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直角三角形

初中几何第二册第三章

第五单元直角三角形

一•教法建议

【抛砖引玉】

本单元向同学们介绍勾股定理这个古老的数学问题，2000多年前我们的祖

先对其就有专门研究，并取辉煌成就。

这是中华民族自毫，炎黄子孙的骄傲，今天我们又来学习这个问题一一勾股定理，它是几何中最重要的定理之一，勾股定理反映了一个直角三角形三边之间关系，所以它也是直角三角形的一条重要性质，同时，由勾股定理及逆定理，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足c2=a2+b2）。

它把形与数密切地联系起来，拓宽了视野。

勾股定理是解直角三角形的主要根据之一，在生产生活实际中用处很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。

为此，我们对它进行专门的学习与研究，并向同学们介绍一种面积证法，即同一种图形用两种面积关系式表示，列出关系式，使问题得到解决。

例如：

直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边及斜边上的高分别c、h，其面积为s△，则有

11

sabchabch

22

这个问题同学们在小学已不陌生，应用这种面积思维几何问题又熠熠生辉。

我们祖先发现：

图形割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变，利用计算可以证明几何命题，而且是一种常用的证明方法，也是我国古代证明几何题常用方法。

如何掌握及应用面积法，要认真观察图形，发现它的图形整体特征及分割后的图形特征或拼凑（割补）成不同图形的特征，分别用面积公式表示出来，再找出面积相等关系，列出等式，计算一下，便达目的。

教学必须紧紧扣住这一点，用面积法证明勾股定理就迎刃而解。

再通过生产生活实际问题引导同学们用勾股定理去解决，以强化勾股定理的应用。

把勾股定理的题设和结论交换（一对一的交换），可以得到它的逆命题，能够证明这个命题是真命题，即“勾股定理的逆定理”，它是判定一个三角形是直角三角形的重要方法，与前面学过的判定方法（直角三角形定义或两直角边互相垂直）不同，它需要通过代数方法“算”出来。

这点在教学中通过实例与练习让同学们弄清楚用代数法证几何问题妙处，进一步开阔学生眼界。

【指点迷津】

勾股定理及其应用是本单元重点之一。

采取面积法证明勾股定理有些陌生。

为此，应复习小学学习过的面积公式，如直角形面积公式，正方形面积公式，长方形面积公式等，并复习小学学过的用拼凑法证明平行四边形面积公式等。

然后

再研究用面积法证明勾股定理便容易接受了。

勾股定理应用很重要，要通过例习题进行强化练习，以便熟练掌握。

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的重要依据，也是介绍用代数法证几何题的开拓，因此对其证法进行详细说明，使学生弄清证明的依据及方法，并掌握用代数法证几何题方法及技巧，以便

今后的应用。

二•学海导航

【思维基础】

1•勾股定理：

直角三角形两条直角边的平方和等于;如果两条直角边

长为a、b,斜边为长c,则c2=。

2.由勾股定理已知直角三角形任意两边可求

3.勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c有下列关系：

a2+b2=c2,哪么这个三角形为_三角形。

4.运用勾股定理的逆定理可用来判定三角形或用来确定角。

【学法指要】

例1.如图已知ABC中，/A=90°,D、E分别是AB、AC上的点，求证：

cd2+be2=bc2+de2

思路分析：

题设告知Rt^ABC，且/A=90°,或观察图形，又发现三个

Rt△，即Rt△ADE，Rt^ABE，Rt△ACD，同时，结论又告知平方和的关系式，结论已暗示我们用勾股定理作“向导”，是最佳“人选”。

于是在Rt^ABC，

Rt△ADE，Rt^ABE，Rt^ACD中，分别由勾股定理，得:

be2=ab2+ae2I

cd2=ac2+ad2.「

cd2+be2=ab2+ac2+ad2+ae2

bc2=ab2+ac2

de2=ad2+ae2

cd2+be2=bc2+de2

例2.已知：

如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点,

求证：

AB2—AD2=BD•DC

思路分析：

通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。

本例首先作AE丄BC于E,便出现两个全等的直角三角形。

由AB=ACBE=EC

结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt△ABE，RtAADE中，由勾股定理，得

ab2=ae2+be2ad2=ae2+de2

ab2—ad2=be2—de2

1

且GD=，AG,求证:

