高考数学人教A版理豫晋皖甘青黑吉宁新蒙新素养备考大一轮讲义第一章 11 集合 Word版含答案.docx

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高考数学人教A版理豫晋皖甘青黑吉宁新蒙新素养备考大一轮讲义第一章11集合Word版含答案

§1.1　集　合

最新考纲

考情考向分析

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.

2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

7.能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩（Venn）图．题型以选择题为主，低档难度.

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合的基本关系

（1）子集：

若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；

（2）真子集：

若A⊆B，且A≠B，则AB；

（3）相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；

（4）∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

表示

运算

文字语言

集合语言

图形语言

记法

交集

属于A且属于B的所有元素组成的集合

{x|x∈A，且x∈B}

A∩B

并集

属于A或属于B的元素组成的集合

{x|x∈A，或x∈B}

A∪B

补集

全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集

{x|x∈U，x∉A}

∁UA

概念方法微思考

1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．

提示　2n，2n－1.

2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？

提示　A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集．（　×　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×　）

（3）若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×　）

（4）若P∩M＝P∩N＝A，则A⊆（M∩N）．（　√　）

题组二　教材改编

2．若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下列结论正确的是（　　）

A．{a}⊆AB．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

答案　D

3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个．

答案　4

解析　因为（A∪B）⊇B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个．

4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则（∁UA）∪B＝________.

答案　（－∞，0）∪[1，＋∞）

解析　因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以（∁UA）∪B＝（－∞，0）∪[1，＋∞）．

题组三　易错自纠

5．已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.

答案　0或3

解析　因为B⊆A，所以m＝3或m＝

.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.

6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．

答案　0或1或－1

解析　易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，

∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.

题型一　集合的含义与表示

1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{（x，y）|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3C．6D．9

答案　C

解析　当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；

当x＝2时，y＝0,1,2.

故集合B＝{（0,0），（1,0），（1,1），（2,0），（2,1），（2,2）}，即集合B中有6个元素．

2．已知集合A＝

，则集合A中的元素个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

答案　C

解析　因为

∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.

3．给出下列四个命题：

①{（x，y）|x＝1或y＝2}＝{1,2}；

②{x|x＝3k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3k－2，k∈Z}；

③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集；

④设2021∈{x，

，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为3.

其中正确的命题是________．（填序号）

答案　②③④

解析　①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x＝1和y＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k＋1,3k－2（k∈Z）都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k＋1与3k－2中的k为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15（个）．④中x＝－2021或x＝－

，满足条件的所有x组成的集合为{－2021，－

}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．

思维升华　解决集合含义问题的关键有三点：

一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题．

特别提醒：

含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．

题型二　集合间的基本关系

例1　

（1）集合M＝

，N＝

，则两集合M，N的关系为（　　）

A．M∩N＝∅B．M＝N

C．M⊆ND．N⊆M

答案　D

解析　由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k（k∈Z），则x＝k＋1（k∈Z），当n为奇数时，设n＝2k＋1（k∈Z），则x＝k＋1＋

（k∈Z），∴N⊆M，故选D.

（2）已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0

答案　4

解析　由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．

又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．

（3）已知集合A＝{x|x2－2021x＋2020<0}，B＝{x|x

答案　[2020，＋∞）

解析　由x2－2021x＋2020<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

思维升华　

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

跟踪训练1　

（1）已知集合A＝{x|y＝

}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A．ABB．BA

C．A⊆BD．B＝A

答案　B

解析　由题意知A＝{x|y＝

}，

所以A＝{x|－1≤x≤1}．

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，

所以BA，故选B.

（2）已知集合A＝{x|（x＋1）（x－6）≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

答案　m<－2或0≤m≤

解析　A＝{x|－1≤x≤6}．

∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅.

当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意．

当B≠∅时，

解得0≤m≤

.

得m<－2或0≤m≤

.

题型三　集合的基本运算

命题点1　集合的运算

例2　

（1）（·日照模拟）已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于（　　）

A．（1,3）B．（1,3]

C．[－1,2）D．（－1,2）

答案　C

解析　因为A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x<2}，所以A∩B＝[－1,2）．

（2）（·沈阳检测）已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为（　　）

A．{3}B．{7}C．{3,7}D．{1,3,5}

答案　B

解析　由图可知，阴影区域为∁U（A∪B）．由题意知，A∪B＝{1,3,5}，U＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，

∁U（A∪B）＝{7}．故选B.

命题点2　利用集合的运算求参数

例3　

（1）（·银川模拟）已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0,3）B．（0,1）∪（1,3）

C．（0,1）D．（－∞，1）∪（3，＋∞）

答案　B

解析　因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0

（2）已知集合A＝{x|x

A．a<1B．a≤1

C．a>2D．a≥2

答案　D

解析　集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1

由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．

可知a≥2.

本例

（2）中，若集合A＝{x|x>a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，1]

解析　∵A＝{x|x>a}，B＝{x|1

由B⊆A结合数轴观察（如图）．

可得a≤1.

