行列式定义性质与计算.ppt

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2013-2014第二学期,线性代数,任课教师：

时彬彬,部门：

信息学院数学系,办公室：

文理大楼718,课程讨论群：

216342152,E-mail:

电话:

8242504,数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。

大体来说，有三大类数学构成了整个数学的本体与核心：

在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科，如代数几何学，拓扑学、测度论、金融数学，生物数学等。

数学的研究范畴,研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分属于几何学的范畴；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范畴.,“代数”（Algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔花拉子米（al-Khowrizm，约780850）的著作还原与对消的科学，还原“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，英文译作“algebra”,古希腊数学家丢番图（Diophantus）用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后写了一本数学巨著算术（Arithmetica）。

其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想，史称“代数学之父”（Fatherofalgebra）。

“代数”一词的由来,1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。

后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的代数学，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：

代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。

代数学发展至今，包含了算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数（近世代数）五个部分。

线性（linear）：

指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶（偏）导数为常数的函数；非线性（non-linear）:

则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

线性代数是以讨论线性方程组的解为基础，研究矩阵理论，以及与矩阵相结合的有限维向量空间及其线性变换的一门数学课程。

Q:

什么是线性代数？

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。

在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。

这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。

这就是实数向量空间的第一个例子。

线性代数是在十九世纪首先由英国的犹太人西尔维斯特和凯来开始研究的，后来由美国的皮尔斯父子和狄克生等人发扬光大。

线性代数虽然是近世代数的一个分支，但在代数的各个领域中就其应用的广泛性而言是第一的，尤其是在工程技术方面已成为不可缺少的工具。

序言,线性代数的研究背景求解线性方程组或许是数学问题中最重要的问题。

超过75%的科学研究和工程应用中的数学问题，在某个阶段都涉及求解方程组。

利用新的数学方法，通常可以将较为复杂的数学问题化为线性方程组。

广泛应用于商业、经济学、社会学、统计学、遗传学、电子学、工程学以及物理学等领域。

因此，本课程从讨论线性方程组开始。

序言,线性代数是从线性方程组论、行列式论和矩阵论中产生的，它是近世代数的一个分支。

阿贝尔的一生是不幸的。

他在当时所写的数学论文都没有得到老一辈数学家们的重视。

如：

他曾五次将一篇“五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的高斯，但都没有得到回音。

由于他的不断出外求学，致使经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡挪威。

没过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。

就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大学聘请为数学教授。

序言,近世代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科，主要研究各种代数运算。

由两个不得志的青年所创建的，一个叫阿贝尔，一个叫伽罗瓦。

线性代数是从线性方程组论、行列式论和矩阵论中产生的，它是近世代数的一个分支。

序言,伽罗瓦的一生充满忧伤和苦恼，景况比阿贝尔还要差。

他在事业上不断受挫，他上交给科学院的论文，没有得到当时时任科学院院长的数学家柯西的及时评价，最后连手稿都丢失。

最后一次甚至得到数学家泊松的草率的评语“一个不可理解的”。

他于21岁在一次决斗中死去。

近世代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科，主要研究各种代数运算。

由两个不得志的青年所创建的，一个叫阿贝尔，一个叫伽罗瓦。

一、研究对象,二、核心方法,下页,以讨论线性方程组的解为基础，研究线性空间的结构、线性变换的形式.,线性代数研究对象与逻辑结构概述,通过初等变换，将方程组化为最简形式的同解方程组求解.主要流程为：

方程组,行最简形矩阵,方程组的解,行初等变换,矩阵,三、逻辑结构,下页,方程组有解？

是唯一解？

无解，停止,求唯一解，停止,求通解，停止,Y,N,Y,N,例1,显然，此方程组无解.,例2,显然，此方程组有无穷多解.,例4,此方程组如何求解？

例3,显然，此方程组有唯一解.,四、主要内容,第一章行列式,第二章向量与矩阵,第三章线性方程组,第四章矩阵对角化与二次型化简,理论工具,理论基础，重点,具体应用,下页,附：

关于作业和作业纸问题,1统一要求使用专用的作业纸；作业纸不足者，可联合购买使用，由课代表联系任课教师办理；2作业由课代表同学收齐后，于下周第一次课前交给任课老师，并注意以下问题：

