到引用源。
经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式．
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动
到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C
为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，
使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出点M与点
N的坐标；若不存在，请说明理由．
y
y
ADBADB
EE
4.如图，已知抛物线错误！
未找到引用源。
（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），
且与y轴交于点OC（0，3），与x轴交于CxA，B两点（点A在点OB的右侧），点P是C
该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与点A不重合），过点P
x
作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式．
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．
（3）在
（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以
A，P，E，F为顶点的平行四边形？
若存在，求出点
F的坐标；若不存在，请说
明理由．
y
y
C
C
D
P
OB
A
x
OB
A
x
Q
Q
5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形
ABCD的三个顶点B
，
0）
，C
，
0）
，
（1
（3
D，
4）
，以A为顶点的抛物线错误！
未找到引用源。
过点C．动点P从点A
出
（3
发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点
P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为
t秒．过点P作PE⊥AB交AC
于点E．
（1）求点A的坐标及抛物线的解析式．
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？
最大值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？
求出t
y
AFD
G
PE
Q
ABCD内（包括边界）的值．
y
AF
G
PE
D
Q
OBCxOB
Cx
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