二次函数图像与系数关系含答案.docx
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二次函数图像与系数关系含答案
二次函数图像与系数关系小题）一．选择题（共92+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）2013?
义乌市）如图，抛物线y=ax，顶点坐标为（1，n），与y1．（轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：
﹣；④3≤n≤4中，0；③﹣1≤a≤y①当x＞3时，＜0；②3a+b＞正确的是（）
①②③④①④①③A．B．C．D．
考点：
二次函数图象与系数的关系．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；
②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；
﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a，得到根据两根之积=﹣3a=③的取值范围；
n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得④把顶点坐标代入函数解析式得到n的取值范围．
2解答：
+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）解：
①∵抛物线y=ax，对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
﹣=1，∵对称轴x=
∴b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1×3=﹣3，
﹣．3，则a=∴=﹣∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
﹣．≤a1≤1∴﹣≤﹣﹣，即﹣≤故③正确；
，﹣=1，根据题意知，a=﹣④
b=﹣，2a=∴
n=a+b+c=c．∴∵2≤c≤3，
，即≤n≤4．∴≤c≤4故④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选D．
2点评：
+bx+cy=ax系数符号由抛物线开口方向、本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，02．（2013?
烟台）如图是二次函数y=ax）．下
（，y）是抛物线上两点，则，y），④2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；若（﹣5列说法：
①abc＜0；②21y＞y．其中说法正确的是（）21
①②②③①②④②③④A．B．C．D．
考点：
二次函数图象与系数的关系．
专题：
压轴题．
分析：
根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y），根据当x＞﹣1时，y随x的11增大而增大即可判断④．
解答：
解：
∵二次函数的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，
﹣=﹣∴1，
∴b=2a＞0，
11
/2
∴abc＜0，∴①正确；
2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；
2y=ax∵二次函数+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．
∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），
2y=axx=2代入∴把+bx+c得：
y=4a+2b+c＞0，∴③错误；
2y=ax∵二次函数+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，
∴点（﹣5，y）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y），11根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵＜3，
∴y＜y，∴④正确；12故选C．
点评：
本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，13．（2013?
十堰）如图，二次函数y=ax）和（﹣2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1，0）．下列结论：
①ab＜0，②b1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
考点：
二次函数图象与系数的关系．
专题：
压轴题．
分析：
由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；
2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，轴有两个交点得到b1），得出c=1，由此判定②由抛物线与x正确；
由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；
由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；
2+bx+c=0的两个根之间时，函数值axyx由图象可知，当自变量的取值范围在一元二次方程＞0，由此判定⑤错误．
2解答：
+bx+c（a≠0）过点（0，y=ax1）和（﹣1，0），：
解∵二次函数∴c=1，a﹣b+c=0．
﹣，x=0＞y①∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴0，正确；a与b异号，∴ab＜∴2b，﹣4ac＞0②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴22bc=1∵，∴＞4a，正确；0﹣4a＞，b，＜0④∵抛物线开口向下，∴a．＞ab＜0，∴b0∵∴a=b﹣1，，∵a﹣b+c=0c=1，，0b＜1，＜﹣∴0a∵＜，b1＜＜∴0b1，正确；11
/3
③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b，
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，
∴0＜a+b+c＜2，正确；
2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x抛物线y=ax，0），则x＞0，⑤00由图可知，当x＞x＞﹣1时，y＞0，错误；0综上所述，正确的结论有①②③④．
故选B．
2点评：
+bx+cy=ax难度适中．二次函数本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号2﹣4acb的符号，此外还y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了由抛物线与要注意二次函数与方程之间的转换．
2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，二次函数y=ax正确的是（）4．（2012?
沙坪坝区模拟）
B．a+c＜4a＞2b﹣cb
．．abc＜0C．b＞2aDA
．：
二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）考点轴题．：
压专题的关系，然后根据c轴的交点判断与0分析：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
﹣轴左侧，与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y0解：
A、∵图象开口向下，∴a＜，∵，故本选项错误；，∴b＜0，∴abc＞0＜0＞0，故本选项错误；＞b，∴a+c＞、B∵当x=﹣1时，对应的函数值y0，即a﹣b+c
，故本选项正确；∴b＞2a、C∵抛物线的对称轴为直线x=，又﹣＞﹣1a＜0，D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错误．
故选C．
点评：
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与不等式的关系，难度中等．
2+bx+c（a≠0小轩从如图所示的二次函数y=ax）的图象中，观察得出了下面五条信息：
20135．（?
