新人教版七年级数学下册五四制《三角形的内角2》教案.docx

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新人教版七年级数学下册五四制《三角形的内角2》教案

17.2.1三角形的内角

第二课时

一、教学目标

（一）学习目标

1.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余.

2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.

3.掌握与三角形内角有关的计算和证明.

（二）学习重点

掌握直角三角形的性质与判定以及综合运用.

（三）学习难点

与三角形内角有关的计算与证明的说理.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

直角三角形的性质：

直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形的判定：

有两个角互余的三角形是直角三角形.

2.预习自测

（1）在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=40o，则∠B=_______.

【知识点】直角三角形的性质

【思路点拨】直角三角形的两个锐角互余，知道其中一个锐角，即可求出另一个锐角的度数．

【解题过程】解：

在Rt△ABC中，∠C=90o，∠B=90o−∠A=50o.

【答案】50o

（2）在Rt△ABC中，∠C=90o，且∠A=2∠B，则∠A=_______，∠B=_______.

【知识点】直角三角形的性质

【思路点拨】直角三角形的两个锐角互余,∠A+∠B=90o，已知∠A=2∠B，即可得3∠B=90o，求出∠B，再求∠A．

【解题过程】解：

在Rt△ABC中，∠C=90o，则∠A+∠B=90o，∵∠A=2∠B，∴3∠B=90o，∴∠B=30o，∴∠A=60o．

【答案】60o，30o

（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，则与∠1互余的角有_______.

【知识点】直角三角形的性质

【思路点拨】此题关键是在图中准确找出直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余进行判断．

【解题过程】解：

Rt△ADC中，∠A+∠1=90o，∵∠ACB=90o.∴∠1+∠BCD=90o.∴与∠1互余的角有∠A、∠BCD.

【答案】∠A、∠BCD

（4）在△ABC中，∠C=2∠A=2∠B，则△ABC是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【知识点】直角三角形的判定

【思路点拨】根据三角形的内角和，利用方程求出各内角的度数确定三角形．

【解题过程】解：

设∠A=∠B=x，则∠C=2x，由三角形的内角和可得x+x+2x=180o，解得

x=45o，∴∠C=90o，故三角形是直角三角形，选B.

【答案】B

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）三角形的内角和为.

符号语言：

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=.

（2）如何判断一个三角形是直角三角形？

2.问题探究

探究一直角三角形的性质

活动①回顾旧知三角形中已知两个角求第三个角

问题1在△ABC中，∠C=90o，∠A=35o，则∠B的度数是多少？

生回答：

∠B=180o−∠C−∠A=180o−90o−35o=55o.

问题2在三角形中，若已知两个角的度数可以利用三角形的内角和为180o，求出第三个角的度数.如果两个角中有一个角为直角，有没有更直接的方法求出第三个角的度数呢？

【设计意图】通过对旧知识的复习，回顾运用三角形的内角和求角的度数的方法，为探索直角三角形的两个锐角互余作铺垫.

活动②整合旧知探究直角三角形的性质

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90o，试说明∠A+∠B=90o.

.

解：

由三角形的内角和为180o，得∠A+∠B+∠C=180o，

即∠A+∠B+90o=180o，所以∠A+∠B=90o

结论：

直角三角形的两个锐角互余.

符号语言：

在Rt△ABC中，∠C=90o，∴∠A+∠B=90o.

【设计意图】在直角三角形中，已知一个锐角的度数能快速求出另一个角的度数对学生而言较容易，可利用本环节进一步培养学生的推理能力.

探究二直角三角形的判定

问题我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？

请你说说理由.

答：

由三角形的内角和为180o，可知当有两个角互余时可求第三个角为90o，所以此三角形是直角三角形.

结论：

有两个角互余的三角形是直角三角形.

【设计意图】在完成探究一后，可将直角三角形的性质的题设和结论调换，得到新命题，并证明该命题是真命题，从而得到直角三角形的判定定理.既可复习命题的旧知，又可继续培养学生的推理能力.

探究三综合运用

活动①直角三角形性质的运用

例1如图，∠D=∠C=90o，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？

为什么？

【知识点】直角三角形的性质

【解题过程】解：

在Rt△ACE中，∠C=90o，

∠CAE=90o−∠AEC

在Rt△DBE中，∠D=90o，

∠DBE=90o−∠DEB

∵∠AEC=∠DEB

∴∠CAE=∠DBE.

【思路点拨】根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等解决问题．

【答案】∠CAE=∠DBE.

