=
d.
【例3】河宽d=100m,水流速度v1=4m/s,船在静水中的速度是v2=3m/s,求:
(1)欲使船渡河时间最短,船应怎样渡河?
最短时间是多少?
船经过的位移是多大?
(2)欲使船航行距离最短,船应怎样渡河?
渡河时间多长?
图1-2-6
图1-2-7
解:
设想水不流动,则船将以v2速度做匀速直线运动,设想船不开动,则船将以v1速度顺水漂流,可见实际渡河时,渡船同时参与两个分运动,其合运动沿v1与v2矢量和的方向做匀速直线运动(如图1-2-6),由于分运动与合运动的等时性,船渡河时间等于v2分运动的时间.
(1)不论v1与v2的大小如何,船头v2的方向垂直指向河岸时,渡河时间最短,t=
=
s=25s.
船经过的位移大小为
s=vt=
t=
×25m=125m
(2)因船速小于水速,故小船不能垂直过河.虽然小船不能垂直过河,但有最短的路程.设合速度方向与水流方向的夹角为θ,如图1-2-7所示,根据几何关系有
sinθ=
,s=
则t=
=
=50s.
触类旁通
3.一艘小船在100m宽的河中横渡到对岸,已知水流速度是3m/s,小船在静水中的速度是4m/s,求:
(1)欲使小船渡河时间最短,船应该怎样渡河?
最短时间是多少?
船经过的位移多大?
(2)欲使航行距离最短,船应该怎样渡河?
渡河时间多长?
解:
(1)欲使船渡河时间最短,船头的方向应该垂直于河岸,如图1所示.
渡河最短时间tmin=
=
s=25s
船经过的位移大小
s=vt=
·tmin=
×25m=125m.
图1
图2
(2)船的最短位移即为河宽,船的合速度的方向垂直于河岸,如图2所示.
船的合速度v=
=
m/s=
m/s
船头实际航行方向与河岸夹角的余弦值cosθ=
=
渡河时间t=
=
s=
s.
易错易混
绳子、杆末端速度随意分解
对于绳子与杆末端速度分解的问题,很多错误来自于不知道分解什么速度,分解速度时向哪一个方向分解,所以合运动与分运动的判断,对此类问题尤其重要。
1.绳端速度:
即绳子末端的速度,也就是与绳末端相连的物体的速度,是合速度。
例如题4中,绳左端的速度就是船的速度V,绳右端的速度是人的速度v,v与V都是合速度。
2.绳身的“移动”速度:
是指绳子通过滑轮的速度,其大小对于同一根绳来说,个点均相同,其方向总是沿着绳子方向。
绳身移动速度是联系两端物体速度关系的纽带,它在绳的两端往往又扮演着不同角色,可能等于物体速度,也可能是物体速度的一个分量。
判断方法是:
看绳端物体速度方向是否沿着绳子方向,如果绳端速度沿着绳子的方向,那么绳身移动的速度就是物体的速度。
例如题4中,绳身移动速度在右端等于人的速度v;若绳端物体速度方向与绳子有一定夹角时,则绳身速度就是物体的一个分速度,例如题4中,绳身移动速度在左端就是小船速度V的一个分量。
3.绳身的“转动”速度:
当绳身移动速度作为绳子某端物体速度的一个分速度时,该绳端物体速度的另一个分速度,就是与绳子垂直的“转动”速度,该速度反映绳子以滑轮为轴,向上或向下转动的快慢。
例如题4中,小船靠岸的过程中,绳左端绕滑轮向下转动,则绳左端转动速度的方向是垂直于绳子向下的。
4.关联速度分解总结
(1)绳子或杆末端运动速度的分解,应按运动的实际效果进行。
(2)速度投影定理:
不可伸长的绳或杆,尽管各点的速度不同,但各点速度沿绳或杆方向的投影是相同的,即绳子、杆两个端点的合速度分解到沿绳子、杆方向的速度是相等的,此速度称为“关联”速度。
【例4】如图1-2-8所示,一人站在岸上,利用绳和定滑轮,拉船靠岸,在某一时刻绳的速度为v,绳AO段与水平面夹角为θ,不计摩擦和轮的质量,则此时小船的水平速度多大?
图1-2-8
错因:
将绳的速度按图1-2-9所示的方法分解,则v1即为船的水平速度,v1=vcosθ.
上述错误的原因是没有弄清船的运动情况.实际上船是在做平动,每一时刻船上各点都有相同的水平速度.而AO绳上各点运动比较复杂,既有平动又有转动.以连接船上的A点来说,它有沿绳的平动分速度v,也有与v垂直方向的速度vn,即转动分速度;A点的合速度vA即为两个分速度的和(如图1-2-10),vA=
.
