浅谈数学史与数学文化论文.docx

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浅谈数学史与数学文化论文

内容提要：

数学的很多方法是有辩证性的，比如具体与抽象；演绎与归纳；发现与证明；分析与综合；这些方法之间有联系又有区别。

数学是人类最古老的科学知识之一，它主要是研究现实生活中数与数、形与形，以及数与形之间相互关系的一门学科。

他们发展也经历的很多的坎坷，在磨砺中他也得以不断的成长。

说到数学美，人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割；雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何；数学皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”……。

数学的一种文化表现形式，就是把数学溶入语言之中。

在数学的发展中，形成许多哲学的观点，有以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派。

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浅谈数学史与数学文化

一、情深意浓——学习数学的心得和感想

从小就对数学有着浓厚的兴趣，数学能给我带来一直奇妙的神奇的感觉，而学习数学更是让我学到很多东西。

在思维上，逻辑的严谨，和思考的妙趣，是其他学科不能给我的。

在求学的态度上，数学教给我的是脚踏实地。

对数学的感觉有时不能用语言来描述，我相信很多和我一样喜欢数学的都对数学有着奇妙的感情。

当同学表示学数学的枯燥时我很不能理解，在我看来数学是最实在，有趣味的，他就像是一个老朋友，等着去解读。

汉克尔曾说数学科学的特点是：

高度的抽象性，体系的严谨性，应用的广泛性，发展的延续性。

我懂得数学的高深，想来我没有足够的能力去深入的解读去体味，因而高考没有选数学专业。

现在又有一次机会让我可以接触数学，领悟数学和数学家的神奇，美妙，毫不犹豫的选了数学文化，对数学的很多感受现在可以通过这次机会表达一二。

二、智慧展现——数学方法和数学思想

数学方法和数学思想将数学的智慧和魅力展现得淋漓尽致，这些凝聚了数学家们智慧的知识不是几句话就能说明白。

数学的方法是贯穿了整个数学，也是学习数学的基础。

在此我将我所学到的和我心中所想的一些数学方法和思想写出略表我对数学的解读。

数学的很多方法是有辩证性的，比如具体与抽象；演绎与归纳；发现与证明；分析与综合；这些方法之间有联系又有区别。

（一）、具体与抽象

具体是社会实践，是客观存在的东西，因为数学是源于社会实践的。

同时数学是一种利用自身已有的概念、定理、公设，借助已知的相互关系，通过推理、计算而获得新发现的学科。

数学的概念是抽象的，数学的方法也是抽象的。

爱因斯坦相对论的发现恰恰是借助于数学的方法论路径去实现的，如果没有非欧几何人类可能还要在牛顿的时空观中走过许多年才能寻找到相对论。

数学方法的抽象是借助数学概念、公理、定理、公设等，把所有涉及研究对象的概念以及研究对象的抽象性归并汇集在一起，找出他们更具体抽象、统一的结论。

这种抽象方法，人们一般冠以公理化方法。

它大大拓宽了人们的视野，从只抽象个别对象扩展到抽象整个数学理论的逻辑结构。

现在，数学研究的对象已不是具体、特殊的对象，而是抽象的数学结构。

（二）、演绎与归纳

演绎法是由一般到特殊的推理，它有三段论的表现形式，由一般的判断，特殊判断，结论三部分组成。

归纳与演绎不同，归纳是这样一种推理：

其中所得到的结论超越了经验材料所提供的东西的一种经验猜想。

看起来归纳与演绎很有区别的，事实归纳与演绎是相依而存、互为发展、对立统一的。

恩格斯在《自然辩证法》中说：

“我们用世界上的一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚，只有对这个过程的分析才能做到这一点——归纳与演绎，正如分析与综合一样是必然相互联系着的，不应当牺牲一个而把另一个捧上天，应当把每一个用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。

”