练习：

如图，∠ACB=90o，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？

为什么？

【知识点】直角三角形的性质

【解题过程】∵CD⊥AB，所以∠CDB=90o，∴∠BCD+∠B=90o，∵∠ACB=90o.∴∠ACD+∠BCD=90o，∴∠ACD=∠B

【思路点拨】根据直角三角形的两锐角互余和同角的余角相等解决问题．

【答案】∠ACD=∠B

活动②直角三角形的判定

例2如图，直线EF分别交AB、CD于点E、F，AB∥CD，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：

△EFP是直角三角形.

【知识点】直角三角形的判定

【解题过程】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180o，又∵∠BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF=

∠BEF，∠PFE=

∠EFD，∴∠PEF+∠PFE=

∠BEF+

∠EFD=

（∠EFD+∠EFD）=

×180o=90o，∴△EFP是直角三角形.

【思路点拨】由两直线平行可得同旁内角互补，再由角平分线的定义易求出∠PEF+∠PFE=

90o，从而判断△EFP是直角三角形．

【答案】

练习：

如图，在△ABC中，∠C=90o，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？

为什么？

【知识点】直角三角形的性质和判定

【解题过程】在△ABC中，∠C=90o，∴∠A+∠2=90o，∵∠1=∠2，∴∠A+∠1=90o，∴△ADE是直角三角形.

【思路点拨】已知直角三角形易得∠A、∠2互余，再根据等量代换得到∠A与∠1互余，根据直角三角形的判定解决问题．

【答案】△ADE是直角三角形

活动③三角形的内角和的综合运用

例3如图，在△ABC中，∠B=52o，∠C=40o，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数.

【知识点】三角形的内角和及三角形的角平分线、高的定义

【解题过程】在△ABC中，已知∠B=52o，∠C=40o，∴∠BAC=180o−∠B−∠C=88o，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=

∠BAC=44o，∴∠ADB=180o−∠B−∠BAD=84o，∵AE是BC边上的高，∴∠AED=90o，∴∠DAE=90o−∠ADE=6o.

【思路点拨】法1：

利用角的和差解决：

∠DAE=∠BAD-∠BAE，在Rt△AEB中已知∠B=52o，可求∠BAE，在△ABC中已知∠B=52o，∠C=40o，可求∠BAC，再根据AD是∠BAC的平分线，求出∠BAD.法2：

利用直角三角形两锐角互余解决：

∠DAE=90o-∠ADE，在△ADB中已知∠B=52o，用法1求出∠BAD，可求∠ADB.从而解决问题．

【答案】6o

变式练习：

如图，在△ABC中，∠B=α（0o<α<90o），∠C=β（0o<β<90o），α>β，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，请求∠DAE的度数（用α、β的式子表示）.

【知识点】三角形的内角和及三角形的角平分线、高的定义

【解题过程】在△ABC中已知∠BAC=180o−α−β，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=

（180o−α−β）∴∠ADB=180o−α−

（180o−α−β）=90o−

α+

β.∵AE是BC边上的高，∴∠AED=90o，∴∠DAE=90o−（90o−

α+

β）=

α−

β.

【思路点拨】思考方法同上，关键是用α、β的式子表示各个角的度数．

【答案】

α−

β.

练习2：

如图，在△ABC中，∠A=40o，∠B=86o，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，CE是∠ACB的平分线，求∠BCE和∠CDF的度数.

【知识点】三角形的内角和及三角形的角平分线、高的定义

【解题过程】在△ABC中，∠A=40o，∠B=86o∴∠ACB=54o，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠BCE=

∠ACB=27o，∵CD⊥AB于D，∴∠CDB=90o，∴∠BCD=4o，∴∠FCD=∠BCE−∠BCD=23o，∵DF⊥CE于F，∴∠CFD=90o，∴∠CDF=90o−∠FCD=67o，即∠BCE=27o，∠CDF=67o.

【思路点拨】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线的性质，高的定义，解答的关键是三角形的内角和定理，需熟记于心中．

【答案】∠BCE=27o，∠CDF=67o.

3.课堂总结

知识梳理

（1）根据直角三角形的性质可得两个锐角互余．

（2）由直角三角形两锐角互余的关系可判定三角形是直角三角形.

（3）利用三角形内角和、直角三角形的性质和判定解决有关的计算和证明.

重难点归纳

（1）掌握直角三角形的性质与判定.

（2）在解决角的度数问题时，若有直角三角形存在，善于运用直角三角形的两锐角互余求角度更直接简便.

（3）学会与三角形内角有关的计算与证明的说理．

（三）课后作业

基础型自主突破

1.一个三角形的三个内角的度数比是1∶2∶1，这个三角形是（　　）．

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形

【知识点】三角形的内角和定理，三角形的分类

【数学思想】方程思想

【思路点拨】已知三角形的三个内角的度数比是1∶2∶1，可根据三角形的内角和定理设未知数建立方程求解.

