二元一次方程组知识点整理典型例题练习总结.docx
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二元一次方程组知识点整理典型例题练习总结
二元一次方程组（拓展与提优）
1、二兀一次方程：
含有两个未知数（x和y）,并且含有未知数①项①次数都是1，像这样①整式方程叫做二元一次方程,
它①一般形式是axbyc（a0,b°）.
例1、若方程（2m-6）x|n|-1+（n+2）ym2-8=1是关于x、y①二元一次方程，求m、n①值.
2、二元一次方程①解：
一般地，能够使二元一次方程①左右两边相等①两个未知数①值，叫做二元一次方程①解.【二元一次方程有无数组解】
3、二元一次方程组：
含有两个未知数（x和y）,并且含有未知数①项①次数都是1,将这样①两个或几个一次方
程合起来组成①方程组叫做二元一次方程组•
4、二元一次方程组①解：
二元一次方程组中①几个方程①公共解，叫做二元一次方程组①解•【二元一次方程组解
xy1xy1xy1xy1
例2、已知
x2
y1
O情况：
①无解，例如：
xy6,2x2y6;②有且只有一组解，例如：
2xy2；③有无数组解，例如：
2x2y2】
是关于x、yO二元一次方程组2x+（m-1）y=2
nx+y=1
o解，试求（m+r）2016o值
例3、方程x3y10在正整数范围内有哪几组解?
5、二元一次方程组O解法：
代入消元法和加减消元法。
例4、将方程102（3y）3（2x）变形，用含有xO代数式表示y.
例5、用适当O方法解二元一次方程组
x+1
+
32
例6、若方程组axy1有无数组解，则a、bO值分别为（）
6xby2
A.a=6,b=-1
B.a2,b1C.a=3,b=-2D.a2,b2
6、三元一次方程组及其解法：
方程组中一共含有三个未知数，含未知数①项①次数都是1,并且方程组中一共有
两个或两个以上①方程，这样①方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组①关键也是“消元”：
三元t二
元t
元
x
yz
6
例10、
3x
求解方程组
yz
2
2x
3yz
11
7、二元
一次方程与一次函数关系：
例11、一次函数y=kx+2①图像总过定点，二元一次方程kx-y=-2有无数组解，其中必有一
个解为。
例12、无论m为何值，直线y=x+2m与y=-x+4①交点不可能在第象限。
8、二元一次方程组应用题
（1）:
列二元一次方程组解应用题①一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：
1•审题：
弄清题意及题目中①数量关系；
2•设未知数：
可直接设元，也可间接设元；
3•找出题目中①等量关系；
4•列出方程组：
根据题目中能表示全部含义①等量关系列出方程，并组成方程组;
5•解所列①方程组，并检验解①正确性；
6•写出答案•
（2）:
列方程组解应用题中常用①基本等量关系
两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中①速度和水流速度。
2•工程问题：
工作效率X工作时间=工作量.
组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店应各
付多少元？
（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
3•商品销售利润问题:
利润率=售忙字介X130%
（1）利润=售价—成本（进价）;
（2）曲介；（3）利润=成本（进价）X利润率;
标价=成本（进价）X（1+利润率）；（5）实际售价=标价X打折率；
注意：
“商品利润=售价-成本”中①右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。
打几折就是按标价①十分
之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价①十分之八即五分之四或者百分之八十）
后多花460元，打折后买10件甲商品和10件乙商品共用1090元，求甲、乙两种商品各打几折.
4.储蓄问题：
（1）基本概念
1本金：
顾客存入银行①钱叫做本金。
②利息：
银行付给顾客①酬金叫做利息。
③本息和：
本金与利息①和叫做本息和。
④期数：
存入银行①时间叫做期数。
⑤利率：
每个期数内①利息与本金①比叫做利率。
⑥利息税：
利息①税款叫做利息税。
（2）基本关系式
1利息=本金X利率X期数
2本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X（1+利率X期数）
3利息税=利息X利息税率=本金X利率X期数X利息税率。
月利率宰利率K丄
4税后利息=利息X（1—利息税率）⑤年利率=月利率X12⑥1-。
注意：
免税利息=利息
小明①妈妈为了准备小明一年后上高中①费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为
2.25%①教育储蓄，另一种是年利率为2.25%①一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？
（利息所得税=利息金额X20%教育储蓄没有利息所得税）
5.配套问题：
解这类问题①基本等量关系是：
总量各部分之间①比例=每一套各部分之间①比例。
现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多
少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整①盒子？
6.增长率问题：
解这类问题①基本等量关系式是：
原量X（1+增长率）=增长后①量；
原量X（1—减少率）=减少后①量.