（三）、发现与证明

发现实际上就是定律的发现和理论地提出问题，最主要是通过假说，猜想。

猜想是提出新思想，一个猜想可以带出或生出一个新的学科方向。

比如，对欧氏第五公设的证明产生了非欧几何理论，四色猜想对开辟数学研究新途径有重要意义。

在数学史上有很多有名猜想，人们熟悉的费马猜想，曾是一个悬赏10万马克的定理，实际上，它是源于几千年前的勾股定理。

德国数学家曾宣称：

当n大于2时，不存在一个整数n次幂是另外两个整数n次幂之和。

数学家韦尔斯花了34年心血来解这道难题，并获得沃尔夫奖。

许许多多数学猜想是由简单到复杂无休无止地产生出来。

一个猜想解决了，又猜想出来了，数学家们总有解决不完的猜想。

许多重要猜想，总能吸引众多数学家为此皓首穷经。

在证明各个猜想的过程中，数学们会取得一系列重要理论成果。

（四）、分析与综合

分析是由未知去推导已知，在假定的前提下导出结论，而这一结论恰恰是已给出的条件或已知的命题。

综合是由已知命题开始，通过演绎、归纳能一连串来导出未有的命题，或解决所要给出的问题的解。

善于结合运用这些数学方法可以更好的来解决数学问题和体会数学的内涵。

三、成长与磨砺——数学的发展

写关于数学文化不得不写数学的发展。

数学是人类最古老的科学知识之一，它主要是研究现实生活中数与数、形与形，以及数与形之间相互关系的一门学科。

他们发展也经历的很多的坎坷，在磨砺中他也得以不断的成长。

首先是数学的萌芽阶段，在这一时代的杰出代表是古巴比伦数学、中国数学、埃及数学、印度数学等。

古埃及文化可追溯到公元前4000年，在那里，公元前3200年就已有了统一的国家。

公元前2900年，开始建筑金字塔，就金字塔的建筑来讲，已经具备一些初等几何的知识；巴比伦文化可以上溯到公元前2000年左右的苏美尔文化，这一时期，人们基于对量的认识，经建立了数的概念。

从大约公元前1800年开始，巴比伦已经使用较为系统的以60为基数的数系；另一个重要的是古希腊数学，希腊文化在世界文明史上的贡献是至高无上的。

它广泛的吸取了其他文明中的有价值的东西，创立了自己的文明与文化，对西方文明乃至世界文明的发展起了重要作用；同时，在中亚和东方也创造了灿烂的数学文化。

自公元前8世纪起，印度已有一些丰富的数学知识。

中国数学是世界数学史中的瑰宝，在仰韶文化中，已经出土的陶器上已刻有用|，||，|||，||||等表示1，2，3，4的记号。

西安半坡出土的陶器中就有用圆点堆成的三角形或正多边形。

然后是常数学阶段，这时期，数位希腊数学家取得辉煌成就，在2000年时间内，希腊人创造的文明一直延续到牛顿时代。

M.克莱因在评价希腊人的《几何原本》和《圆锥曲线》时说：

“从这些精心撰述的著作中，我们看得出此前三百年间数学上的创造性工作，或此后数学史上关系重大的一些问题。

”说道希腊时代的辉煌，不得不提到希腊璀璨的数学家们。

毕达哥拉斯，曾被人们认为是一个神秘主义者，据说他“十分之一是天才，十分之九是纯粹的呓语者。

”他把证明引入了数学，这也是他最伟大的功绩之一。

毕达哥拉斯还提出了抽象，抽象引发了几何的思辨，从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向科学的开始。