BG^CGmAG2

bg2=ge2+be2

cg2=ge2+ce2

BG2+CG2=2GE2+BE2+CE2

由于BE、DE均在一条直线BC上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是

AB2—AD2=（BE+DE）（BE—DE）

结合图形知：

BE+DE=BD、ab2—ad2=bd•CD

BE—DE=CE—DE=CD’

例3.已知：

如图，在△ABC中，/BAC=90°,AD=BD=CD,G为AD上一点,

思路分析:

结论关系式左边告知平方和的关系式，通常联想勾股定理解之为先，又BG,CG与直角三角形没有

“姻缘”。

必须添设垂线作引线，使它与直角三角形牵上“红线”，便可促成“美满姻姻”。

于是作GE丄BC于点E,便出现

Rt△BGE,Rt^CGE,由勾股定理，得

在Rt中,DG2—DE2=GE2

结合图形发现：

BE2=（BD+DE）2,CE2=（CD—DE）2

BG2+CG2=2（DG2—DE2）+（BD+DE）2+（CD—DE）2

此时便想借“数”的一臂之力，用完全平方公式“帮忙”，得：

BG2+CG2=2DG2—2DE2+BD2+DE2+2BD•DE+CD2+DE2—2CD•DE又知BD=CD

BG2+CG2=2DG2+2BD2

1

结合已知条件知：

GD=—AG

2

13AD=BD=AG+GD=AG+—AG=—AG

22

221232

•••BG2+CG2=2•（^AG）2+2（^AG）2

=2AG2（-9）=2AG2•10

444

=5AG2

例1〜例3都是用勾股定理当主力军，担任“主攻”。

可见遇到平方和与平方差问题，通常应迅速作出决策，应用勾股定理作开路“先锋”，一般会旗开得胜。

但是孤军作战还是挺冒险的，必须“友军相助”，运筹帷幄，才能立于不败之地，例1〜例3是形的问题，借助“友军”数中平方差公式，完全平方公式，提取公因式等，使问题向予定的胜利目标前进，最终夺取胜利。

可见打开问题既要确定主攻路线，又要有策略一一思维方法，如数形结合法，转化法等，才能从胜利走向胜利。

例4.若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状

思路分析：

“遇到平方想配方”，即遇到平方关系，设法配成完全平方式。

通常可达到目的，根据本例的题设条件，出现上述所说的特征，应立即对题设进行配方变换，于是有：

（a2—10a+25）+（b2—24b+144）+（c2—26c+169）=0

（a—5）2+（b—12）2+（c—13）2=0

222

•••（a—5）2=0,（b—12）2=0（c—13）2=0

--a=5b=12c=13

•••52+122=25+144=169=13

•••a2+b2=c2,由勾股定理逆定理知：

•••△ABC是直角三角形。

例5.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、

13、12，/CBA=90°，求S四边形ABCD

思路分析：

遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因/CBA=90°，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求

AC2=AB2+BC2=32+42=25

在厶CAD中，我们又可发现：

AC2+AD2=25+122=169

DC2=132=169

•••ac2+ad2=cd2,由勾股定理逆定理知

•••△ACD为RtA，且/DAC=90°

此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了

S四边形ABCD=S^ABC+S^ACD

11

ABBCACAD

22

11

34512

22

63036（平方单位）

判定一个三角形是否是直角形，用定义，即证明三角形中有一个角有直角，或者一个三角形中有两条边互相垂直，这是已学过的两种方法，现又增加判定一个三角形是否是直角形的新方法——应用勾股定理逆定理，用代数法计算一下三

边的关系，便可果断作出判定，例4与例5用勾股定理逆定理进行判断，使思路打通了，也可给同学们开辟了证解几何题的新思路一一代数法。

望同学们按照新

开辟的“航道”大胆“启航”吧！

一定会一帆风顺。

【思维体操】

例1.已知：

△ABC中，/BAC=120°,ZABC=15°，/A、/B、/C的对边分

别为a、b、c,那么a:

b:

c=（本题结论保留根号）

思路分析1:

本例题设告知/BAC=120°,很容易想到它的邻补角为60它已隐含告知我们构造一个含30°的特殊直角三角形。

这时，只要过B作

，以其为”领路人”便可

BD丄CA交其延长线于点D,含30°的直角三角形便出现了顺利前进了。

如图，设AD=1，则AB=2，由勾股定理，得BDVAL—Ad^J2212晶

又/BAC=120°,/ABC=15°a/ACB=45°

•••/D=90°：

/DBC=45°

•••/DCB=/DBCCD=DB=.3

•••b=AC=CD—AD=3—1

在RtABCD中，由勾股定理,得

aBCCD2BD2.（3）2（3）26

a:

b:

c6:

（31）:

2

厂庇近厂.3：

:

2

2

思路分析2:

仿思路分析1便构造出两个特殊直角三角形，即含30°的直角三角形ABD及等腰直角三角形DBCo再过D作DE丄BC于E,又构造出两个等腰直角形，为解题创造出更有利的条件。

设CE=1，贝UBE=1,DE=1

在RtADBE中，由勾股定理,得

DB.DE2BE212122

贝UDC=DB=2

1

RtAADB中，/ABD=30。

厕AD=^AB

•••设AD=x，贝UAB=2x

由勾股定理，得4x2—x2=

（2）2

•x

.6

3

•b

AC

DC

AD2

63一2.6

33

c

AB

2x

26又

乂a

3

2

•<

…a■

：

b：

c

2:

3.2,6

:

2^6

3

3

「3

:

詣<2

:

、2

2

思路分析3:

题设告知/BAC=120°,ZABC=15°，也就隐含告知/ACB=45°。

必须设法构造含45°角的直角三角形，于是我们过点A作AD丄BC于D,便出现等腰直角三角形ACD,那么还得构造含30°的直角三角形,由/BAC=120°.我们作/BAC的平分线,便出现60°的角，再在AB取AE=AC,连CE,交AF于点F,便出现一对全等的含30°角的直角三角形ACF和AEF,这时，题设与结论便联系上，使问题出现了生机•

如图，设AD=CD=1,则由勾股定理，得

AC=.2,即b=2

AF|aC子,在厶ACF中，由勾股定理，得:

46厂

CF,CE2CF一62

vZAEC=ZB+ZECB

•/ECB=ZAEC-ZB=30°—15°=15°

•ZECB=ZB,•CE=BE

•c=AB=AE+BE=2.6

在RtAABD中，由勾股定理,得

BD.AB2AD2（26）212

74.32、3

aBCCDBD333

a:

b:

c（3，3）：

2:

（.2.6）

一v6-2—

3:

、2

2

思路分析4:

由思路分析3知，作AD丄BC于D,便构造出等腰RtAADC及直角△ABD,再在△ABD内作ZEAB=ZB=15°，便出现含30°角的直角三角形.问题已转化为研究含特殊角的直角三角形•

由/BAE=/B=15°AE=BE

/AEC=/BAE+/B/AEC=30°在RtAADE中，设AD=1,则AE=2,EB=2由勾股定理，得DE..AE2AD2.3

CPPB

在等腰RtAACD中,CD=AD=1由勾股定理，得bACCD2AD22

DB=DE+EB=、3+2a=BC=CD+DE+EB=3+3在RtAADB中，由勾股定理，得

AB..AD2BD2,12（23）2.843

、2、6

c26

a:

b:

c（33）:

..2:

（一2,6）

•3

.62

2

思路分析5:

作AB的垂直平分线，便可构造等腰厶AEB,那么它的外角

/AED=30。

通过A作AD丄BC于D。

使出现等腰直角厶ADC和含30°角的直

角厶ADE,使思路分析4即可求得结果。

从原例扩散成如下命题你能解决吗？

已知△ABC的三边长为a、b、c,/A=135

。

，/B=15°,

求a:

b:

c

（可仿上例解之，答案：

a:

b:

c2:

