学年中考数学一轮复习 第2课 整式与分解因式导学案doc.docx

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2019-2020学年中考数学一轮复习第2课整式与分解因式导学案

【考点梳理】：

1.幂的运算性质：

①同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即

（m、n为正整数）；②同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减，即

（a≠0，m、n为正整数，m>n）；③幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘，即

（n为正整数）；④零指数：

（a≠0）；⑤负整数指数：

（a≠0，n为正整数）；

2.整式的乘除法:

（1）几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.

（2）单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.

（3）多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.

（4）多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.

（5）平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，

即

；

（6）完全平方公式：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）

它们的积的2倍，即

3.分解因式：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．

4.分解因式的方法：

⑴提公团式法：

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

⑵运用公式法：

公式

；

5．分解因式的步骤：

分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．

思考与收获

6．分解因式时常见的思维误区：

⑴提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．

⑵提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉．

（3）分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

【思想方法】

数形结合

【考点一】：

列代数式与求代数式的值

【例题赏析】（2015•吉林，第2题2分）购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（　　）

A．（a+b）元B．3（a+b）元C．（3a+b）元D．（a+3b）元

考点：

列代数式．

分析：

求用买1个面包和2瓶饮料所用的钱数，用1个面包的总价+三瓶饮料的单价即可．

解答：

解：

买1个面包和3瓶饮料所用的钱数：

a+3b元；

故选D．

点评：

此题考查列代数式，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．

【考点二】：

整式的有关概念及加减

【例题赏析】

（1）（2015，广西柳州，9，3分）在下列单项式中，与2xy是同类项的是（　　）

A．2x2y2B．3yC．xyD．4x

考点：

同类项．

分析：

根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．

解答：

解：

与2xy是同类项的是xy．

故选C．

点评：

此题考查同类项，关键是根据同类项定义中的两个“相同”：

（1）所含字母相同；

（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．

（2）（2015，广西玉林，3，3分）下列运算中，正确的是（　　）

思考与收获

A．3a+2b=5abB．2a3+3a2=5a5C．3a2b﹣3ba2=0D．5a2﹣4a2=1

考点：

合并同类项．

分析：

先根据同类项的概念进行判断是否是同类项，然后根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变计算进行判断．

解答：

解：

3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；

2a3+和3a2不是同类项，不能合并，B错误；

3a2b﹣3ba2=0，C正确；

5a2﹣4a2=a2，D错误，

故选：

C．

点评：

本题主要考查的是同类项的概念和合并同类项得法则，掌握合并同类项得法则：

系数相加作为系数，字母和字母的指数不变是解题的关键．

【考点三】：

幂的运算

【例题赏析】（2015•甘南州第2题3分）计算﹣3a2×a3的结果为（　　）

A．﹣3a5B．3a6C．﹣3a6D．3a5

考点：

单项式乘单项式．.

分析：

利用单项式相乘的运算性质计算即可得到答案．

解答：

解：

﹣3a2×a3=﹣3a2+3=﹣3a5，故选A．

点评：

本题考查了单项式的乘法，属于基础题，比较简单，熟记单项式的乘法的法则是解题的关键．

【考点四】：

整式的乘法及乘法公式

【例题赏析】（2015，福建南平，18，分）化简：

（x+2）2+x（x﹣4）．

考点：

整式的混合运算．

分析：

直接利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则化简求出即可．

解答：

解：

原式=x2+4x+4+x2﹣4x

=2x2+4．

点评：

此题主要考查了整式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．

思考与收获

【考点五】：

整式的化简求值

【例题赏析】（2015•湖北十堰，第7题3分）.当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（　　）

A．﹣16B．﹣8C．8D．16

考点：

整式的混合运算—化简求值．

分析：

由x=1时，代数式ax+b+1的值是﹣2，求出a+b的值，将所得的值代入所求的代数式中进行计算即可得解．

解答：

解：

∵当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，

∴a+b+1=﹣2，

∴a+b=﹣3，

∴（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）=（﹣3﹣1）×（1+3）=﹣16．

故选：

A．

点评：

此题考查整式的化简求值，运用整体代入法是解决问题的关键．

【考点六】：

整式与几何拼图问题

【例题赏析】

（1）（2014·宁波中考）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是　　　　　.（用a，b的代数式表示）

解答:

设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，

则x+2y=a，x-2y=b，图②的大正方形中，

未被小正方形覆盖部分的面积是x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=ab.