在希腊数学时期还有芝诺的四个简单悖论，这四个简单悖论震惊了哲学界。

在希腊数学里最主要的工作精华和最大的光荣落在了欧几里德和阿波罗尼奥斯的头上。

欧几里德撰写的《几何原本》是古希腊数学的集大成，它充分发挥了希腊哲学的优势，借助演绎推理，展现给人们一个完整的典范的学科系统。

它从定义、公设、公理，一步一步，由远及近，由表及里地推证出大量丰富的结果。

阿波罗尼奥斯的突出工作是《圆锥曲线论》，《圆锥曲线论》的杰出工作，几乎将圆锥曲线的所有性质开采殆尽，以至使后代许多几何学工作者至少是在笛卡尔之前的近2000年间，不敢对此再有发言权。

后人提到评价圆锥曲线，评价阿波罗尼奥斯，就联想到我国李白登黄鹤楼时，看到崔颢诗后的“眼前有景道不得，崔颢题诗在上头”的那样一种心情。

还有阿基米德的得意之作《论球与圆柱》，也是数学上的杰作。

与此同时，在东方是中国，这一时期也是数学文化最辉煌的时代，它与希腊的数学文化呈现出一种交相辉映的繁荣局面。

中国著作《九章算术》给出了三元一次方程组的解法，同时在世界历史上第一次使用负数，叙述了对负数进行运算的规则，也给出了求平方根和立方根的方法。

然后就进入了变量数学建立时期，有笛卡尔著作《几何学》，以及牛顿和莱布尼兹创立的微积分，这些都推进了数学的进步，在数学发展史上是很重要的一个里程碑。

在大一的时候就学了微积分，微分及其中的变量、函数和极限等概念，运动、变化等思想，是辩证法渗入了全部数学：

并使数学成为精确表述自然科学和技术的规律及有效地解决问题的有力工具。

最后是现代数学时期，其中比较突出的问题是高于四次的代数方程的根式求解问题、欧几里德几何中平行线公设的证明问题和微积分方法的逻辑基础问题。

代数、几何、分析领域中这些问题得以研究和解决，数学学科的分支得以迅速发展。

顺着时间的发展将数学史大概说了下，现在我想特意说说在数学史上出现的三次数学危机。

第一次数学危机：

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”和“一切数均可表成整数或整数之比”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：

边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？

他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。

小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

第二次数学危机导源于微积分工具的使用。

伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。

这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。

许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。

但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。

两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。

因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。

罗素悖论与第三次数学危机：

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，1903年，英国数学家罗素提出著名的罗素悖论。

罗素构造了一个集合S：

S由一切不是自身元素的集合所组成。

然后罗素问：

S是否属于S呢？

根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。

因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。

但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。

如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。

无论如何都是矛盾的。

罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动，引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。

四、数学韵味——数学的美

说到数学美，人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割；雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何；数学皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”……

数学美可以分为形式美和内在美。

数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。

数学中有字符美和构图美还有对称美，数学中的对称美反映的是自然界的和谐性，在几何形体中，最典型的就是轴对称图形。

数学中的简洁美，数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点，许多纷繁复杂的现象，可以归纳为简单的数学公式。