图1-2-9
图1-2-10
正解:
小船的运动为平动,而绳AO上各点的运动是平动加转动.以连接船上的A点为研究对象,如图1-2-10所示,A的平动速度为v,转动速度为vn,合速度vA即与船的平动速度相同,由图可以看出vA=
.
触类旁通
5.如图1-2-11所示,车甲以速度v1拉车乙前进,乙的速度为v2,甲、乙都在水平面上运动,求v1∶v2.
图1-2-11
图3
解:
如图所示,将汽车乙的实际运动速度v2分解为沿绳方向的分运动和沿垂直于绳方向的分运动,由于绳不伸长和缩短,必然应满足:
v1=v2cos
即可求得:
v1∶v2=cos
分析讲解此题时关键是要抓住①垂直分量对绳的伸长和缩短不会产生影响②只要平行分量与汽车甲的运动速度相等即可保证绳不伸长和缩短。
答案:
v1∶v2=cos
6.如图1-2-12所示,当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上,B端放在水平地面上,当滑到图示位置时,B点速度为v,则A点速度是。
(
为已知)
解析:
设A点速度沿墙竖直向下
。
即杆A点的速度沿杆的分速度等于杆B点的速度沿杆的分速度相等。
根据速度投影定理:
得
。
答案:
随堂练习
一、单项选择题
1.关于分运动和合运动,下列说法正确的是(A)
A.两个分运动是同时进行的
B.先有分运动,后有合运动
C.两个分运动可以是先后进行,也可以是同时进行
D.合运动的轨迹一定是曲线
解析:
根据分运动与合运动的等时性及等效性可知选项A对,选项B、C错;而合运动既可为直线运动也可为曲线运动,故选项D错.
2.小船在静水中速度为v,现小船要渡过一条河流,渡河时小船的船头向垂直对岸划行.若小船划行至河中心时,河水流速忽然增大,则渡河时间与预定时间相比,将(B)
A.增大B.不变
C.缩短D.无法确定
解析:
船在流水中的运动,可认为船在静水中运动和水流运动的合成,由分运动独立性知,两者互不干涉.过河时间仅取决于河宽和船在静水中的速度,因此,当水流速度增大时,过河时间不会发生变化.
3.一小船以一定的速度垂直于河岸向对岸航行,下列关于船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的大小关系的说法中正确的是(D)
A.水流速度越大,过河时间越短,路程越大
B.水流速度越大,过河时间越长,路程越大
C.路程和时间与水流速度无关
D.过河时间与水流速度无关
解析:
由运动的独立性原理可知渡河时间决定于船速,与河水流速无关.船的路程指的是合运动的路程,与流速有关,故选项D对.
4.下列关于运动的分解的说法,正确的是(B)
A.一个在平面上的曲线运动不可能分解为直线运动
B.一个初速度不为零的匀变速直线运动可分解为一个匀速直线运动和一个初速度为零的匀加速直线运动
C.沿斜面向下的直线运动可分解为一个水平方向的匀速直线运动和一个竖直方向的匀加速直线运动
D.一个匀速直线运动不可能再分解
解析:
在平面上的曲线运动可以分解为两个直线运动;沿斜面下滑的物体有两种情况,一种是匀速直线运动,这样可分为水平和竖直方向的匀速直线运动,另一种是匀变速直线运动,加速度沿着斜面,故可分解为水平和竖直方向的两个匀变速直线运动;任何一个矢量均可分解,故选项A、C、D错,B对.
5.关于运动的合成和分解,下述说法中正确的是(C)
A.合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B.物体的两个分运动若是直线运动,则它的合运动一定是直线运动
C.合运动和分运动具有同时性
D.若合运动是曲线运动,则其分运动中至少有一个是曲线运动
解析:
合速度与分速度遵循平行四边形定则,故选项A错;当物体的两个分运动都是直线运动时,其合运动可能是直线运动,也可能是曲线运动,故B、D错.
二、双项选择题
6.已知两个分运动是互相垂直的,一个是匀速直线运动,一个是初速度为零的匀变速直线运动,则下列说法正确的是(BC)
A.合运动一定是直线运动
B.合运动一定是曲线运动
C.合运动的加速度一定不变
D.合运动的加速度可能改变
解析:
两个分运动的合初速度方向与合加速度方向垂直,且合加速度恒定,故选项B、C对.
课后巩固提升
一、单项选择题
1.关于运动的合成与分解,以下说法不正确的是(D)
A.由两个分运动求合运动,合运动是唯一确定的
B.由合运动分解为两个分运动,可以有无数种分解方法
C.任何一种形式的运动均可以由几个分运动替代
D.合运动的速度大小一定大于任一个分运动的速度大小
解析:
根据矢量三角形法作出矢量图即可作出正确判断.
