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概率与统计

一、选择题

1、在1000个有机会中奖的号码（编号为000-999）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）

A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.以上均不对

2、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽

C.3D.-

6.（2010辽宁）两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为一和一，两个

零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

（A）-（B）—（C）丄（D）丄

21246

7.—位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。

方法一：

在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：

在5箱中各任意抽查两枚。

国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为°和卩2,则

（2011湖北）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间［10,12］内的频数为（）

A.18B.36

C.54D.72

Do以上三种情况都有可能

从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到

的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）

1121

（A）-（B）-（0-（D）-

8452

10.

间［0,10］内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间［0,10］内的概率是:

填空题

11.在区间［—6,6］,内任取一个元素xo,若抛物线y二x?

在x二X。

处的切线的倾角为则

TH］的概率为

12.［2012江苏6】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若

从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是.

13.从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率

为

14.（2011年江西卷）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于丄，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于丄，则去打篮球;

否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为

15.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以厶和合表示山甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表不由乙罐取出的球是红球的事件，则下

列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）。

①P（B匕;②P（B|；③事件B与事件4相互独立；④a，a2，A是两两互斥的事件;

⑤P（B）的值不能确定，因为它与4，%,九中哪一个发生有关

三.解答题

乙组

0X89

1.以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（I）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数；

（II）如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取

一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布1110列和数学期望.

2.某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：

每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次，在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0

亠91

分，得分高的选手胜出.已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是匕和一•

103

（I）如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？

请说明理由；

（II）求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率.

3.一个口袋中有2个白球和"个红球（/?

>2,且neN*）,每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

（1）试用含"的代数式表示一次摸球中奖的概率P;

（2）若n=3,求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（3）记二次摸球恰有一次中奖的概率为/（p）,当"为何值时，/（p）取最大值。

4.甲，乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲，乙各胜1局.

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设&表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求百的分布列及数学期望.

概率与统计答案

A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.以上均不对

分析：

实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样.

解析：

题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：

088,188,288,

388,488,588,688,788,888,988.答案B.

点评：

关于系统抽样要注意如下几个问题：

（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法.

（2）系统抽样的步骤：

①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本.（3）适用范围：

个体数较多的总体.

2、（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取

64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）

C.16D.12

年级

-i

生

37：

生

37（

分析：

根据给出的概可以知道二年级的学解析：

C二年级女生

率先求出x的值，这样就生人数，问题就解决了.占全校学生总数的19%,

即x=2000x0.19=380,这样一年级和二年级学生的总数是

373+377+380+370=1500,三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生

64应是-^―x500=16.答案C.

2000

点评：

本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识.

3、（2011年高考福建卷文科7）如图，矩形ABCD点E为边CD

的重点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自AABE内部的概率等于

A.—

【答案】C

-ABAD]

【解析】这是-几何概型，所求概率为土济石，故选C.

4、【2012高考真题北京理2】设不等式组\Q-x-2\表示平面区域为D,在区域D内随机

取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

71兀一27C4_”

（A）—（B）（C）—（D）

4264

【答案】D

【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以、

存在的位苴为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此

■八■3■兀。

4-TL

P==—,故选D-o，

2x24

5、（2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）

分数

人数

分析：

根据标准差的计算公式直接计算即可.

100

解析：

平均数是*20+4x10+3x30+2x30+1x10=3,

标准差是

20x（5-3『+10x（4-3）2+30x（3-3）2+30x（2-3『+10x（1—

100

80+10+30+40=\=

答案B.

6、两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

（D）-

（A）一（B）——（C）-

2124

【答案】B

【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算间题

【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A,则

21155

P（A'»=P（A；j-P（A：

）=—>:

—_—〉：

一=——

7、（2010江西理数）11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。

方法一：

在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：

在5箱中各任意抽查两枚。

国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为从和°2,

9、从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个

数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B丨A）=（）

1121

⑷-（B）-（0-（D）-

8452

答爲3

解析,由皿林=弩=孰品寻洛故:

卄辔j

10、在区间［0,10］内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间［0,10］内的概率是:

11.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】在区间［—6,6］,内任取一

个元素Xo,若抛物线y二X?

在X二X。

处的切线的倾角为a,则,—的概率为

【答案】鲁

【解析】当罟时，斜率心或匕1,又y=2x,所以详*或兀T，所

以唏.

12.[2012高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲.

