菏泽市初中数学命题与证明的分类汇编及答案.docx
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菏泽市初中数学命题与证明的分类汇编及答案
菏泽市初中数学命题与证明的分类汇编及答案
一、选择题
1.已知下列命题:
①若a>b,则ac>bc;
②若a=1,则
=a;
③内错角相等;
④90°的圆周角所对的弦是直径.
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】A
【解析】
【分析】
先对原命题进行判断,再判断出逆命题的真假即可.
【详解】
解:
①若a>b,则ac>bc是假命题,逆命题是假命题;
②若a=1,则
=a是真命题,逆命题是假命题;
③内错角相等是假命题,逆命题是假命题;
④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题,逆命题是真命题;
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个;
故选A.
点评:
主要考查命题与定理,用到的知识点是互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题,判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
2.下列命题是真命题的是( )
A.如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0
B.如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1
C.如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0
D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数是它本身的数为0;倒数等于这个数本身是±1;平方等于它本身的数为1和0;算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可.
【详解】
A、如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0,是真命题;
B、如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1,是假命题;
C、如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0,是假命题;
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0,是假命题;
故选A.
【点睛】
此题主要考查了命题与定理,关键是掌握正确的命题为真命题,错误的命题为假命题.
3.下列命题是假命题的是( )
A.四个角相等的四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.对角线垂直的四边形是菱形
D.对角线垂直的平行四边形是菱形
【答案】C
【解析】
试题分析:
A.四个角相等的四边形是矩形,为真命题,故A选项不符合题意;
B.对角线相等的平行四边形是矩形,为真命题,故B选项不符合题意;
C.对角线垂直的平行四边形是菱形,为假命题,故C选项符合题意;
D.对角线垂直的平行四边形是菱形,为真命题,故D选项不符合题意.
故选C.
考点:
命题与定理.
4.已知:
中,
,求证:
,下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①∴
,这与三角形内角和为
矛盾,②因此假设不成立.∴
③假设在
中,
④由
,得
,即
.这四个步骤正确的顺序应是( )
A.③④②①B.③④①②C.①②③④D.④③①②
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.
【详解】
题目中“已知:
△ABC中,AB=AC,求证:
∠B<90°”,用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤:
应该为:
(1)假设∠B≥90°,
(2)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°,
(3)所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,
(4)因此假设不成立.∴∠B<90°,
原题正确顺序为:
③④①②,
故选B.
【点睛】
本题考查反证法的证明步骤,弄清反证法的证明环节是解题的关键.
5.下列命题中是真命题的是()
A.多边形的内角和为180°B.矩形的对角线平分每一组对角
C.全等三角形的对应边相等D.两条直线被第三条直线所截,同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式可对A进行判定;根据矩形的性质可对B进行判定;根据全等三角形的性质可对C进行判定;根据平行线的性质可对D进行判定.
【详解】
A.多边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3),故该选项是假命题,
B.矩形的对角线不一定平分每一组对角,故该选项是假命题,
C.全等三角形的对应边相等,故该选项是真命题,
D.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,故该选项是假命题,
故选:
C.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键.
6.下列命题正确的是()
A.矩形的对角线互相垂直平分
B.一组对角相等,一组对边平行的四边形一定是平行四边形
C.正八边形每个内角都是
D.三角形三边垂直平分线交点到三角形三边距离相等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质、平行四边形的判定、多边形的内角和及三角形垂直平分线的性质,逐项判断即可.
【详解】
A.矩形的对角线相等且互相平分,故原命题错误;
B.已知如图:
,
,求证:
四边形ABCD是平行四边形.
证明:
∵
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
又∵
,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴一组对角相等,一组对边平行的四边形一定是平行四边形,故原命题正确;
C.正八边形每个内角都是:
,故原命题错误;
D.三角形三边垂直平分线交点到三角形三个顶点的距离相等,故原命题错误.
故选:
B.
【点睛】
本题考查命题的判断,明确矩形性质、平行四边形的判定定理、多边形内角和公式及三角形垂直平分线的性质是解题关键.
7.下列命题中,真命题的是( )
A.两条直线被第三条直线,同位角相等
B.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
C.点p(x,y),若y=0,则点P在x轴上
D.若
=a,则a=﹣l
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质对A进行判断;根据平行线的判定方法对B进行判断;根据x轴上点的坐标特征对C进行判断;根据二次根式的性质对D进行判断.
【详解】
A、两条平行直线被第三条直线,同位角相等,所以A选项为假命题;
B、在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c,所以B选项为假命题;
C、点p(x,y),若y=0,则点P在x轴上,所以C选项为真命题;
D、若
=a,则a=0或a=1,所以D选项为假命题.
故选:
C.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
8.下列命题属于真命题的是()
A.同旁内角相等,两直线平行B.相等的角是对顶角
C.平行于同一条直线的两条直线平行D.同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】
要找出正确命题,可运用相关基础知识分析找出正确选项,也可以通过举反例排除不正确选项,从而得出正确选项.
【详解】
A、同旁内角互补,两直线平行,是假命题;
B、相等的角不一定是对顶角,是假命题;
C、平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题;
D、两直线平行,同位角相等,是假命题;
故选C.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.2、有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.
9.下列命题是假命题的是( )
A.同角(或等角)的余角相等
B.三角形的任意两边之和大于第三边
C.三角形的内角和为180°
D.两直线平行,同旁内角相等
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余角的定义、三角形的三边关系、三角形的内角和及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
A、同角(或等角)的余角相等,正确,是真命题;
B、三角形的任意两边之和大于第三边,正确,是真命题;
C、三角形的内角和为180°,正确,是真命题;
D、两直线平行,同旁内角互补,故错误,是假命题,
故选D.
【点睛】
考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解余角的定义、三角形的三边关系、三角形的内角和及平行线的性质,难度不大.
