中考数学《圆》总复习典型例题和专题训练.docx
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中考数学《圆》总复习典型例题和专题训练
AA′A′A″
AA′
中考数学
圆的总复习
知识结构图
丰富的情境（数学的和现实的）
圆
直线和圆的位置关系
圆和圆的
位置关系
概
念
对
称
性
圆周角与
圆心角的
关系
弧长、扇形面积、圆锥的侧面积
切
线
的
性
质
切
线
的
判
定
切
线
的
作
图
垂径定理
圆心角、弧、弦之间关系定理
【典型例题】
例1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为果保留π）。
答案：
8π
cm2（结
例2.一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为。
答案：
2
例3.如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线l
上。
依次以B、C′、D″
为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°，这样点A走过的曲线依次为、
、
A″A″
，其中
交CD于点P。
AA′
3604
30π3π3
2
22
（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；
（2）求的长；
（3）求图中的
（4）求图中的
部分的面积S；
部分的面积T。
解：
（1）A′C′2215cm
90π
×2πcm
（2）AA′＝180。
90π（5）25
Sπcm2
（3）。
（4）连接BP，
在Rt△BCP中，BC＝1，BP＝2，
∴∠BPC30°，CP3.∴∠ABP30°.
∴TS
扇形ABP
S
△PBC
×2（）cm2.360232
例4.如下图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝。
过D、E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F。
A
G
D
P
E
H
M
Q
FB
OC
N
（1）求tan∠ADE的值；
（2）点G是线段AD上的一个动点（不运动至点A、D），GH⊥DE，垂足为H，设DG为x，四边形AEHG的面积为y，请求出y与x之间的函数关系式；
AE222
2
2
AE221AD822
22
DH·GH·x·
x·x
2
11
22
2
x28
3
（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线
PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。
问满足条件的⊙O有几个？
并求出其中一个圆的半径。
解：
（1）∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝∴tan∠ADE=
AD84
22
（2）
∵DE
AD2AE28（22）62
，
∴sin∠ADE，cos∠ADE
ED623ED623
在Rt△DGH中，∵GD＝x，
GHDGsinADE
1
3
x
∴DH=DG·cos∠ADE=x
3
，
∴S
∴S
△DGH
△AED
11221222339
AD·AE×8×2282
∴yS
△AED
－S
△DGH
8
2
－x2
9
即y与x之间的函数关系式是
y
2
9
2
。
（3）满足条件的⊙O有4个。
以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下：
∵AD∥MN，
∴△AED∽△BEF。
∴∠PFN＝∠EDA。
1
∴sin∠PEN＝sin∠EDA＝。
AD2
FB1
OIr1
13
∵AE＝2BE,
∴△AED与△BEF的相似比为2∶1。
，FB4
∴。
过点O作OI⊥PQ，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r。
∵sin∠PFN=FO4r3
，
∴r＝1。
（满足条件的⊙O还有：
⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6）
例5.已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系。
有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动。
（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？
如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由。
（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值。
解：
（1）CD与⊙O相切。
因为A、D、O在一直线上，∠ADC＝90°，
所以∠CDO＝90°，所以CD是⊙O的切线。
CD与⊙O相切时，有两种情况：
1
2
D
①切点在第二象限时（如图①），
设正方形ABCD的边长为a，则a
2
＋（a＋1）2
＝13.
解得a＝2，或a＝－3（舍去）。
过点D作DE⊥OB于E，
则Rt△ODE∽Rt△OBA，
所以
OD
OB
DE
BA
OE
OA
，所以DE
213
13
。
OE
313
13
，所以点D的坐标是（
313213
，
1313
），
所以OD所在直线对应的函数表达式为
yx
3
。
图①
②切点在第四象限时（如图②），
设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）2＝13，解得b＝－2（舍去），或b＝3。
过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，
图②
所以
ODOFDF2333，所以OF，DF
OBOABA1313
所以点2的坐标是
（
213313
，）
1313
所以OD所在直线对应的函数表达式为
3
yx
2
AC⊥OE
2
2
（2）如图③，过点D作DGOB
图③
于G，连接BD、OD，则
BD2BG2DG2（BOOG）2OD2OG
2
（13x）
2
1x
2
14213x
所以
SAB
2
1
BD
2
2
713x
。
因为－1≤x≤1，所以S的最大值为713，S的最小值为713。
例6.如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB
＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm。
半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，
点D、E始终在直线BC上。
设运动时间为t（s），当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm。
A
D
O→
EC
B
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
解：
（1）①如图1，当点E与点C重合时，，OC＝OE＝6cm，所以AC与半圆
t1（s）
O所在的圆相切。
此时点O运动了2cm，所求运动时间为：
。
8
32
D
A
OC（E）
图1
B
②如图2，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F。
在Rt△FOB中，∠FBO＝30°，OB＝12cm，则OF＝6cm，即OF等于半圆O的半径，
所以AB与半圆O所在的圆相切。
此时点O运动了8cm，所求运动时间为
t4（s）2
。
图
2
③如图3，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC＝OD＝6cm，所以AC与半圆O
所在的圆相切，此时点O运动了14cm，所求运动时间为：
t
14
2
7（s）
。
图
3
④如图4，当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q。
在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，
则OQ＝6cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，
所以，直线AB与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了32cm，所求运动时间为：
t16（s）2
。
因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与
AB所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与BC所在直线始终相交。
所以只有当t为1s，4s，7s，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切。
图4
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与图3所示的两种情形。
①如图2，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：
S
扇形EOM
1
×629（cm2）4
。
②如图3，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H。
则PH＝BH。
在Rt△OBH中。
∠OBH＝30°，OB＝6cm，则OH＝3cm，
BH33cm，BP63cm
S
POB
1
×63×393（cm2
2
）
，
又因为
DOP2DBP60°
，
所以
S
扇形DOP
1
×626（cm2）6
。
所求重叠部分面积为：
S
POB
S
扇形DOP
（936
）（cm
2）
。
S
1
1
1
1
【专题试题】
一、选择题
1.下列命题中的真命题是（）
A.三点确定一个圆
C.圆周角等于圆心角的一半
B.平分弦的直径垂直弦
D.在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等
2.如图，⊙O的直径为10厘米，弦AB的长为6cm，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（）
A.