某工厂去年①利润（总产值一总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%总支出比去年减少了
10%今年①利润为780万元，去年①总产值、总支出各是多少万元？
7•优惠与团购:
购票人数
1—50人
51—100人
100人以上
每人门票价
12元
10元
8元
景点①门票价格规定如下表
某校八年
（一）、
（二）两班共100多人去游览该景点，其中
（一）班不足50人，
（二）班多于50人，如果两
班都以班为单位分别购票，则一共付款1126元.如果以团体购票，则需要付费824元，问：
（1）两班各有多少名学生？
（2）如果你是学校负责人，你将如何购票？
你①购票方法可节省多少钱？
&数字问题：
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当n为整数时，奇数可
表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数①基本等量关系式为：
两位数=十位数字＞10+个位数字
Q
一个两位数，减去它①各位数字之和①3倍，结果是23;这个两位数除以它①各位数字之和，商是5,余数
是1,这个两位数是多少？
甲，乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0,所以得和是2342，乙将同一个加数后面少写
了一个0,所得和为65，则原来两个数为•
9.浓度问题：
溶液质量X浓度=溶质质量.
CD现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液①酒精与水①比是3:
7,乙种酒精溶液①酒精与水①比是4：
1，今要得到
酒精与水①比为3:
2①酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
10•几何问题：
解决这类问题①基本关系式有关几何图形①性质、周长、面积等计算公式
小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示。
根据图中①数据（单位：
m）
解答下列问题:
（1）写出用含x、y①代数式表示①地面总面积;
（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2,且地面总面积是卫生间面积①15倍，铺1m2地砖①平均费用为
80元，求铺地砖①总费用为多少元？
11.年龄问题:
解决这类问题①关键是抓住两人年龄①增长数是相等，两人①年龄差是永远不会变①
4岁”，乙对甲说“当我是你现在①年龄时你将61岁”问甲乙现在
①年龄各是多少
12.优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。
需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络①使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
注意：
方案选择题①题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。
某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机•已知厂家生产三种不同型号①电视机，出厂价分别为：
甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.
（1）若商场同时购进其中两种不同型号①电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场①进货方案.
（2）若商场每销售一台甲、乙、丙电视机可分别获利150元、200元、250元，在以上①方案中，为使获利最
多，你选择哪种进货方案？
课堂小测试
1、若x2是方程组
y3
2x3m1①解，求mn勿直.
nxmy5
4x
2、二兀一次方程组
kx
3y7
（k1）y
3、若关于
X,y①二兀一次方程组
4、右
x,y①值相等，求k.
3
3是关于x、y①二元一次方程
2
B.4
A.
5、已知在方程3x5y
C.4.5
2中，若用含有
2ab1a
7、右3xy与5xy
2b1
是同类项，则
5k
9k咖也是二元一次方程
3xay0①一个（组）解，则
D.6
x①代数式表示y，贝Uy
8、小花在家做家庭作业时，发现练习册上一道解方程组①题目被墨水污染
内容，她着急地翻开书后面①答案，这道题目①解是
2x+3y=6①解，求k①值。
a①值为（）
，用含有y①代数式表示x，则
3x2y
5xy
X2，聪明①你能够帮她补上（
y1
）表示被污染①
）0内容吗?
第五章综合提优测评卷
（时间，60分钟
満分"00分〉
第1卷（选择題共20分）
给岀下列结论;
一、选择11（*福包括10小小&2分•拱20分》
1.下列方稈组中•不是二元一次方程tfl的是（）•
3x-2y-0,tr—l=y
产+厂5.
ly+«=3
D.广”
ly—0
Q）｛；［］］是方程组的*h
2当a■一2时.工,$的值互为相反数；
3当a-1时•方程级的斛也总方程l-u的解!
4若x:
W4・
只中正騙的是（）.
才=8・
>-2
2.一元一次方程组
x+y—10t2x—yI4"0
D.
的解砂
14
16厂可x-7t
厂3
3.已知则“+b零于（>.
l3a+%・8.
A.3K|
a2n1
4.巳知是一元一次方稈组「e］的解，则2”
ly・l・Inx-my—I
一刃的算术半方根为（）.
A.士2
a4z
Q2D4
5.李明同学自行车上学，中途因道路施工步行一段路・刊学校共用时15分钟.ftwa行车的平均速度趕250米/分钟•步行的平均連廈是80米/分钟•他家离学牧的距离是2900米.如果他骑车和步行的时间分别为丿T分紳•列出的方丹是（）.
A.；卄厂£B（卄，T5・
1250.^=2900W卄250严2900
［卄尸十，厂+严15,
1^250-2900'1250x4-80,-2900
6.艾于的方强!
'f的解是則*-”11x4my—n［y~1・
的值是（）.