2.降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风,若风速越大,则降落伞(D)
A.下落的时间越短B.下落的时间越长
C.落地时速度越小D.落地时速度越大
解析:
由分运动的独立性和等时性知,降落伞下落的时间与水平方向的风速无关,只与所处的高度有关,故下落时间不变.由运动的合成知,若水平方向的风速越大,则降落伞落地时的速度越大.
3.下列说法正确的是(C)
A.合运动和分运动互相影响,不能独立进行
B.合运动的时间一定比分运动的时间长
C.合运动和分运动具有等时性,即同时开始,同时结束
D.合运动的位移大小等于两个分运动位移的大小之和
解析:
合运动和分运动具有等时性、独立性和等效性,则选项A、B错,C对;合运动的位移大小应该等于分运动的位移矢量和大小,故D错.
4.如图1-2-1所示,由v1、v2、v3为边长组成的四个三角形,且v1<v2<v3,根据运动的合成,在四个图中三个速度v1、v2、v3的合速度最大的是( )
图1-2-1
解析:
由三角形定则,在图A中v1、v2的合速度大小为v3,再与图中v3合成,合速度为2v3,图B中合速度为0,图C中v3、v2的合速度为v1,与图中v1再合成,合速度为2v1,图D中的合速度为2v2,其中最大的合速度为2v3,故A正确.
答案:
A
二、双项选择题
5.如果两个分运动的速度大小相等,且为定值,则以下说法中正确的是(AC)
A.若两个分运动夹角为零,合速度最大
B.若两个分运动的夹角为90°,合速度大小与分速度大小相等
C.若两个分运动的夹角等于120°,合速度的大小等于分速度大小
D.合速度的大小随两个分运动的夹角增大而增大
解析:
用矢量三角形可知选项A、C正确.
6.关于合运动和分运动,以下说法中正确的是(AC)
A.两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
B.不在同一直线上的两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动
C.不在同一直线上一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
D.两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动
7.关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动,下列说法正确的是(CD)
A.一定是直线运动
B.一定是曲线运动
C.一定是匀变速运动
D.可能是直线运动,也可能是曲线运动
解析:
两个分运动都是匀变速直线运动,分运动加速度都恒定,合加速度必恒定,所以物体做匀变速运动.用平行四边形定则分别求出两个分运动的合速度v和合加速度a.若a与v在一条直线上,则合运动为直线运动;若a与v不在一条直线上,则合运动为曲线运动.
8.对于某一运动在某一时刻的两个分速度分别为6m/s和8m/s,则可以判断该运动在该时刻的合速度大小可能为(BC)
A.1m/sB.5m/s
C.14m/sD.16m/s
解析:
速度的合成遵循矢量的运算法则|v1-v2|≤v合≤|v1+v2|,即2m/s≤v合≤14m/s,故选项B、C正确.
9.一小船在静水中运动的速度为3m/s,若要过一条宽为60m,河水流速为4m/s的河,则下列说法中正确的是(CD)
A.小船无论如何也不能渡过这条河
B.小船相对于河岸的速度一定是5m/s
C.小船渡河的最短时间是20s
D.小船无论如何也不能抵达正对岸
解析:
由运动独立性知渡河的最短时间tmin=
=
s=20s,由于v船10.如图1-2-4所示,小车A以速度v水平向右匀速运动牵引物体B上升,在此过程中(BD)
图1-2-4
A.物体B匀速上升
B.物体B加速上升
C.物体B减速上升
D.绳子的拉力大于物体B的重力
解析:
小车向右运动的速度,就是绳子末端的速度,为合速度,它的两个分速度v1和v2,v1是拉长绳子的速度,v2是绳末端向上摆动的速度。
所以B上升的速度V就等于绳伸长的速度。
V=v1=vcosθ
小车匀速向右运动,θ逐渐减小,cosθ变大,
可知,A的速度V变大,故A做加速运动,
由A得受力及牛顿第二定律可知绳的拉力大于A的重力。
11.小河宽为d,河水中各点的水流速度与各点到较近河岸边的距离成正比,v水=kx,其中k=
,x是各点到近岸的距离.当小船船头垂直河岸渡河时,船速为v0,则下列说法中正确的是(BC)
A.小船渡河时的轨迹为直线
B.小船渡河时的轨迹为曲线
C.小船到达距河对岸
处,船的渡河速度为
v0
D.小船到达距河对岸
处,船的渡河速度为
v0
解析:
由曲线运动的特点知,选项A错,B