鄂州）
⑤．；2b+4c＞0﹣④0b+2c；＜②0ab①＞；a+b+c0③＞；a）你认为其中正确信息的个数有（
11
/4
3个B．4个D．5个A．2个C．
考点：
次函数图象与系数的关系．二轴题．压专题：
的关系，然后根据与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c0分析：
由抛物线的开口方向判断a与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．对称轴及抛物线与．∴a＜0①解答：
解：
如图，∵抛物线开口方向向下，
，a∵对称轴x=＜﹣=﹣，∴0b=正确；0．故①∴ab＞
．a+b+c＜0x=1时，y＜0，即②如图，当正确；故②
，＞01时，y=a﹣b+c﹣③如图，当x=，＞00，即3b﹣2b+2c∴2a﹣2b+2c＞．＞0∴b+2c正确；故③
0．﹣b+c﹣时，y＞0＞，即④如图，当x=a0，﹣2b+4c＞∴a④正确；故
正确．，则﹣=．故﹣⑤⑤如图，对称轴x=个．，共5综上所述，正确的结论是①②③④⑤．故选D
2点评：
系数符号由抛物线开口方向、+bx+c题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数本y=axx轴交点的个数确定．对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与
2的图象如图所示，有以下结论：
+bx+c与2013．（?
德州）函数y=xy=x622．0x+c1bx3x1④3b+c+6=0；②04c①b﹣＞；b+c+1=0③；当＜＜时，+（﹣）＜11
/5
其中正确的个数为（）
B．2D．4．1C．3A
二次函数图象与系数的关系．考点：
压轴题．专题：
22分析：
；时，y=9+3b+c=3当＜0；x=1时，y=1+b+c=1；由函数y=x当+bx+c与x轴无交点，可得bx=3﹣4c2x＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x，继而可求得答案．+bx+c＜当12解答：
轴无交点，解：
∵函数y=x+bx+c与x2b∴；﹣4c＜0错误；故①，当x=1时，y=1+b+c=1错误；故②y=9+3b+c=3∵当x=3时，，∴3b+c+6=0；③正确；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∵2x∴+bx+c＜x，2x∴0．）x+c＜b+（﹣1④正确．故B．故选要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．点评：
主
2，，0）（2012?
天门）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣17．）8a+c＞0．其中正确的有（；0①）．对于下列命题：
b﹣2a=0；②abc＜；③a﹣2b+4c＜0④0（3，
A．3个B．2个C．1个D．0个
考点：
二次函数图象与系数的关系．
专题：
压轴题．
分析：
首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的
﹣，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出对称轴x=①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c=0，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣11
/6
2a，得出8a+c＞0．
解答：
解：
根据图象可得：
a＞0，c＜0，
﹣＞0，对称轴：
x=①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），
∴对称轴是x=1，
﹣=1，∴∴b+2a=0，
故①错误；
②∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵a﹣b+c=0，
∴c=b﹣a，
∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4（b﹣a）=2b﹣3a，
又由①得b=﹣2a，
∴a﹣2b+4c=﹣7a＜0，
故此选项正确；
④根据图示知，当x=4时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b=﹣2a，
∴8a+c＞0；
故④正确；
故正确为：
③④两个．
故选：
B．
点评：
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：
左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：
①abc＞0二次函数y=ax；②2a+b＜0；③a+b≠m已知：
8．22；⑤a＞1，其中正确的是（a+c）＜b）
（1）（am+b（m≠的实数）；④
A．2个B．3个C．4个D．1个
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及11
/7
抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：
①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
﹣＞0，∵对称轴为x=∴a、b异号，即b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0，
故本选项正确；
﹣＞0，ax=＞0，②∵对称轴为
1﹣＜，∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0；
故本选项错误；
③当x=1时，y=a+b+c；1当x=m时，y=m（am+b）+c，当m＞1，y＞y；当m＜1，y＜y，所以不能确定；12122故本选项错误；
④当x=1时，a+b+c=0；
当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；
22）a+c）=0，即（a∴（a+b+c）（﹣b+c=0，﹣b22）a+c∴（=b故本选项错误；
⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；
当x=1时，a+b+c=0，
∴a+c=1，
∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤有2个．
故选：
A．
点评：
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及2+bx+c系数符号的确定：
y=ax二次函数与方程之间的转换；二次函数
（1）a由抛物线开口方向确定：
开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
﹣判断符号；由对称轴和a的符号确定：
由对称轴公式x=
（2）b（3）c由抛物线与y轴的交点确定：
交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
222﹣4ac=0b，＞0；1个交点，）b由抛物线与﹣4acx轴交点的个数确定：
2个交点，b4ac﹣（42﹣4ac＜0没有交点，b．
2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列2013?
