3．（2010·安徽理）设abc>0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图像可能是（ ）
[答案] D
[解析] 若a<0，则只能是A或B选项，A中－
<0，∴b<0，从而c>0，与A图不符；B中－
>0，∴b>0，∴c<0，与B图不符．若a>0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，当b>0时，有c>0与C、D图不符，当b<0时，有c<0，此时－
>0，f（0）＝c<0，故选D.
4．（文）“a<0”是“方程ax2＋1＝0有一个负数根”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分必要条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ①∵a<0，ax2＋1＝0，∴x2＝－
>0，
∴ax2＋1＝0有一个负根，∴充分性成立．
②若ax2＋1＝0有一个负根，那么x2＝－
>0，可得a<0，∴必要性成立．
（理）一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是（ ）
[答案] C
[解析] 选项A中，一次函数的斜率a>0，而二次函数的开口向下，相矛盾，排除A，同理排除D.
y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－
，当a>0，b>0时，x＝－
<0，∴排除B.当a<0，b<0时，x＝－
<0，∴C符合．
5．（文）已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f（x）有最小值－2，则f（x）的最大值为（ ）
A．－1B．0
C．1D．2
[答案] C
[解析] f（x）＝－（x－2）2＋4＋a.由x∈[0,1]可知当x＝0时，f（x）取得最小值－2，即a＝－2，所以f（x）＝－（x－2）2＋2，当x＝1时，f（x）取得最大值1.
（理）若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为
，则m的取值范围是（ ）
A.
B.
C．[0,3]D.
[答案] B
[解析] f（x）＝x2－3x－4＝
2－
，
∴f
＝－
，又f（0）＝－4.
由题意结合函数的图像可得
解得
≤m≤3.
6．（文）函数y＝（cosx－a）2＋1，当cosx＝a时有最小值，当cosx＝－1时有最大值，则a的取值范围是（ ）
A．[－1,0] B．[－1,1]
C．（－∞，0]D．[0,1]
[答案] D
[解析] ∵函数y＝（cosx－a）2＋1，
当cosx＝a时有最小值，∴－1≤a≤1，
∵当cosx＝－1时有最大值，∴a≥0，∴0≤a≤1.
（理）已知f（x）＝x2＋x＋c，若f（0）>0，f（p）<0，则（ ）
A．f（p＋1）>0B．f（p＋1）<0
C．f（p＋1）＝0D．f（p＋1）的符号不确定
[答案] A
[解析] 二次函数的对称轴为x＝－
由f（0）>0，知f（－1）>0.
又f（p）<0，则必有－10，∴f（p＋1）>0.
二、填空题
7．（2012·厦门质检）设二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f（m）≤f（0），则实数m的取值范围是________．
[答案] [0,2]
[解析] 依题意知，函数f（x）的图像关于直线x＝1对称，且开口方向向上，f（0）＝f
（2），结合图像可知，不等式f（m）≤f（0）的解集是[0,2]．
8．若函数y＝x2＋（a＋2）x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝________.
[答案] 6
[解析] 二次函数y＝x2＋（a＋2）x＋3的图像关于直线x＝1对称，说明二次函数的对称轴为x＝1，即－
＝1，所以a＝－4.而f（x）是定义在[a，b]上的，即a，b关于x＝1也是对称的，所以
＝1，∴b＝6.
三、解答题
9．已知二次函数f（x）满足f
（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数．
[分析] 由题目条件知二次函数过（2，－1），（－1，－1）两点，且知其最大值，所以可应用一般式、顶点式或两根式解题．
[解析] 方法1：
利用二次函数一般式．
设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．
由题意得
解得
∴所求二次函数为f（x）＝－4x2＋4x＋7.
方法2：
利用二次函数的顶点式．
设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）．
∵f
（2）＝f（－1），
∴抛物线对称轴为x＝
＝
，∴m＝
.
又根据题意函数有最大值y＝8，∴y＝f（x）＝a
2＋8.
∵f
（2）＝－1，∴a
2＋8＝－1，解得a＝－4.
∴f（x）＝－4
2＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法3：
利用二次函数的两根式．
由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），
即f（x）＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即
＝8，
解得a＝－4或a＝0（舍去）．
∴所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x－7.
一、选择题
1．（文）（2012·福州模拟）已知二次函数y＝f（x）的图像过原点且它的导函数y＝f′（x）的图像如图所示的一条直线，则y＝f（x）的图像的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[答案] A
[解析] f（x）过原点，所以设二次函数为f（x）＝ax2＋bx，（a≠0），f′（x）＝2ax＋b，由导函数图像知，a<0，b>0，
∴f（x）的顶点
在第一象限．
（理）（北师大天津附中模拟）已知函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x），又f（3＋x）＝f（3－x），当1≤x≤5时，f（x）＝x2－bx＋2，若m＝f（ln
），n＝f（ln8），p＝f（
），则m、n、p的大小关系是（ ）
A．nC．p[答案] A
[解析] ∵f（3＋x）＝f（3－x），∴f
（1）＝f（5）．
∴1－b＋2＝25－5b＋2.∴4b＝24，b＝6.