【解题过程】三个内角的度数比是1∶2∶1，设三个角的度数分为xo，2xo，xo由题可得x+2x+x=180，解得x=45，∴三个角的度数分为45o，90o，45o，∴此三角形是等腰直角三角形.故选D.

【答案】D

2.如图，直线∠A=35o，∠B=∠C=90o，则∠D的度数为（　　）

A．35°B．45°C．55°D．65°

【知识点】直角三角形的性质

【思路点拨】由直角三角形的两锐角互余和对顶角相等可解决问题.

【解题过程】在Rt△ABE和Rt△CED中，∠A+∠AEB=90o，∠D+∠DEC=90o，因为∠AEB=∠DEC，所以∠D=∠A=35o.故选A.

【答案】A

3.将一个直角三角尺和一把直尺如图放置，如果，∠1=36°，则∠2的度数为（）

A.56°B.76°C.66°D.60°

【知识点】直角三角形的性质，平行线的性质，邻补角的定义

【思路点拨】根据直角三角形两锐角互余，可求∠A=30o，根据三角形内角和定理求∠4，即可求出∠3，再利用平行线的性质得∠2=∠3，从而求解.

【解题过程】解：

根据直角三角形两锐角互余，可求∠A=30o，∴∠4=180o−30o−36o=114o，∴∠3=180o−114o=66o，∵直尺对边平行，所以∠2=∠3=66o，故选C

【答案】C

4.如图，已知，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E、F，点G在直线EF上，GH⊥AB，若∠EGH=43°，则∠CEF的度数为____________.

【知识点】直角三角形的性质，平行线的性质

【思路点拨】利用直角三角形的两锐角互余和平行线的性质是解决问题的关键.

【解题过程】因为GH⊥AB，所以∠GHF=90o，所以∠GFH=90o−∠EGH=47o，所以∠BFE=

180o−∠GFH=133o，又因为AB∥CD，所以∠CEF=∠BFE=133o.

【答案】133o

5.在直角三角形中，两锐角之差为20o，则较大的锐角为度.

【知识点】直角三角形的性质

【数学思想】方程思想

【思路点拨】利用直角三角形两锐角互余建立方程是解决问题的关键.

【解题过程】设较大的锐角为xo，则较小的锐角为（x-20）o，所以x+（x-20）=90，解得x=55，所以较大锐角为55o.

【答案】55

6.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=88°，∠C=58°，则∠DAE的度数是_______.

【知识点】三角形的内角和及三角形的平分线、高的定义

【解题过程】在△ABC中已知∠BAC=88°，∠C=58°，∴∠B=180o−∠C−∠BAC=34o，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=

∠BAC=44o，∵AD⊥BC于点D，∴∠BAD=90o−∠B=56o，∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=12o.

【思路点拨】利用角的和差解决：

∠DAE=∠BAD-∠BAE，在△ABC中已知∠BAC=88o，∠C=58o，可求∠B，在Rt△ADB中已知∠B可求∠BAD，再根据AE是∠BAC的平分线，求出∠BAE.

【答案】12o

能力型师生共研

7.如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．

【知识点】直角三角形的性质，角平分线的定义

【思路点拨】由角平分线的性质知，∠FAD=∠BAE=26°，而∠AFD与∠FAD互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．

【解题过程】解：

∵AE是角平分线，∠BAE=26°，

∴∠FAD=∠BAE=26°，

∵DB是△ABC的高，

∴∠AFD=90°﹣∠FAD=90°﹣26°=64°，

∴∠BFE=∠AFD=64°．

【答案】64°

8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．

（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；

（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．

【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义

【思路点拨】

（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；

（2）中，由于∠B和∠ACB的大小不确定，故表达式应写为两种情况．根据第

（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．

【解题过程】解：

（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，

∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=30°，∴∠ADC=65°，∴∠E=25°；

（2）∠E=

（∠ACB−∠B）或∠E=

（∠B−∠ACB）

解：

∠ADC=180°−∠ADB=180°−（180°−∠B-∠BAD）=∠B+∠BAD

∠BAD=

（180°−∠B−∠ACB）

∵∠E≥0

∴∠E=90°−∠ADC=90°−∠B−∠BAD=│90°−∠B-

（180°−∠B−∠ACB）│

=│

（∠ACB−∠B）│

∴当∠B＞∠ACB时，∠E=

（∠B−∠ACB）

当∠B＜∠ACB时，∠E=

（∠ACB−∠B）

【答案】

（1）25°；

（2）∠E=

（∠ACB−∠B）或∠E=

（∠B−∠ACB）

探究型多维突破

9.

（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=40°，则∠ABC+∠ACB=　_________　，∠XBC+∠XCB=　_________　．

（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？

若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．

【知识点】三角形内角和定理

【思路点拨】本题考查的是三角形内角和定理．已知∠A=40°易求∠ABC+∠ACB的度数．又因为∠x为90°，所以易求∠XBC+∠XCB．此题注意运用整体法计算．关键是求出∠ABC+∠ACB.

