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第十四章幂级数习题课
一疑难解析与注意事项
1．如何求缺项幂级数的收敛半径？
答：
如果一个幂级数有无限多个项的系数为零这样的幂级数称为缺项幂级数，对这种幂
级数，不能直接用公式limnan
lim
an
1
．常用方法是：
an
n
n
1）进行变量替换．将原幂级数变为一个无缺项的幂级数．计算出后一幂级数的收敛半径，再根据两变量之间的关系得出原幂级数的收敛半径．
例如幂级数
1nx2n
，可令yx2，化为幂级数
1n
yn，而幂级数
1nyn的收
n12
n12
n
12
敛半径为R
2
，从而当x2
2时，原幂级数收敛，当
x2
2时，原幂级数发散，由此推
出原幂级数的收敛半径为
R
2．
2）对缺项幂级数需要按照类似于定理
14．2来求．
x2n
x2n
例如求幂级数
2n
（缺项幂级数）的收敛半径．对于幂级数
2
2n，因为
n
02
n0
x2n
2
2
2
2
22n
2
x2n
lim
x
x
1
时，即x2，
当
x
时，
2n
，当
收敛，则原来级数绝对收敛；
1
n
4
4
n02
2n
4
x
22n
即x
2，
x2n
R
2．
2n发散，则原来级数发散，所以收敛半径
n02
2．如何求幂级数的收敛域？
答：
1）首先求幂级数的收敛半径R；
2）写收敛区间R,R；
3）讨论端点处的收敛性，即讨论
anRn，
anRn的收敛性，如果两个都收敛，
n0
n0
则幂级数的收敛域为
R,R，如果两个都发散，
则收敛域为
R,R，如果其中一个收敛，
R,R（an
n
R,R（
anRn收敛）．
一个发散，则收敛域为
R收敛），
n0
n0
3．幂级数在
R,R内每一点都绝对收敛，那么在端点处敛散性如何？
答：
1）幂级数在R,R端点处可能收敛可能发散．
例如幂级数
xn
的收敛区间是
1,1
，在端点1处，级数
1发散，在端点
1
处级
n
n
数
1
n
收敛，收敛域是1,1．
n
2）如果是收敛，可能是绝对收敛，可能是条件收敛．
xn
在端点
1处是条件收敛，
xn
收敛域是
1,1，在端点1与
1处都是绝对收
n
n2
敛的．
4．幂级数与逐项求导逐项积分后幂级数具有相同的收敛半径、收敛区间，但收敛域相
同吗？
答：
不一定，例如
xn收敛域为
1,1，但逐项积分和幂级数为
xn1
收敛域为
n1
1,1．设幂级数n0
anx
n
，
n1，
xn1
收敛域分别是
D,D1,D2
，则有D1DD2
n1nanx
n0
ann1
如果一个幂级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化，
则变化的只能是收敛区
间两个端点处的收敛性．一般来说，逐项求导后，系数由
an变为nan，不会使收敛区间端
点处的收敛性变好；而逐项求积后，系数由
an
，不会使收敛区间端点处的收敛性
an变为
n
1
变坏．
5．如何求幂级数的和函数？
答：
首先求出幂级数的收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求幂级数的和函数：
（1）变量替换法——通过变量替换，化为一较简单的幂级数．
（2）拆项法——将幂级数分拆成两个（或几个）简单幂级数的和．
（3）逐项求导法——通过逐项求导得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是不难求得的；然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原幂级数的和函数．
（4）逐项积分法——通过逐项求积得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是可以求得的；然后再通过求导数，得到原幂级数的和函数．
一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有
n!
，向ex的幂级数展开形式转
化，系数含有2n!
2n1!
向sinx,cosx展开形式转化．
注意：
上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的（而在幂级数的收敛域上却不一定可行）．因此，我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区
间上的和函数，而求幂级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数在端点的左（右）连续性来求．
还需指出，这里所介绍的方法，仅仅是可供选择的几种途经．对具体问题，常常要综合利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解．
6．如何利用幂级数求数项级数的和？
答：
选择合适的幂级数，使该数项级数为幂级数在某收敛点x0处的值．然后求出幂级
数的和函数Sx，则Sx0便是原数项级数的和．
7．如何求函数f在x0处的幂级数展开式？
答：
主要有以下两种方法：
（1）直接法．计算函数f在x0处的各阶导数
f（n）x0，写出它的泰勒级数，然后证明
limRnx0．
n
（2）间接法．借助某些基本函数的展开式，通过适当变换，四则运算，逐项求导或者逐项求积等方法，导出所求函数色幂级数展开式．这是常用的方法．
注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围．
三典型例题
1．求幂级数的收敛域：
1）
（n!
）2
xn；
2
）
（x2）2n1；
（2n）!
（2n
1）!
3）
3n
（
2）n
n
；
4
）
（1
1
1
n
n
（x1）
2
）x
；
n
5）
1
2n
．
n12nx
解：
1）由于
lim
an
1
lim
[（n
1）!
]2
（2n）!
lim
（n1）2
1
2
，因此收
n
an
n
[2（n
1）]!
（n!
）
n
（2n
2）（2n1）
4
敛半径R
1
4，当x
4时，这个级数为
（n!
）2
（
4）n，通项记为un，则有
（2n）!
un
=（n!
）24n
=（n!
）222n
=
2
4
6
2n
1）
2n
1，
（2n）!
（2n）!