∵0<1，∴4<4＋ln
<5.
∴f（ln
）＝f（4＋ln
）．f（
）＝f（
）＝f
（2）．
2＝lne2∴f（ln8））），即n2．（浙江杭州学军中学模拟）二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，a为正整数，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
[答案] D
[解析] 由题意得f（0）＝c≥1，f
（1）＝a＋b＋c≥1，当a越大时，y＝f（x）的开口越小，当a越小时，y＝f（x）的开口越大，而y＝f（x）的开口最大时，y＝f（x）过（0,1），（1,1），则c＝1，a＋b＋c＝1，a＋b＝0，a＝－b，此时－
＝
，另外还要满足b2－4ac>0，a（a－4）>0，a>4，则a的最小值为5，故选D.
二、填空题
3．（2012·广东深圳一模）已知定义在区间[0,3]上的函数f（x）＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值集合为________．
[答案] {1，－3}
[解析] ∵f（x）＝kx2－2kx＝k（x－1）2－k
（1）当k>0时，二次函数开口向上，
当x＝3时，f（x）有最大值，
f（3）＝k·32－2k×3＝3k＝3⇒k＝1；
（2）当k<0时，二次函数开口向下，
当x＝1时，f（x）有最大值，
f
（1）＝k－2k＝－k＝3⇒k＝－3.故k的取值集合为{1，－3}．
4．（湖北黄冈中学模拟）若二次函数f（x）的导函数f′（x）＝2x＋2m，且f（0）＝m2－m，则f（x）＝__________；若x∈[－2,0]，存在f（x）≤0，则m的取值范围是________．
[答案] f（x）＝x2＋2mx＋m2－m [0,4]
[解析] 设f（x）＝x2＋2mx＋b.由f（0）＝m2－m求出b，∴f（x）＝x2＋2mx＋m2－m.
先求出[－2,0]内f（x）>0恒成立，m∈（－∞，0）∪（4，＋∞），
∴m∈[0,4]．
三、解答题
5．已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．
[分析] 作出函数图像，因对称轴x＝a位置不定，故分类讨论对称轴位置以确定f（x）在[0,1]上的单调情况．
[解析] 当对称轴x＝a<0时，如图1所示．
当x＝0时，y有最大值，ymax＝f（0）＝1－a.
∴1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1.
图1 图2
当0≤a≤1时，如图2所示．即当x＝a时，y有最大值，
ymax＝f（a）＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.
∴a2－a＋1＝2，解得a＝
.
∵0≤a≤1，∴a＝
舍去．当a>1，如图3所示．
图3
由图可知，当x＝1时y有最大值，
ymax＝f
（1）＝2a－a＝2，
∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.
综上可知，a的值为－1或2.
6．（创新题）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）>－2x的解集为（1,3）．
（1）若方程f（x）＋6a＝0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围．
[解析]
（1）∵f（x）＋2x>0的解集为（1,3），
∴f（x）＋2x＝a（x－1）（x－3），且a<0，
即f（x）＝a（x－1）（x－3）－2x＝ax2－（2＋4a）x＋3a.①
由f（x）＋6a＝0，得
ax2－（2＋4a）＋9a＝0.②
∵方程②有两个相等的根，
∴Δ＝[－（2＋4a）]2－4a·9a＝0，
即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－
.
由于a<0，故舍去a＝1，将a＝－
代入①，
得f（x）＝－
x2－
x－
.
（2）f（x）＝ax2－2（1＋2a）x＋3a
＝a
2－
.
由a<0，可得f（x）的最大值为－
>0，
由
解得a<－2－
或－2＋
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是（－∞，－2－
）∪（－2＋
，0）．
7．设f（x）＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f（0）>0，f
（1）>0，求证：
（1）a>0且－2<
<－1；
（2）方程f（x）＝0在（0,1）内有两个实根．
[证明]
（1）因为f（0）>0，f
（1）>0，
所以c>0,3a＋2b＋c>0.
由条件a＋b＋c＝0，消去b，得a>c>0；
由条件a＋b＋c＝0，消去c，得a＋b<0,2a＋b>0.
故－2<
<－1.
（2）抛物线f（x）＝3ax2＋2bx＋c的顶点坐标为（－
，
），在－2<
<－1的两边乘以－
，得
<－
<
.
又因为f（0）>0，f
（1）>0，
而f（－
）＝－
<0，所以方程f（x）＝0在区间（0，－
）与（－
，1）内分别有一实根．
故方程f（x）＝0在（0,1）内有两个实根．
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