【解题过程】解：

（1）∵∠A=40°，

∴∠ABC+∠ACB=140°，

∵∠X=90°，

∴∠XBC+∠XCB=90°，

∴∠ABC+∠ACB=140°；∠XBC+∠XCB=90°．

（2）不变化．

∵∠A=40°，

∴∠ABC+∠ACB=140°，

∵∠X=90°，

∴∠XBC+∠XCB=90°，

∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）

=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）=140°﹣90°=50°．

【答案】

（1）140o，90o

（2）50o

10.已知△ABC中，∠BAC=80°．

（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；

（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；

（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．

【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义

【思路点拨】

（1）根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难∠BOC的大小．

（2）根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据三等分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难∠BOC的大小．

（3）根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据n等分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难探求∠BOC的大小与n的关系．

【解题过程】解：

∵∠BAC=80°，

∴∠ABC+∠ACB=100°，

（1）∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，

∴∠OBC+∠OCB=50°，∴∠BOC=130°．

（2）∵点O是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，

∴∠OBC+∠OCB=

，∴∠BOC=

．

（3）∵点O是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，

∴∠OBC+∠OCB=

，∴∠BOC=180°﹣

．

当∠BOC=170°时，是十等分线的交线所成的角．

【答案】

（1）130°；

（2）

；（3）十等分线.

自助餐

1.将一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠1的度数是（）

A.90oB.75oC.60oD.45o

【知识点】直角三角形的性质

【思路点拨】利用直角三角形的两锐角互余求解.

【解题过程】由直角三角形的两锐角互余可得：

∠1=90o−（45o−30o）=75o

【答案】B

2.如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【知识点】直角三角形的性质

【思路点拨】本题的关键是找准直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的关系，寻找与∠C（∠C除外）相等的角.

【解题过程】∵∠C+∠EDC=90o，∠ADE+∠EDC=90o，∴∠ADE=∠C，∵∠ADE+∠DAE=

90o，∠BAD+∠DAE=90o，∴∠BAD=∠ADE，∵∠ADF+∠BAD=90o，∠ADF+∠FDB=90o，∴∠FDB=∠BAD，∴∠FDB=∠BAD=∠ADE=∠C.故选A.

【答案】A

3.在△ABC中，∠A−∠B=30o，∠B−∠C=30o，则此三角形是三角形.

【知识点】三角形的内角和定理，直角三角形的判定

【思路点拨】已知三角形内角的数量关系，根据三角形的内角和定理即可求解.

【解题过程】∵∠A−∠B=30o，∠B−∠C=30o，∴∠A=30o+∠B，∠C=∠B−30o，∵∠A+∠B+∠C=180o，∴∠B=60o，∴∠A=90o，∠C=30o，∴△ABC是直角三角形.

【答案】直角

4.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，∠DBC的度数为.

【知识点】三角形内角和定理，直角三角形的性质

【数学思想】方程思想

【思路点拨】已知三角形内角的数量关系，可根据三角形的内角和定理设未知数建立方程求解.

【解题过程】设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x，由题可得x+2x+2x=180o，解得x=36o，∴∠C=72o，∵BD是AC边上的高，∴∠BDC=90o，∴∠DBC=90o−72o=18o.

【答案】18o

5.如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠A的度数．

【知识点】三角形内角和定理，平行线的性质

【思路点拨】根据已知条件，证AD∥FC；根据两直线平行，同旁内角互补求出∠A的度数即可．

【解题过程】解：

∵∠1+∠2=90°，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，

∴∠ADC+∠BCD=180°

∴AD∥FC

∴∠A+∠B=180°

又∵∠B=75°

∴∠A=105°

【答案】105°

6.如图

（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．

（1）若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．

（2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE=

（∠C﹣∠B）．

（3）如图

（2）若将点A在AD上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，

（2）中的结论还正确吗？

为什么？

【知识点】三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理

【思路点拨】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．

（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得度数，在△ADC中，利用三角形内角和求出∠ADC的度数，从而可得∠DAE的度数．

（2）结合第

（1）小题的计算过程进行证明即可．

（3）用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=

（∠C﹣∠B）．

【解题过程】解：

（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；

∵AD是角平分线，∴∠DAC=

∠BAC=25°；

在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；

在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣∠AED=15°．

（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣∠AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C﹣

∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C﹣

（180°﹣∠B﹣∠C）]=

（∠C﹣∠B）．

（3）

（2）中的结论仍正确．

∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+

∠BAC=∠B+

（180°﹣∠B﹣∠C）=90°+

∠B﹣

∠C；

在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180