答案：

ab

【考点七】：

因式分解的概念及提取公因式

思考与收获

【例题赏析】（2015•内蒙古赤峰9,3分）因式分解：

3a2﹣6a=　　．

考点：

因式分解-提公因式法．

分析：

直接提取公因式3a，进而分解因式即可．

解答：

解：

3a2﹣6a=3a（a﹣2）．

故答案为：

3a（a﹣2）．

点评：

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．

【考点八】：

运用公式法因式分解

【例题赏析】

（1）（2015•湖南张家界，第9题3分）因式分解：

x2﹣1=　　．

考点：

因式分解-运用公式法．

专题：

因式分解．

分析：

方程利用平方差公式分解即可．

解答：

解：

原式=（x+1）（x﹣1）．

故答案为：

（x+1）（x﹣1）．

点评：

此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

（2）（2015•丹东，第11题3分）分解因式：

3x2﹣12x+12=　　．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

专题：

计算题．

分析：

原式提取3后，利用完全平方公式分解即可．

解答：

解：

原式=3（x2﹣4x+4）=3（x﹣2）2，

故答案为：

3（x﹣2）2

点评：

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

【考点九】：

因式分解的应用

思考与收获

【例题赏析】（2015•山西,第5题3分）我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：

3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（　　）

A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想

考点：

解一元二次方程-因式分解法．

专题：

计算题．

分析：

上述解题过程利用了转化的数学思想．

解答：

解：

我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，

从而得到两个一元一次方程：

3x=0或x﹣2=0，

进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．

这种解法体现的数学思想是转化思想，

故选A．

点评：

此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

【真题专练】

1.（2015，广西钦州，3，3分）计算

的结果是（　　）

A．

B．

C．

D．a

2.（2015•广东茂名3，3分）下列各式计算正确的是（　　）

A．5a+3a=8a2B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．a3•a7=a10D．（a3）2=a7

3.2015•广东东莞6，3分）（﹣4x）2=（　　）

A．﹣8x2B．8x2C．﹣16x2D．16x2

4．（2015•甘南州第23题4分）已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2015=　　．

5.（2015福建龙岩12，3分）分解因式：

a2+2a=　　．

思考与收获

6.（2015福建龙岩13，3分）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π=　　．

7.（2015•内蒙古赤峰16,3分）“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花

摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个图形中小梅花的个数是　　．

8.（2015•黑龙江哈尔滨，第14题3分）（2015•哈尔滨）把多项式9a3﹣ab2因式分解的结果是　　．

9.（2015•青海，第2题4分）4x•（﹣2xy2）=　　；分解因式：

xy2﹣4x=　　．

10.（2015福建龙岩18,6分）先化简，再求值：

（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2，其中x=2

．

11.（2015•河北,第21题10分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：

（1）求所捂的二次三项式；

（2）若x=

+1，求所捂二次三项式的值．

思考与收获

12.（2013·宁波中考）7张如图1的长为a，宽为b（a>b）的小长

方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足　（　　）

A.a=bB.a=3b

C.a=bD.a=4b

【真题演练参考答案】

1.（2015，广西钦州，3，3分）计算

的结果是（　　）

A．

B．

C．

D．a

考点：

幂的乘方与积的乘方．

分析：

根据幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变指数相乘，即可求解．

解答：

解：

（a3）2=a3×2=a6．

故选B．

点评：

本题主要考查了幂的乘方法则，正确理解法则：

幂的乘方，底数不变指数相乘，是解题关键．

2.（2015•广东茂名3，3分）下列各式计算正确的是（　　）

A．5a+3a=8a2B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．a3•a7=a10D．（a3）2=a7

考点：

幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．

分析：

利用幂的运算性质、合并同类项及完全平方公式进行计算后即可确定正确的选项．

解答：

解：

A、5a+3a=8a，故错误；

B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；

C、a3•a7=a10，正确；

D、（a3）2=a6，故错误．

故选C．

点评：

本题考查了幂的运算性质、合并同类项及完全平方公式，解题的关键是能够了解有关幂的运算性质，难度不大．

3.2015•广东东莞6，3分）（﹣4x）2=（　　）

A．﹣8x2B．8x2C．﹣16x2D．16x2

考点：

幂的乘方与积的乘方．

专题：

计算题．

分析：

原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果．

解答：

解：

原式=16x2，

故选D．

点评：

此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（2015•甘南州第23题4分）已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2015=　2015　．

