二项式定理知识点总结.docx
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二项式定理知识点总结
二项式定理
一、二项式定理：
ab
nCaCabCabCb
0n1n1knkknn
nnnn
（nN）等号右边的多项式叫做
n
ab的二项展开式，其中各项的系数
k
C（k0,1,2,3n）叫做二项式系数。
n
对二项式定理的理解：
（1）二项展开式有n1项
（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从
第一项开始，次数由0逐项加1到n
（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同
的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设a1，bx，则
nCxCxCxCx
1x（nN）
nnnn
0n1knknn
（4）要注意二项式定理的双向功能：
一方面可将二项式
n
ab展开，得到一个多项式；
n
另一方面，也可将展开式合并成二项式ab
二、二项展开式的通项：
knkk
Tk1Cab
n
二项展开式的通项
knkk
Tk1Cab（k0,1,2,3n）是二项展开式的第k1项，它体现了
n
二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特
定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广
泛应用
对通项
knkk
Tk1Cab（k0,1,2,3n）的理解：
n
（1）字母b的次数和组合数的上标相同
（2）a与b的次数之和为n
（3）在通项公式中共含有
a,b,n,k,Tk这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素
1
例1．
132933等于（）
n1n
CnCCC
nnn
A．
n
4B。
n
4
n
34C。
1
3
D.
n
4
3
1
例2．
（1）求
7
（12x）的展开式的第四项的系数；
（2）求
1
9
（x）
x
的展开式中
3
x的系数及二项式系数
三、二项展开式系数的性质：
①对称性：
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
0n1n12n2knk
CnC,CC,CC,CC
nnnnnnn
②增减性与最大值：
在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
nk
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：
2
CnC；
maxn
n1n1k
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即22
CnCC
nn
max
③二项展开式的各系数的和等于
n
2，令a1，b1即
01nnn
CnCC（11）2
nn
；
④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a1，b1即
02132n
CnCCC
nnn
1
例题：
写出
11
（xy）的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）项的系数绝对值最大的项；
（3）项的系数最大的项和系数最小的项；
（4）二项式系数的和；
（5）各项系数的和
四、多项式的展开式及展开式中的特定项
（1）求多项式
n
（a1a2a）的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用
n
二项式定理展开。
例题：
求多项式
1
22）3
（x的展开式
2
x
（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通
项再分析。
例题：
求
（1x）x的展开式中2
（1）5
2
（1）5
3
x的系数
例题：
（1）如果在
x
n
1
4
2
x
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的
有理项。
（2）求
3
1
x2的展开式的常数项。
x
【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k
五、展开式的系数和
求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定
例题：
已知
727
（12x）aaxaxax，求：
0127
（1）
aaa；
（2）a1a3a5a7；（3）|a0||a1||a7|.
127
六、二项式定理的应用：
1、二项式定理还应用与以下几方面：
（1）进行近似计算
（2）证明某些整除性问题或求余数
n23,
（3）证明有关的等式和不等式。
如证明：
2nnnN取
n
n11
2的展开式
中的四项即可。
2、各种问题的常用处理方法
（1）近似计算的处理方法
当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求
n
（1x）的近似值。
例题：
6
（1.05）的计算结果精确到0.01的近似值是（）
A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34
（2）整除性问题或求余数的处理方法
①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式
②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，
再利用二项式定理展开，这里的k通常为1，若k为其他数，则需对幂的底数k再次构造
和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了
③要注意余数的范围，对给定的整数a,b（b0），有确定的一对整数q和r，满足abqr，
其中b为除数，r为余数，r0,b，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，
要注意转换成正数
例题：
求
63
2013除以7所得的余数
nC1n1C2n2Cn1被9除得的余数是（）例题：
若n为奇数，则7777
nnn
A．0B。
2C。
7D.8
1
n
例题：
当nN且n>1，求证）3
2（1
n
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定
综合测试
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．在
10
x的展开式中，
3
6
x的系数为（）
A．6
27B．
C
10
4
27C．
C
10
6
9CD．
10
4
9C
10
2．已知ab0,b4a，
n
ab的展开式按a的降幂排列，其中第n项与第n+1项相
等，那么正整数n等于（）
A．4B．9C．10D．11
3．已知（
1
n
a）
32
a
的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（）
A．10B．11C．12D．13
10被8除的余数是（）
4．53
A．1B．2C．3D．7
6的计算结果精确到0.01的近似值是（）
5．（1.05）
A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34
6．二项式
n
1
2x（nN）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开
4x
式有理项的项数是（）
A．1B．2C．3D．4
11
32
7．设（3x+x）
n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开
式的x
2项的系数是（）
A．
1B．1C．2D．3
2
8．在
（1xx的展开式中2）
2）
6
5
x的系数为（）
A．4B．5C．6D．7
9．
n
（3151展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是
x）
x
（）
A．330B．462C．680D．790
10．
（x1）x的展开式中，4
（1）
4
（1）
5
4
x的系数为（）
A．－40B．10C．40D．45
n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为
11．二项式（1+sinx）
5
2
，
则x在[0，2π]内的值为（）
525
A．或B．D．
或C．或
或
63663336
12．在（1+x）
5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中,含x4项的系数是等差数列an=3n－5的（）
A．第2项B．第11项C．第20项D．第24项
二、填空题：
本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.
13．
1
2）9
（x展开式中
2x
9
x的系数是.
14．若
4
4
2x3aaxax，则
014
a的值为__________.
22
0aaaa
2413
15．若
32n
（xx）的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是.
16．对于二项式（1-x）
1999，有下列四个命题：
1000999
①展开式中T1000=－C1999x
；
②展开式中非常数项的系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
1999
除以2000的余数是1．
④当x=2000时，（1-x）
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：
本大题满分74分.
17．（12分）若
6
（
1
n
x）
6
x
展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（１）求n的值；
（２）此展开式中是否有常数项，为什么？
18．（12分）已知（
1
4
n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项
2x）
式系数最大的项的系数．
19．（12分）是否存在等差数列an，使
012nn
a1CaCaCaCn2对任意
n2n3nn1n
*
n都成立？
若存在，求出数列an的通项公式；若不存在，请说明理由．
N
20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占
有量比现在提高10%。
如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少
亩（精确到1亩）？
21.（12分）设f（x）=（1+x）
m+（1+x）n（m、nN），若其展开式中，关于x的一次项系数为11，
试问：
m、n取何值时，f（x）的展开式中含x
2项的系数取最小值，并求出这个最小值.
m0
x（x1）（xm1）
x，其中x∈R，m是正整数，且C1，这是22．（14分）规定
C
x
m!
组合数
m
C（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
n
（1）求
3
C的值；
15
3
x
C
（2）设x>０，当x为何值时，12
（Cx
）
取得最小值？
（3）组合数的两个性质；
①
mnm
CnC.②
n
mm1m
CnCC1
nn
.
是否都能推广到
m
C（x∈R，m是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式
x
并给出证明；若不能，则说明理由.
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