【答案】

【解析】••:

以1为首项，-3为公比的等比数列的10个数为1,—3,9,-27,•…其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8,

.••从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的槪率是A=

105

13、（2011年高考重庆卷文科14）从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选

3位中有甲但没有乙的概率为

【答案】—

14、（2011年高考江西卷理科12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于丄，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于丄，

则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为

【答案】—

【解析】小波周末不在家看书包含两种情况:

一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不

17171

111q

在家看书的概率为一=—.

7C16

15、（2010安徽理数）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个

白球和3个黑球。

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以%和妁表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）。

①p（fi）=y；②P（5|A1）=—；③事件B与事件4相互独立；

④£,爲,含是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与£,人,為中哪一个发生有关

15.②④

【解析】易见£,仏，4是两两互斥的事件，而

5574340

P（B）=P（B\A.}+P（B\A,}+P（B\AA=——x一+—x一+—x一=——。

\U\I*2丿\I3丿10111011101122

【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的

关键.本题在是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化

P（B）=P（B\A1）+P（B\A2）+P（B\A3）,可知事件B的概率是确定的.

三"解答题

1.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试理科】（本小题满分12分）以下茎叶图记录了

甲、乙两组个四名同学的植树棵树。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表不。

乙组

甲组

990X89

1110

（I）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数；

（II）如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.

【答案】解

（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：

8,8,9,10,

（II）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：

9,9,11,11；乙组

同学的植树棵数是：

9,8,9,10o分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有

4x4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,

21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以

该事件有2种可能的结果，因此P（¥=17）

168

同理可得P（Y=18）=t；P（Y=1刃P（y=20）=|;P（y=21）=

所以随机变量Y的分布列为：

EY=17xP（Y=17）+18xP（Y=18）+19>

12分

-17x-+18x-+19x-+20x-+21x--19

2.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（木小题满分12分）

某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：

每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在

B区投篮3次，在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出.已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是2和丄.

103

（I）如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？

请说明理由；

（II）求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率.

【答案】解：

（I）设该选手在A区投篮的进球数为X,则（9、QQ

X〜B2,—，故E（X）=2x—=—,

I10丿105

则该选手在/区投篮得分的期望为2x-=3.6.（3分）

设该选手在B区投篮的进球数为Y,贝故£（y）=3x|=l,

则该选手在B区投篮得分的期望为3x1=3.

所以该选手应该选择A区投篮.（6分）

（II）设“该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件G“该选手在A区投篮得4分且在B区投篮得3分或0分”为事件D,“该选手在A区投篮得2分且在B区投篮得0分”为事件丘则事件C=D^E,且事件〃与事件g互斥.（7分）

P（D）=—xf-+—Ki,（9分）

100（927J5

P（E）=—xA=±,（11分）

1002775

3449

P（C）=P（DUE）=—+，

57575

故该选手在/区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为竺.（12分）

3.【云南省玉溪一中2013届高二第二次月考理】（本小题满分12分）一个口袋中有2个白球和"个红球（"22,且neN'）,每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

（1）试用含"的代数式表示一次摸球中奖的概率P;

（2）若n=3,求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为/（p）,当"为何值时，/（p）取最大值。

【答案】解：

（1）一次摸球从«+2个球中任选两个，有C；2种选法，其中两球颜色相同有

c,；+cf种选法；一次摸球中奖的概率P=£L±^=»2-"+24分

C“+2n+3〃+2

（2）若”=3,则一次摸球中奖的概率是P=|,三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰

有一次中奖的概率是^

（1）=C；-P-（1-P）28分

（3）设一次摸球中奖的概率是p,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是

/（p）=C；•p•（1_p）2=3p3_6p2+3p,0

g=9p2-12p+3=3（p-l）（3p-1）

；.f（p）在（0,£|是增函数，在是减函数,

.•.当p=^时，/（p）取最大值10分

n2-n+21,_、

.p=—=-G;>2,neN*）,

n2+3n+23

n=2,故n=2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。

12分

4.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考理】甲，乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲，乙各胜1局.

⑴求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设§表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求§的分布列及数学期望.

【答案】解：

⑴若甲胜，那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜，一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况，则概率是2*0.6*0.6*0.4=0.288.

所以甲获胜的概率是0.36+0.288=0.64&

（2）设进行的局数为J则E的可取值为2,3,p（&=2）=0.6*0.6+0.4*0.4=0.52,

P（§=3）=2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48.

Eg二2*0.52+3*0.48=2.48

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