（31）：

2）

扩散二：

已知：

如图，△ABC中，AD丄BC于D，/B=60°，ZC=45°,BC=6，

求AD的长。

思路分析：

由题设知厶ABD和厶ACD分别为含30°的Rt△和等腰RtA,应用特殊直角三角形的性质可一举获胜。

在RtAACD中，/C=45°,则/CAD=45°

•••/CAD=ZCAD=DC

设AD=DC=x

在RtAABD中，/B=60°aZBAD=30°

TDC=x,BD=6—x,AB=2（6—x）

在RtAABD与RtAACD中，由勾股定理，得

AB2—BD2=AD2=AC2—CD2

即2（6x）2（6x）2（-2x）2x2

整理得:

x218x540

X193,x293（不合题意，舍）

即AD93

扩散三：

已知：

如图，在正方形ABCD中，E,F分别AB,AD上的点，又AB=12,1

EF=10,AAEF的面积等于五边形EBCDF面积的-，求AE,AF的长。

5

思路分析：

依题意知△AEF为Rt△用勾股定理，立马而定，于是有

ef2=ae2+af2

设AE=x,AF=y,又EF2=100,则x2+y2=100①

1

xy

2

SAEF

又SAEF

1

即2xy

96②

22

x2xyy196

（xy）2196

xy14或14

x22xyy24

（xy）24

xy2或2

解得:

x8,y6或x6,y8

即AE8,AF6或AE6,AF8

本例未告知AF,AE谁大,所以应取两解.

从例题到扩散三，我们寻找解题思路的过程中，首先是发现直角三角形，再用勾股定理，当“主力军”攻之，但往往直角三角形不是现成存在的，我们可因题而定，作出三角形的高，而出现直角三角形，或由特殊角（30°,45°,60°……）

而作出相应的含特殊角的直角形，再用勾股定理，思路就打通了.解题过程,便是不断创造的过程，不断探索过程，“新大陆”也就会被发现。

三.智能显示

【心中有数】

本单元向同学们介绍了勾股定理及其应用，是学习重点。

勾股定理的应用应为重中之重，如何应用，怎样使用的适当，这是在学习中应弄明白问题，勾股定理的逆定理也是本单元重点学习内容，它向同学们揭示了判定一个三角形是直角三角形的又一方法，用计算法证几何题从此有新的开端，对这一代数证法同学们熟练驾驭，以便今后更好地应用它，并要学会用勾股定理及逆定理处理生活，生

产中的实际问题。

【动脑动手】

1•如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：

AB=8cm,BC=10cm，求EC的长。

2.

5

东西和南北的两条街道相交于点0,甲沿着东西道由西向东走，速度是每秒4米，乙沿着南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通过0点后又继续前进50米，甲刚好通过0点，求这两个人在相距85米时每人的位置。

3.在△ABC中，/B=90°,AB=6cm,BC=3cm,

点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于＜2cm?

4.如图，在△ABC中，/B=90°，点P从点A开始，沿

AB边向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从B开始，沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q同时出发，

（1）经过几秒钟P、Q的距离最短？

（2）经过几秒钟△PBQ的面积最大？

最大面积是多少？

5.如图所示，一艘轮船以20浬时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40浬/时的速度由南向北移动，距台风中心20.10浬圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海浬。