13
5
（2n
于是lim
un
，所以当x
4时级数
（n!
）2
xn发散，从而可知这个级数的收敛域
n
（2n）!
为（4,4）．
2）令tx
2，则级数
（x
2）2n1
t2n1
（缺陷幂级数），
（2n1）!
转化为
（2n
1）!
t2n
1
2
t2n
（2n
1）!
下面先求
1
lim
t
的收敛域，因为lim
2n
1
01，即对任意
（2n
1）!
n
t
n
（2n
1）2n
（2n
1）!
t
，
t2n
1
t2n
1
的收敛域为
，因此的收敛域为
（2n
都收敛，因此
（2n
1）!
1）!
．
3）令t
x1，则级数
3n
（
2）n（x1）n转化为
3n
（2）ntn，下面先求
3n
（2）n
tn
n
n
n
的收敛域，
由于
limnan
=limn3n
（
2）n
3，所以收敛半径
R
1，因而级数
3n
（
2）n
tn
的
n
n
n
3
n
收敛区间为（1,1），
33
当x
1时，级数为
3n
（2）n
1
3
n
3
n
n
=
（1）n1
1
2
收敛，
n
n
3
当x
1时，级数为
3n
（2）n
1n
11
2n
，
1
2
n
1
2n
收敛，
n
=
n
n
3
n
3
收敛（
n
3
3
3
1
2
n
2
1发散，故
3n
（
2）n
1
n
3n
（2）n
因为limn
1），
发散，因此
tn的收
n
n
3
3
n
n
3
n
敛域为
1
1
，级数
3n
（
2）n（x
1）n的收敛域为
1
x
1
1的解集，即
4,
1．
3
3
n
3
3
3
3
4）因为
nn
1
n1
1
1
nn1，又lim
n
n1
1，所以
n
2
n
n
lim
n1
1
1
1
，
2
n
n
从而收敛半径R
1
，又当x
1时，
lim（1
1
1
）（
1）n
0，
n
2
n
可见级数
（1
1
1）xn在x
1时发散，故这个级数的收敛域为
（
1,1）
．
2
n
1
1
5）法1:
（
将其看成不缺项的幂级数
0
x
x
2
0
x
3
x
4
）
2
2
2
0,
n
2k
1
1x2n
anxn
设a
1
，
n
n
2k
n12
n
n
1
2
k
limn
an
lim2n
1
1
2
n
2
n
n
R
2．
法2:
令x2
t，
1ntn收敛半径为
2，故R
2
．
n1
2
法3:
（
将其视为以x为参数的数项级数或视为一般的函数项级数
）
limun
1（x）
lim
x2
x2
，
n
un（x）
n
2
2
当x2
1即x
2
时幂级数收敛，
当x
2时发散，
故R
2．
2
即收敛半径为R
2，收敛区间是
1
2n
2,2，当x
2时，n12nx
为
1n
发散，因此收敛域为
n12n2
n11
2,2．
2．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数
（应同时指出它们的收敛域
）：
（1）求幂级数
xn
的和函数；
n
1n
（2）求幂级数
xn
的和函数；
1n
n
1
（3）求幂级数
nxn
1的和函数；
n
1
（4）求幂级数
nxn
的和函数；
n
1
（5）求幂级数x
x3
x5
x2n
1
的和函数；
3
5
2n
1
（6）求幂级数
xn
的和函数；
1n（n
1）
n
n
（7）求幂级数x的和函数．
n1n!
注：
应用：
求幂级数的和函数．
思想：
一般是通过逐项求导，逐项积分向等比级数转化．（假如系数含有n!
，向ex的展
开形式转化，假如系数含有
2n!
2n
1!
向sinx,cosx展开形式转化）．
必须的知识点：
1）等比级数
n
1
，
n
W
---------
；
W
1
W
1
n0
W
n1
W
2）牛顿莱布尼兹公式
x
f
tdt
f
x
fa
；
a
3）
x
tdt
f
x
．
f
a
注意点：
1）求和函数时必须先要求收敛域；
2）求f
0时必须要看级数展开式中第一项；
例设f
x
anxn，先看展开式中第一项是
a0，因此f
0
a0．
n0
常见错误，有些人把
0直接代通项，
f0
00．
n0
设f
x
anxn，先看展开式中第一项是
a1x，因此f
0
0．
n1
3）涉及到除以
x时，要讨论x为0不为0．
幂级数求和函数步骤
:
求其收敛半径R和收敛域D．
在收敛区间内求和函数．（利用变量替换，逐项求积，逐项求导等方法），（假如
系数含有n!
，向ex的展开形式转化，假如系数含有2n!
2n1!
向sinx,cosx展开形式
转化）；
收敛域若不是开区间，还须讨论在收敛域端点处的和，若左端点收敛，则在左端点右连续，若右端点收敛，则在右端点左连续．
写出和函数，注明定义域D．
解
（1）1）求收敛域；
an1
1
lim
n
an
lim
n
1
lim
1
1
（或
lim
lim
n
1
1
）；
n
n
an
1
n
n
n
n
n
n
n
收敛半径R
1
1
；
收敛区间1,1；
1
n
1发散．
当x
1时，
收敛；当x
1时，
n1n
n1
n
因此收敛域为1,1．
2）向等比级数转化；
n
n
分析：
因为等比级数系数为
1或1
x的系数为1，要向等比级数转化必须要
，而
n1n
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