考点：

因式分解的应用．

分析：

首先根据a2﹣a﹣1=0得到a2﹣a=1，从而利用a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015代入求值即可．

解答：

解：

∵a2﹣a﹣1=0，∴a2﹣a=1，

∴a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015=a﹣a+2015=2015，

故答案为：

2015．

点评：

本题是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．

5.（2015福建龙岩12，3分）分解因式：

a2+2a=　a（a+2）　．

考点：

因式分解-提公因式法．

分析：

直接提公因式法：

观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．

解答：

解：

a2+2a=a（a+2）．

点评：

考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．

6.（2015福建龙岩13，3分）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π=　2π　．

考点：

代数式求值．

分析：

根据整体代入法解答即可．

解答：

解：

因为4a﹣2b=2π，

所以可得2a﹣b=π，

把2a﹣b=π代入2a﹣b+π=2π．

点评：

此题考查代数式求值，关键是根据整体代入法计算．

7.（2015•内蒙古赤峰16,3分）“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花

摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个图形中小梅花的个数是　（2n﹣1）（n+1）　．

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

第一个图形是由2个图形组成，第二个图形是由9个图形组成，第三个是由20个图形组成，找到规律则第n个的表达式能写出来．

解答：

解：

第一个图案是由2个

组成：

即为：

2=1×2；

第二个图案是由9个

组成：

即为：

9=3×3；

第3个图案是由5×4=20个

组成：

即为：

20=5×4；

第4个图案是由35个

组成：

即为：

35=7×5；

以此类推：

第n个图案

的个数：

（2n﹣1）（n+1）．

故答案为：

（2n﹣1）（n+1）．

点评：

本题考查图形的变化规律，观察得出“每一行和每一列的个数的关系”是解题的关键．

8.（2015•黑龙江哈尔滨，第14题3分）（2015•哈尔滨）把多项式9a3﹣ab2因式分解的结果是　a（3a+b）（3a﹣b）　．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

专题：

计算题．

分析：

原式提取a，再利用平方差公式分解即可．

解答：

解：

原式=a（9a2﹣b2）=a（3a+b）（3a﹣b），

故答案为：

a（3a+b）（3a﹣b）

点评：

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

9.（2015•青海，第2题4分）4x•（﹣2xy2）=　﹣8x2y2　；分解因式：

xy2﹣4x=　x（y+2）（y﹣2）　．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用；单项式乘单项式．

分析：

4x•（﹣2xy2）：

根据单项式与单项式相乘的法则，把系数相乘作为积的系数，相同的字母相乘作为积的因式，只在一个单项式中含有的字母也作为积的一个因式计算即可；xy2﹣4x：

只需先提得公因子x，然后再运用平方差公式展开即可

解答：

解：

4x•（﹣2xy2），

=4×（﹣2）•（x•x）•y2，

=﹣8x2y2．

xy2﹣4x=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2）．

故答案为：

﹣8x2y2，x（y+2）（y﹣2）．

点评：

本题考查了单项式与单项式的乘法，提公因式法与公式法的综合运用，关键是对平方差公式的掌握．

10.（2015福建龙岩18,6分）先化简，再求值：

（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2，其中x=2

．

考点：

整式的混合运算—化简求值．

分析：

先化简，再代入求值即可．

解答：

解：

（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2

=x2﹣1+2x﹣x2+x2﹣2x+1，

=x2，

把x=2

代入原式=（2

）2=12．

点评：

本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确的化简．

11.（2015•河北,第21题10分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：

（1）求所捂的二次三项式；

（2）若x=

+1，求所捂二次三项式的值．

考点：

整式的混合运算—化简求值．

专题：

计算题．

分析：

（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；

（2）把x的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

（1）设所捂的二次三项式为A，

根据题意得：

A=x2﹣5x+1+3x=x2﹣2x+1；

（2）当x=

+1时，原式=7+2

﹣2

﹣2+1=6．

点评：

此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12.（2013·宁波中考）7张如图1的长为a，宽为b（a>b）的小长

方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足　（　　）

A.a=bB.a=3b

C.a=bD.a=4b

解析:

选B.左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，

∵AD=BC，AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，

∴AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a，

∴阴影部分面积之差

S=AE·AF-PC·CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab，

则3b-a=0，即a=3b，故选B.