（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？

若会，试求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。

（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°

方向，相距60浬的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？

（提高的船速取整数，

1336）

揭示思路：

1•由图形翻转性质知：

△ADEAFE

•••EF=DE,AF=AD=10

设EC=x，则EF=DE=8-x

在RtAABF中，由勾股定理，得

BF.AF2AB2102826

FCBCBF1064

在RtAEFC中，由勾股定理，得

ef2=ec2+fc2

即（8—x）2=X2+42

解得x=3

C

即EC=x=3

2.设甲通过O点，以后t秒时，甲、乙的位置分别是A、B,则OA=4t,OB=50+3t,依题意，并有勾股定理，得

222

oa2+ob2=ab2

即（4t）2+（50+3t）2=852

•••t2+12t—21X9=0

ti=9或t2=—21

当t=9时,OA=36,OB=77

当t=—21时,OA=—84,OB=—13

答：

甲、乙分别在通过O点后又前进在距离O点84米，13米的位置。

36米、77米或尚未通过O点，分别

3.设t秒后P、Q间距离等于4-2，依题意，得

PB=6—t,BQ=2t

于4、2cm。

在RtAPBQ中，由勾股定理,得

（6—t）2+（2t）2=（42）2

•5t2—12t+4=0

2

•t1=,t2=2

5

当t=2时,2t=4>3=BC,应舍去

2

答：

-秒钟后,P、Q间的距离等

5

4.

（1）设经过t秒钟AP和BQ的长度分别为:

睦Si

AP=t,BP=2t,（0

贝UBP=AB—AP=6—t

在RtAPBQ中，由勾股定理，得

PQPB2BQ2、（6t）2（2t）2

.5t212t36

5（t5）21445

1

...经过1_秒钟p、Q的距离最短。

5

（2）设厶PBQ的面积为S,贝U

11

S-BPBQ-（6t）2t

22

22

6tt（t3）9

•••当t=3时，S取得最大值9。

•经过3秒钟△PBQ的面积最大，最大面积是9cm2。

5.

（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处,连结CE,则有

AE=AB—BE=100—40t

在RtAAEC中，由勾股定理，得

ac2+ae2=ec2

即（20t）2+（100—40t）2=（20.10）2

•t2—4t+3=0①

2

•/△=（-4）2—4•1•3=4>0•••途中会遇到台风的影响。

解①得ti=1t2=3

•••最初遇到台风的时间为1小时

⑵设台风到达D港的时间为t小时，此时台风中心至M点过D作DF丄AB垂足为F，连结DM

在RtAADF中,AD=60,/FAD=60°

•DF=303,FA=30

又FM=FA+AB—BM=130—40t,MD=20.10在RtAFDM中由勾股定理,得

df2+mf2=md2

即（30.3）2+（130—40t）2=（20.10）2

4t226t390

t1

1313

~，t2

1313

4

13J13

•台风抵达D港的时间为F小时.

生』〜25.5

轮船从A处用1313小时到达D港的速度为60*

44

因此,为使台风抵达D港之前轮船到达D港,轮船到少提速6浬/小时.【创新园地】

题:

现有四块直角边为a、b,斜边为c的直角三角形的纸板，请从中取出若干块拼图，（需画出可拼的图形）证明勾股定理

证法一：

拼成的图形如右图，图中空白处正方形边长为

1

面积为-ab

2

122

・•^abx4+（a—b）2=c2

即a2+b2=c2

证法二:

拼成的图形如右图

212

（a+b）2=^abx4+c2

222

a+2ab+b=2ab+c

…a+b=c

每个三角形

，则有

证法三:

拼成的图形如右图

122

abx4+（a—b）2=c2

•a2+b2=c2

证法四:

拼成的图形如右图

，则有

，则有

（a—b）,

3

定受益匪浅!

S梯形2S小RtS大Rt

即（ab）（ab）lab

22

•••a+2ab+b2=2ab+c2

•••a2+b2=c2

注:

勾股定理，目前在世界上可查到的证明勾股理明有关专著收集近400种证法.1998.4P〜5《中学数学教学》（合肥）人民教育出版社于琛老师发表勾股定量证明一文：

“……由此可见，我们利用这一类图形证明勾股定理，不仅给出了1088种新证法……”有兴趣同学可学习于琛老师这篇文

四、同步题库

一、填空题

1.点O是^ABCD勺对角线的交点，若厶AOB勺面积为6亦，则

◊ABCD勺面积为

2

cm

5.已知皿为厶ABC的一边AB上的一点，且有

aM+bM+CM=2AM+2BM+2CM-那么ac+bC=

6.设三角形三条边的长分别为3,4,5,那么这个三角形三条

高的长分别是.

7.在厶ABC中,/A=45,AB=8A