A.5R3
C.2D.1
7.为3保信息安全•侑克需加密传綸•发送方山明文f滋文
（加密）•接收方由密文-明文（解密几已知加密规则为:
明文sb心d对应密文a+26・26+“2c-M,4d・例如•明文1.2.3.4对应密文5,7,1836.当接收方收到密文】4・9,23,28时，则解密碍到的明文为（）•
A.7t6,l>4R6.4.1.7
C.4,6丄7Dl164.7
8.巳知关于工*的方Wffl：
J^3，X~4s其中-3
\j［—y=3a.
人QXZ）
k（ZX3J
lxd9.推艸為速公烙两昌到成都全长420干米•一辆小汽车和一
瀚客车同时从西吕、成都两尴相向开出•经过2.5小时相遇•相遇时•小汽车比客车多行驶70千米•设小汽车和客车的平均速度分M为』千米/小时和y千米/小时•則下
列方用组正《1的）.
Ix+>=7C~70>
人（2・5j+Z5y*420乂（2.5x+2.5>=420
.（才+厂70・°（2.5x+2.5y™420,
J12.5x-2.5y=42O'（2.5「2.5y・70
10•成人票毎张70元•儿童瑕每张35元.小明买20张门祭共花了1225元，设只中冇x张成人fby张儿董崇•根据題意•下列方程组正确的是〈）•
产+，=20・严+>=20・
35』+7Cy・l225〔70*35y・】225
严+y・1225・（・r+y=1225.
°（7Or+35y=20*（35x4-70^=20
第［］卷（非选择题共80分）
二、填空■（水总包括10小题•辛小赠3分•头30分》
11.已知方程""+3"^=176-个二元一次方收•则
12
13.
14.
16.
m=•刃■.
若｛乏:
则二_・
请写出一个二元一次方程组_|x—2*
!
>■—1.
若F为实帆且橋足lx-3+%/?
二3—0,増（亍）
的偵#
以方程组
•使它的解是
：
01<
尸"+'二的解为坐标的点（ay）件第
象限.
若实数满足|力一】|+/・0・则』的值为
17.力程组〔:
V：
的解为•
［21>—厂6
18.甲种电影聖毎张20元•乙种电老栗毎张L5元.若购买
甲、乙两种电形祭共4U张•恰好用夫700元•则甲种电影祭买了张.
19.如图•为了测空甲、乙购胖物品单个的质摄•山于不能分开•于足把它们混合放在天平I：
.请根据如图所示的悄
况•计算岀甲■乙两种物品单个的质fit分别是___IIOg令、亠,沃且叫、产T：
A1
<*19■）
20.三个同学对问题編若方楼组的解是1血工十Gy・c
22.体育文化用品商店购进篮球和样球共20个•进价和售价如衣•全部销仔完后共获利润260元.
董球
抹球
进价（元/个）
80
50
售价（元/个）
95
60
（】）购进借球和排球各多少个？
（2）餉售6个排球的利润与销售儿个篮球的利润相尊?
的解•”捉出存自
工・3・丿仙才+弘1严5".
&口+2^，=5“
的想法•屮说广这个吆目好像条件不够•不能求解S乙
说芒它们的系数有一定的规律•可以试试S丙说广能不施把第一个方程组的两个方程的商边都除以5•通过换元替代的方法来解答”.参考他们的讨论•你认为这个题
目的解应该是三.解答It（第26題10分•其余毎题8分•其50分）
21.
（1）M方程组
X—y—8>
3x+y=12；
23.我国是一个滚水资浪严蛋缺乏的国家•有关数据显示.中国人均淡水资源占有■仅为莫同人均瀝水资源占有匾的+，中、美两国人均滦水资煎占有駅之和为13800问中、美两国人均漩水资源占冇fit备为多少
（单位E?
）?
t2x+3y-rr=6t
«3）解方程fflx—y+2x——!
•
r—5.
24.小明的妈妈庄菜市场买回3斤夢卜.2斤排骨•准备做翦卜排骨汤.
妈妈广今天买这网样菜共花了45元，上月买同重星的这两样菜只要36元J
爸爸广报址上说了梦卜的单价上涨50%,排骨单价上涨20%「
小期:
“爸爸、妈妈•我想知道今天买的事卜和排骨的型价分别是多少兀
请你通过列方程（俎）求解这天萝卜、排讨的单价（单位,元/斤）.
26.今年的全国助残日这天•臬单位的育年志昆者到距单位6千米的福利院豔加•爱心摘肋活动”•一部分人步行•另一部分骑自行车•他们沿相同的路线前往•如图所示•厶•h分别丧示步行和骑车的人前往目的地所走的路程y（千*）随时间工（分钟）变化的甬数图象•根据图象•解善下列问題：
（1）分别求出A•厶的融数表达式；
（2）求转车的人用多长时间追上步行的人.
25.孔乙两人从同一地点出发•同向而行•甲乘仁乙步行.如果乙先走20千米•那么甲用】小时能追上乙『如果乙先走1小时•那么甲只用15分钟就能追上乙，求甲■乙两人的速度・
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