10.39.下列命题中,是假命题的是()
A.同旁内角互补
B.对顶角相等
C.直角的补角仍然是直角
D.两点之间,线段最短
【答案】A
【解析】同旁内角不一定互补,同旁内角互补的条件是两直线平行,故选A.
11.下列命题中哪一个是假命题( )
A.8的立方根是2
B.在函数y=3x的图象中,y随x增大而增大
C.菱形的对角线相等且平分
D.在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等
【答案】C
【解析】
【分析】
利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
A、8的立方根是2,正确,是真命题;
B、在函数
的图象中,y随x增大而增大,正确,是真命题;
C、菱形的对角线垂直且平分,故错误,是假命题;
D、在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,正确,是真命题,
故选C.
【点睛】
考查了命题与定理的知识,能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键.
12.能说明命题“关于
的方程
一定有实数根”是假命题的反例为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用m=5使方程x2-4x+m=0没有实数解,从而可把m=5作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例.
【详解】
当m=5时,方程变形为x2-4x+m=5=0,
因为△=(-4)2-4×5<0,
所以方程没有实数解,
所以m=5可作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例.
故选D.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
13.利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,应假设()
A.四边形中至多有一个内角是钝角或直角
B.四边形中所有内角都是锐角
C.四边形的每一个内角都是钝角或直角
D.四边形中所有内角都是直角
【答案】B
【解析】
【分析】
先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法.
【详解】
假设命题中的结论不成立,即命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”不成立,即“四边形中的四个角都不是钝角或直角”,即“四边形中的四个角都是锐角”故选B.
【点睛】
本题考查反证法,要注意命题“至少有一个是”不成立,对应的命题应为“都不是”.
14.下列命题是真命题的是( )
A.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理以及矩形、正方形的判定即可逐一判断.
【详解】
解:
如下图,若四边形ABCD,AD∥BC,∠A=∠C,
∵AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=∠C,
∴∠C+∠B=180°,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故A正确;
B、对角线相等的四边形也可能为等腰梯形,故B错误;
C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形也可能为等腰梯形,故C错误;
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故D错误.
故选:
A.
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定定理,是基础知识要熟练掌握.
15.下列命题的逆命题不正确的是()
A.相等的角是对顶角B.两直线平行,同旁内角互补
C.矩形的对角线相等D.平行四边形的对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】
首先写出各个命题的逆命题,然后进行判断即可.
【详解】
A、逆命题是:
对顶角相等.正确;
B、逆命题是:
同旁内角互补,两直线平行,正确;
C、逆命题是:
对角线相等的四边形是矩形,错误;
D、逆命题是:
对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确.
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法,首先要分清命题的条件与结论.
16.下列五个命题:
①如果两个数的绝对值相等,那么这两个数的平方相等;
②内错角相等;
③在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
④两个无理数的和一定是无理数;
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
其中真命题的个数是()
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系的概念,在两直线平行的条件下,内错角相等,两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数,进行判断即可.
【详解】
①正确;
②在两直线平行的条件下,内错角相等,②错误;
③正确;
④反例:
两个无理数π和-π,和是0,④错误;
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的,正确;
故选:
B.
【点睛】
本题考查实数,平面内直线的位置;牢记概念和性质,能够灵活理解概念性质是解题的关键.
17.交换下列命题的题设和结论,得到的新命题是假命题的是( )
A.两直线平行,同位角相等B.相等的角是对顶角
C.所有的直角都是相等的D.若a=b,则a﹣3=b﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】
写出原命题的逆命题,根据相关的性质、定义判断即可.
【详解】
解:
交换命题A的题设和结论,得到的新命题是同位角相等,两直线平行是真命题;
交换命题B的题设和结论,得到的新命题是对顶角相等是真命题;
交换命题C的题设和结论,得到的新命题是所有的相等的角都是直角是假命题;
交换命题D的题设和结论,得到的新命题是若a-3=b-3,则a=b是真命题,
故选C.
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
18.下面命题的逆命题正确的是()
A.对顶角相等B.邻补角互补
C.矩形的对角线互相平分D.等腰三角形两腰相等
【答案】D
【解析】
【分析】
先分别写出四个命题的逆命题,然后利用对顶角的定义、邻补角的定义、矩形的判断和等腰三角形的判定方法对各命题的真假进行判断.
【详解】
解:
A.对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角,此逆命题为假命题;
B.邻补角互补的逆命题为互补的角为邻补角,此逆命题为假命题;
C.矩形的对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形为矩形,此逆命题为假命题;
D.等腰三角形两腰相等的逆命题为两边相等的三角形为等腰三角形,此逆命题为真命题.
故答案为D.
【点睛】
本题考查了命题与定理,掌握举出反例法是判断命题的真假的重要方法.
19.下列四个命题:
①对顶角相等;②内错角相等;③平行于同一条直线的两条直线互相平行;④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等.其中真命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
解:
①符合对顶角的性质,故本小题正确;
②两直线平行,内错角相等,故本小题错误;
③符合平行线的判定定理,故本小题正确;
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补,故本小题错误.
故选B.
20.下列命题的逆命题是真命题的是()
A.若
,则
B.
中,若
,则
是
C.若
,则
D.四边相等的四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题,然后根据绝对值的意义和有理数的乘法、菱形的性质及勾股定理进行判断.
【详解】
解:
A、该命题的逆命题为:
若|a|=|b|,则a=b,此命题为假命题;
B、该命题的逆命题为:
若△ABC是Rt△,则AC2+BC2=AB2,此命题为假命题;
C、该命题的逆命题为:
若ab=0,则a=0,此命题为假命题;
D、该命题的逆命题为:
菱形的四边相等,此命题为真命题;
故选:
D.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.也考查了逆命题.