C.
3OM5
3OM5
B.
D.
4OM5
4OM5
O
AMB
3.如图，ΔABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC＝2，⊙A与BC相切，则图中阴影部分的面积为（）
1
A.2B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5
1
VBVA
4.如图，点B在圆锥母线VA上，且3，过点B作平行于底面的平面截得一个小
圆锥，若小圆锥的侧面积为1，原圆锥的侧面积为S，则下列判断中正确的是（）
A.
1
SS
3
B.
1
SS
4
C.
1
SS
6
D.
1
SS
9
OO
V
B
A
5.一机械零件的横截面如图所示，作⊙1的弦AB与⊙2相切，且AB//＝10cm，则下列说法正确的是（）
OO
12
，如果AB
A.阴影面积为
100
cm
2
B.阴影面积为
25cm
2
C.阴影面积为
50cm
2
D.因缺少数据，阴影面积无法计算
二、填空题：
1.在ΔABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点O是ΔABC的外心，现在以O为圆心，分别以2、2.5、3、为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是_____________．
2.如图在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为P，∠BAD＝30°，则∠AOC的度数是________度．
A
O
C
P
B
D
3.在RtΔABC，斜边AB＝13cm，BC＝12cm，以AB的中点O为圆心，2.5cm为半径画圆，则直线BC和⊙O的位置关系是________________．
4.把一个半径为12厘米的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一
DA
、弧
、弧
个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是___________．
5.如图，四边形ABCD是正方形，曲线
DABCD1111
叫做“正方形的渐开线”，其中弧1、
弧
ABBCCD111111
…的圆心依次按A、B、C、D循环，它依次连接，取AB＝1，则
曲线
DABCD
1111
的长是___________．
三、解答题：
1.已知：
如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD，请你仔细观察后回答：
图中共有几个等腰三角形？
把它们分别写出来，并说明你的理由．
2.如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为弧BF的中点，BF交AD
于E，且
BEEF32
，AD＝6，
（1）求证：
AE＝BE；
（2）求DE的长；
（3）求BD的长．
3.如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：
CD＝CE；
（1）若将图（a）中的半径OB所在的直线向上平移交OA于F，交⊙O于B'，其他条件不变（如图（b）），那么上述结论CD＝CE还成立吗？
为什么？
A
A
E
BCF
EB'C
O
O
D
（a）（b）
D
（2）若将图（a）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延
长线与CF的交点，其他条件不变（如图（c）），那么上述结论CD＝CE还成立吗？
为什么？
4.如图，⊙O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上运动（点O、B除外），CP的延长线交⊙O于点D，在OB的延长线上取点E，使ED＝EP．
（1）求证：
ED是⊙O的切线；
（2）当OC＝2，ED＝2时，求∠E的正切值tanE和图中阴影部分的面积．
22
一、
1.D
二、
【参考答案】
2.B3.C4.D5.B
1.点c在圆外，点c在圆上，点c在圆内2.120°
3.相切
4.96π
5.5π
三、
cm
2
1.解：
图中有两个等腰三角形，分别是ΔOAB、ΔOCD．
理由：
（1）∵OA＝OB，∴ΔOAB是等腰三角形．
（2）∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵AC＝BD，∴ΔOAC≌ΔOBD．∴OC＝OD．∴ΔOCD是等腰三角形．
2.
（1）连接AF，因A为弧BF的中点，∴∠ABE＝∠AFB，又∠AFB＝∠ACB，∴∠ABE
＝∠ACB．∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，AH⊥BC，∴∠BAE＝∠ACB，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE．
（2）设DE＝x（x>0），由AD＝6，BE×EF＝32，AE×EH＝BE×EF，有32，由此解得x＝2，即DE的长为2．
（6x）（6x）
＝
（3）由
（1）、
（2）有：
BE＝AE＝6－2＝4．在RtΔBDE中，
BD4223
．
3.
（1）证明：
连接OD，则OD⊥CD，∴∠CDE＋∠ODA＝90°．在RtΔAOE中，∠AEO＋∠A＝90°，
在⊙O中，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠CDE＝∠AEO
又∵∠AEO＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE
A
E
BC
O
D
（2）CE＝CD仍然成立．
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动，∴CF⊥AO于F
在RtΔAFE中，∠A＋∠AEF＝90°．
连接OD，有∠ODA＋∠CDE＝90°，且OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠AEF＝∠CDE，
又∠AEF＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE．
A
F
EBC
O
D
（3）CE＝CD仍然成立．
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动，∴AO⊥CF
延长OA交CF于G，
在RtΔAEG中，∠AEG＋∠GAE＝90°．
连接OD，有∠CDA＋∠ODA＝90°，且OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝∠GAE∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE
2
G
4.
（1）证明：
∵ED＝EP，∴∠EPD＝∠EDP．
又∵∠EPD＝∠CPO，∴∠CPO＝∠EDP．
在ΔOCD中，∠OCD＝∠ODC，∴∠COP＝∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．
ED是⊙O的切线．
（2）在RtΔEOD中，∵OC＝OD＝ED＝2，
∴
ODtanE1
ED
．
∴ΔEOD是等腰直角三角形．
SS
阴
EOD
S
扇
ODDE4522
23602
．
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