数学的内在美有数学的和谐美，数量的和谐，空间的协调是构成数学美的重要因素。

数学中的严谨美，严谨美是数学独特的内在美，我们通常用“滴水不漏”来形容数学。

它表现在数学推理的严密，数学定义准确揭示概念的本质属性，数学结构系统的协调完备等等。

总之，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的，数学是一个五彩缤纷的美的世界。

五、华丽外套——数学语言

语言是文化的载体和外壳。

数学的一种文化表现形式，就是把数学溶入语言之中。

数学语言是数学特有的形式化的符号体系，依靠这种语言进行思维，能够使思维在可见的形式下再现出来。

数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言。

文字语言包括日常生活的语言，还有数学的特殊语言，各种名词、术语。

在生活中，数学语言处处存在。

“不管三七二十一”涉及乘法口诀，“三下二除五就把它解决了”则是算盘口诀。

再如“万无一失”，在中国语言里比喻“有绝对把握”，但是，这句成语可以联系“小概率事件”进行思考。

“十万有一失”在航天器的零件中也是不允许的。

此外，“指数爆炸”“直线上升”等等已经进入日常语言。

它们的含义可与事物的复杂性相联系（计算复杂性问题），正是所需要研究的。

“事业坐标”“人生轨迹”也已经是人们耳熟能详的词语。

六、内涵——数学与哲学

在数学的发展中，形成许多哲学的观点，有以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派。

（一）、逻辑主义

罗素在1903年出版的《数学的原理》中对于数学的本性发表了自己的见解。

他说：

“纯粹数学是所有形如‘p蕴涵q’的所有命题类，其中p和q都包含数目相同的一个或多个变元的命题，且p和q除了逻辑常项之外，不包含任何常项。

所谓逻辑常项是可由下面这些对象定义的概念：

蕴涵，一个项与它所属类的关系，如此这般的概念，关系的概念，以及象涉及上述形式一般命题概念的其他概念。

除此之外，数学使用一个不是它所考虑的命题组成部分的概念，即真假的概念。

”

这种看法是罗素自己最早发表的关于逻辑主义的论点。

这种看法在以前也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亚诺、怀特海等人表达过。

戴德金在1872年出版了《连续性及无理数》一文，在这篇文章中，他把有理数做为已知，进而分析连续性这个概念。

为了要彻底解决这个问题，必须考虑有理数乃至自然数产生的问题。

他认为应该建立在逻辑基础上，但没有实行。

（二）、直觉主义

直觉主义有着长远的历史，它植根于数学的构造性当中。

古代数学大多是算，只是在欧几里得几何学中逻辑才起一定作用。

到了十七世纪解析几何和微积分发明之后，计算的倾向大大超过了逻辑倾向。

十七、十八世纪的创造，并不考虑逻辑的严格，而只是醉心于计算。

现代直觉主义的奠基人是布劳威尔，布劳威尔是从哲学中得出自己观点的，基本的直觉是按照时间顺序出现的感觉，而这形成自然数的概念。

这倒不是新鲜的，他认为数学思维是头脑中的自由构造，与经验世界无关，只受基本数学直觉为基础的限制，在这方面他是不同于法国经验主义者的。

数学概念进入人脑是先于语言、逻辑和经验的，决定概念的正确性是直觉，而不是经验及逻辑。

这些充分暴露了他唯心主义和神秘主义的思想倾向。

布劳威尔认为数学直觉的世界和感觉的世界是互相对立的，日常的语言属于感觉世界，不属于数学。

数学独立于语言存在，而逻辑是从属于语言的，它不是揭露真理的工具，而是运用语言的手段。

正因为如此，数学中最主要的进展不是靠逻辑形式完美化而得到，而是靠基本理论本身的变革。

（三）、形式主义

一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特，但是希尔伯特自己并不自命为形式主义者。

希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家，他不仅是数学上一些分支的公认权威，而且恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都做出伟大贡献的全才。

更重要的是，他对于数学基础问题有着长时期的持久关注，他的思想在现代数学也占有统治地位。

关于数学中的存在，他认为不限于感觉经验的存在。

在物理世界中，他认为没有无穷小、无穷大和无穷集合，但是在数学理论的各个分支中却都有无穷集合，如自然数的集合，一个线段里所有点的集合等等。

这种不是经验能够直接验证的对象，他称之为“理想元素”。

引进理想元素的方法在数学中其实由来已久，比如代数中虚数的引进，几何中无穷点的引进，微积分中无穷小与无穷大的引进等等。

但是理想元素的引进必须不把矛盾带到原来的较窄狭的领域内。

由于理想元素不能靠直观经验来验证，只能靠逻辑来验证，因此合理性的唯一判据就是无矛盾性。

这种无矛盾性的真理观实际上是形式主义基本论点。

参考文献：

张景中.《数学与哲学》.中国少年儿童出版社

顾沛.《数学文化》.高等教育出版社

方延明.《数学文化》.清华大学出版社