中值定理证明题20141229.ppt

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,二、导数应用,习题课,一、微分中值定理及其应用,中值定理及导数的应用,第三章,一、微分中值定理及其应用,1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的主要应用,

（1）研究函数或导数的性态,

（2）证明恒等式或不等式,（3）证明有关中值问题的结论,3.有关中值问题的解题方法,利用逆向思维,设辅助函数.,一般解题方法:

证明含一个中值的等式或根的存在,

（2）若结论中涉及含中值的两个不同函数,（3）若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.,多用罗尔定理,可考虑用柯,西中值定理.,必须多次应用,中值定理.,（4）若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,（5）若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理.,题型小结,1.应用洛必达法则求未定式的极限,3.最大值、最小值及应用,2.函数性态的研究及作图,4.函数方程根的讨论,根的存在性，根的唯一性，根的个数,函数的单调性与函数的凹凸性，极值、极值点及拐点,5.等式、不等式的证明,微分中值定理，利用函数的性态（单调性，凹凸性，极值，最值）,例1.

（1）选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：

分析：

由拉格朗日中值定理得：

B,单调增加,在,P1822,例1.

（2）,（3）,证:

例2.设函数在上有三阶导数，且，,又函数，证明在内至少存在一点，,使得,证由条件知函数在区间上三阶可导，因,故存在点，使得，,由此得，所以存在，使得,又，得，,由此得，使得,例3.设函数在上连续，在内二阶可,导，且，,证明：

至少存在一点，使得,证由拉格朗日中值定理知，存在，使得,同理，存在，使得,在区间上再一次使用拉格朗日中值定理，知存在,，使得,例4.,证,分析问题转化为证,例4.设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,证:

问题转化为证,设辅助函数,显然,在0,1上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,例4.设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,分析问题转化为证,设辅助函数,卸磨杀驴，脱掉对数函数.,例5.设函数在上连续，在内可,导，且,证明：

至少存在一点，使得,设辅助函数,则由零点定理,证:

问题转化为证,至少存在一点,知存在,例5.设函数在上连续，在内二阶可,导，且,证明：

至少存在一点，使得,分析结论转化为,设辅助函数,知存在最大值点,则由费马引理得,例5.设函数在上连续，在内二阶可,导，且,证明：

至少存在一点，使得,设辅助函数,知存在最大值点,则由费马引理得,证:

问题转化为证,至少存在一点,设,函数在上连续,在内可导,试证在内至少存在一点使成立.,分析：

将所证等式变形为或,可见，应对与在上应用,柯西中值定理的条件。

由柯西中值定理可知，,柯西中值定理.,P1828,例6.,总结：

利用中值定理证明相关命题，关键是根据题目的特点，寻找合适的定理及相应的辅助函数。

步骤如下：

（1）构造辅助函数；

（2）确定区间；（3）验证定理条件。

亦即,在内至少存在一点,使,即,例7.设,在,上可导,且,证明f（x）至多只有一个零点.,证:

设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点.,又因,因此,也至多只有一个零点.,思考:

若题中,改为,其他不变时,如何设辅助函数?

例8.设,在,上,存在,且单调,递减,有,证:

设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立.,证明对一切,例9,证,不妨设,例10.,证明：

从而f（x）在内单调增加,因此当时f（b）f（a）0,即,例10.,证明：

例11.设实数,满足下述等式,证明方程,在（0,1）内至少有一,个实根.,证:

令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,3.已知函数,内可导,且,证:

（1）令,故存在,使,即,（2005考研）,内可导,且,

（2）根据拉格朗日中值定理,存在,使,3.已知函数,阶导数,且存在相等的最大值,并满足,4.设函数,证:

据泰勒定理,存在,使,由此得,即有,（2007考研）,情形1.,则有,内具有二,阶导数,且存在相等的最大值,并满足,情形2.,因此据零点定理,存在,即有,则有,4.设函数,应用罗尔,定理得,内具有二,例1.设函数,在,内可导,且,证明,在,内有界.,证:

取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,（定数）,可见对任意,即得所证.,例3.,且,试证存在,证:

欲证,因f（x）在a,b上满足拉氏中值定理条件,故有,将代入,化简得,故有,即要证,例5.,设函数f（x）在0,3上连续,在（0,3）内可导,且,分析:

所给条件可写为,（2003考研）,试证必存在,想到找一点c,使,证:

因f（x）在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在,0,2上有最大值M与最小值m,故,由介值定理,至少存在一点,由罗尔定理知,必存在,例8.证明,在,上单调增加.,证:

令,在x,x+1上利用拉氏中值定理,故当x0时,从而,在,上单调增.,得,例1设在上，证明函数,在上是单调增加的,证当时，有,根据拉格朗日中值定理,是单调增加的因而,故,故,在上是单调增加的,例1设在上，证明函数,在上是单调增加的,证当时，有,因而,故,是单调增加的因而,在上是单调增加的,证明:

存在,使,设,可导，且,在,连续，,证:

设辅助函数,因此至少存在,显然,在上满足罗尔定理条件,即,使得,练习,例5.设,至少存在一点,使,证:

问题转化为证,设,则,在0,1上满足柯西中值,定理条件,因此在（0,1）内至少存在一点,使,即,证明,证:

因为,中值定理条件,因为A,B,C三点在一条直线上，所以,由,因此应有,满足罗尔定理的条件,由罗尔定理,知至少存在一点,使,例5.设,证明在（a,b）内至少存在一点,使得,的图形与联结,A（a,f（a）,B（b,f（b）两点的弦交于点C（c,f（c）,2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:

由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,例5.试证至少存在一点,使,证:

法1用柯西中值定理.,则f（x）,F（x）在1,e上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:

例5.试证至少存在一点,使,法2令,则f（x）在1,e上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,