莒南县二模）已知二次函数y=ax5个结论：
（9．①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（）
11
/8
．5个C．4个DA．2个B．3个
二次函数图象与系数的关系．考点：
压轴题；数形结合．专题：
轴0；抛物线与y轴的右侧得到a、b异号，则b＞分析：
观察图象：
开口向下得到a＜0；对称轴在y，b+c＜01时图象在x轴下方得到y=a﹣的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x=﹣；利用对称轴＞0，可得x=1x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c即a+c＜b；对称轴为直线
，；开口向下，当x=1＜0，所以2c＜，而a﹣b+c＜03b，则﹣b﹣x=b+c﹣=1得到a=﹣b2）．）（m≠a+b+c＞am1+bm+c，即a+b＞m（am+by有最大值a+b+c，得到x轴的交点在b＞0；抛物线与ya＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则：
开口向下，解答：
解不正确；abc＜0，所以①轴的上方，c＞0，则不正确；＜b，所以②x轴下方，则y=a﹣b+c＜0，即a+c﹣当x=1时图象在正确；＞0，所以③对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c
3b，所以④正确；﹣b+c＜0，2c﹣=1，则a=＜﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣bx=22，amy=am+bm+c+bm+c，则a+b+c＞x=1当，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，开口向下，⑤正确．（）m≠1），所以即a+b＞m（am+bB．故选2点评：
，＞0a≠0）的图象，当题考查了二次函数图象与系数的关系：
对于二次函数本y=axa+bx+c（
同b﹣，a与0开口向上，函数有最小值，a＜，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=轴的交点yc＞0，抛物线与异号，对称轴在号，对称轴在y轴的左侧，a与by轴的右侧；当20，抛物线与x轴有两个交点．在x轴的上方；当△=b4ac﹣＞
二．填空题（共1小题）2，其0）图象的对称轴是直线x=1b，c是常数，a≠201310．（?
柳林县一模）二次函数y=ax，+bx+c（a﹣a3a+c＜0；④时，当﹣1＜x＜3y＞0；③；①图象的一部分如图所示．对于下列说法：
abc＜0②（把正确的序号都填上）．，其中正确的是①③④b+c＜0
二次函数图象与系数的关系．考点：
的关系，然后根据0c与0a与的关系，由抛物线与y轴的交点判断由分析：
抛物线的开口方向判断x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．对称轴及抛物线与0．cb，＞0，＞0a解解答：
：
根据图象可得：
＜正确；①0abc则＜，故11
/9
轴的下方，故②错误；3时图象在x轴的上方，且有的点在x当﹣1＜x＜
﹣1时，y=a﹣2a．那么当x=根据图示知，该抛物线的对称轴直线是x=1﹣，即﹣=1，则b=③正确；b+c=a+2a+c=3a+c＜0，故④正确．﹣b+c＜0，故﹣1时，y=a﹣b+c一定在x轴的下方，因而a当x=①③④．故答案是：
的关系，以及二次与b主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a点评：
函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2+bx+c?
绵阳）二次函数y=ax的图象如图所示，给出下列结论：
（2013
．④3|a|+|c|＜n＜1，则m+n2|b|＜﹣；③①2a+b＞0；②b＞a＞c；若﹣1＜m＜其中正确的结论是①③④（写出你认为正确的所有结论序号）．
考点：
二次函数图象与系数的关系．
专题：
压轴题．
分析：
分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．
解答：
解：
∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，
对称轴x=﹣＞1，﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故选项①正确；
∵﹣b＜2a，∴b＞﹣2a＞0＞a，
2+bx﹣，令抛物线解析式为y=﹣x
此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2，
则=﹣，
解得：
b=，
2x﹣∴抛物线y=+x﹣，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，
对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能），
故②选项错误；
∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2，
＞1，＞2，m+n，故选项③正确；∴抛物线对称轴为：
x=﹣当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，
11
/10
∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），
∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|，故④选项正确．
故答案为：
①③④．
点评：
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键．
11
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