思维升华　

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，可用Venn图表示；数集中的元素若是连续的，则可用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

跟踪训练2　

（1）（·烟台模拟）设全集为R，集合M＝{x|x>1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，

则（∁RM）∩N等于（　　）

A．{0}B．{0,1}

C．{0,1,2}D．{2,3,4}

答案　B

解析　N＝{0,1,2,3,4}，∁RM＝{x|x≤1}，

∴（∁RM）∩N＝{0,1}．

（2）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．－12

C．a≥－1D．a>－1

答案　D

解析　在数轴上画出集合A，B（如图），

观察可知a>－1.

以集合为背景的信息迁移是近几年高考的热点题型，解决这类问题首先要理解题意，准确把握问题本质，回归到数学问题，其次要用好集合的性质，解决信息迁移后的集合问题．

例1　对于集合M，定义函数fM（x）＝

对于两个集合A，B，定义集合A△B＝{x|fA（x）·fB（x）＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A△B的结果为________．

答案　{1,6,10,12}

解析　要使fA（x）·fB（x）＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{1,6,10,12}，所以A△B＝{1,6,10,12}．

例2　（·湖北武汉部分重点中学联考）对于a，b∈N，规定a*b＝

集合M＝{（a，b）|a*b＝36，a，b∈N*}，则M中元素的个数为（　　）

A．40B．41C．50D．51

答案　B

解析　由题意知a*b＝36，a，b∈N*.若a和b的奇偶性相同，则a＋b＝36，满足此条件的有1＋35,2＋34,3＋33，…，18＋18，共18组，此时点（a，b）有35个；若a和b的奇偶性不同，则a×b＝36，满足此条件的有1×36,3×12,4×9，共3组，此时点（a，b）有6个．所以M中元素的个数为41.故选B.

例3　已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：

A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为（　　）

A．15B．16C．20D．21

答案　D

解析　由x2－2x－3≤0，得（x＋1）（x－3）≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：

0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3（舍去），2＋3＝5,3＋1＝4（舍去），3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.

1．下列各组集合中表示同一集合的是（　　）

A．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}

B．M＝{2,3}，N＝{3,2}

C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}

D．M＝{2,3}，N＝{（2,3）}

答案　B

2．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．－3∈AB．3∉B

C．A∩B＝BD．A∪B＝B

答案　C

解析　由题意知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C.

3．（·全国Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A．9B．8C．5D．4

答案　A

解析　将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1,0），（－1,1），

（0，－1），（0,0），（0,1），（1，－1），（1,0），（1,1），共有9个．

故选A.

4．已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有（　　）

A．7个B．8个C．15个D．16个

答案　A

解析　∵集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}＝{x∈N*|－1

∴集合A中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7（个）．

5．设集合M＝{－1,1}，N＝

，则下列结论中正确的是（　　）

A．NMB．MN

C．N∩M＝∅D．M∪N＝R

答案　B

解析　由题意得，

集合N＝

＝

，

所以MN.故选B.

6．设集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{0,1}，则∁AB等于（　　）

A．{－3，－2，－1}B．{－1,2,3}

C．{－1,0,1,2,3}D．{0,1}

答案　B

解析　由题意可知A＝{－1,0,1,2,3}，则∁AB＝{－1,2,3}．故选B.

7．已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2

A．{3,5}B．{2,3,5}

C．{2,3,4,5}D．{3,4,5}

答案　A

解析　由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则（∁UA）∩B＝{3,5}．故选A.

8．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∩B的子集个数为（　　）

A．3B．4C．7D．8

答案　D

解析　∵A＝{x∈N|x2－2x≤0}＝{0,1,2}，B＝{x|－1≤x≤2}．

∴A∩B＝{0,1,2}，∴A∩B的子集个数为23＝8.

9．（·全国Ⅱ改编）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________.

答案　{1,3}

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．

10．（·湖北黄石一中模拟）设集合M＝{y|y＝2cosx，x∈[0,5]}，N＝{x|y＝log2（x－1）}，则M∩N＝________.

答案　{x|1

解析　∵M＝{y|y＝2cosx，x∈[0,5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝log2（x－1）}＝{x|x>1}，

∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|1

11．设集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1,2}，则a的值为________．

答案　－2或1

解析　∵集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，A∩B＝{－1,2}，∴

或

解得a＝－2或a＝1.

经检验，a＝－2和a＝1均满足题意．

12．已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．

答案　[1，＋∞）

解析　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝______，n＝________.

答案　－1　1

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

则B＝{x|m

14．设常数a∈R，集合A＝{x|（x－1）（x－a）≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．

答案　（－∞，2]

解析　当a>1时，A＝（－∞，1]∪[a，＋∞），B＝[a－1，＋∞），当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故1

15．已知A＝

，B＝{x|x2－2x＋1－a2≤0}（a>0），若A∪B＝B，则实数a的取值范围是______．

答案　[5，＋∞）

解析　由

>0可得（x－2）（x－6）<0，

∴2

x2－2x＋1－a2≤0可化为[x－（1－a）][x－（1＋a）]≤0.

又a>0，∴B＝[1－a,1＋a]．

由A∪B＝B，得A⊆B，

∴

∴a≥5.

∴实数a的取值范围是[5，＋∞）．

16．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝

，若M与N“相交”，则a＝________.

答案　1

解析　M＝

，由

＝

，得a＝4，由

＝1，得a＝1.

当a＝4时，M＝

，此时M⊆N，不合题意；

当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意．