作业首页上写清楚个人的学号；课代表同学负责：

将每个同学的作业的左上角用订书机订好；将收齐后的作业按从小到大的学号顺序排序.,五、基本要求,理解内在逻辑，掌握运算技能；记录分析思路，及时完成作业.,第1章行列式,一、行列式的概念二、行列式的性质与计算三、克拉默（克莱姆）法则,下页,行列式发展史,行列式最早是一种速记的表达式，出现于线性方程组的求解，现已是数学中一种非常有用的工具。

发明人:

德国数学家莱布尼茨；日本数学家关孝和.1750年，瑞士数学家克拉默（Gramer）著有线性代数分析导引给出了行列式的定义、展开法则及克拉默法则；法国数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解；法国数学家范德蒙对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，把行列式理论与线性方程组求解相分离，给出了用余子式来展开行列式的法则；,行列式发展史,行列式最早是一种速记的表达式，出现于线性方程组的求解，现已是数学中一种非常有用的工具。

1772年，法国数学家拉普拉斯证明了范德蒙提出的一些规则，推广了范德蒙展开行列式的方法；1815年，法国数学家柯西是第一个系统的几乎是近代的处理乘法定理,方阵,双足标记法，改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明；德国数学家雅可比继柯西之后，在行列式理论方面最多产的数学家，引进了函数行列式（雅可比行列式），指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式雅可比的著名论文论行列式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成；,第1章行列式,1.1二三阶行列式,考虑用消元法解二元一次方程组,（a11a22-a12a21）x2=a11b2-b1a21,（a11a22-a12a21）x1=b1a22-a12b2,第1节行列式的概念,用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得,同理，消去x1得,下页,二阶行列式,为便于叙述和记忆，引入符号,D=,D1=,称D为二阶行列式.,按照二阶行列式定义可得,D2=,于是，当D0时，方程组的解为,下页,j=1，2，3,类似引入符号,其中D1,D2,D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.,三阶行列式,求解三元方程组,称D为三阶行列式.,下页,注对角线法则,注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,下页,例1计算三阶行列式,下页,25431是一个5级排列.,如，,3421是4级排例；,例2写出所有的3级全排列.,解：

所有的3级排列为：

321.,312，,231，,213，,132，,123，,1.2排列,定义1n个自然数1,2,n按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个n级排列，记为i1i2in.显然，n级排列共有个n!

.其中，排列12n称为自然排列.,下页,3421,逆序数的计算方法（向前看法）,从而得（3421）=5.,逆序及逆序数,定义2在一个级排列i1i2in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为（i1i2in）.,下页,奇排列与偶排列,逆序及逆序数,定义2在一个级排列i1i2in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为（i1i2in）.,定义3逆序数是奇数的排列，称为奇排列.逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列.,如3421是奇排列，,1234是偶排列，,因为（3421）=5.,因为（1234）=0.,下页,对换及性质,定理1对换改变排列的奇偶性.即，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.,推论在全部n级排列中奇偶排列各占一半.,定理2任意n级排列都可以经过一系列对换换为自然（标准）排列，并且对换个数与原排列具有相同的奇偶性。

下页,1次,t次,1次,t次,定义4符号,称为n阶行列式，,它表示代数和,其中和式中的排列j1j2jn要取遍所有n级排列.,元素aij,列标,行标,1.3n阶行列式,下页,n阶行列式定义,（3）n阶行列式共有n!

项.,n个元素的乘积.,

（1）在行列式中,项,是取自不同行不同列的,行列式有时简记为D=|aij|.一阶行列式|a|就是a.,=,说明：

下页,

（2）项,a14a23a31a44,a14a23a31a42,a14a23a31a42,例如，四阶行列式,（-1）（4312）a14a23a31a42为行列式中的一项.,表示的代数和中有4!

=24项.,a14a23a31a42取自不同行不同列,的列标排列为4312,所以它不是行列式中的一项.,中有两个取自第四列的元素，,下页,（为奇排列），,（4）定义4,其中和式中的排列i1i2in要取遍所有n级排列.,下页,（5）定义4”,其中和式中的排列i1i2in与排列j1j2jn要取遍所有n级排列.,下页,解：

为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，,D=（-1）（12n）a11a22a33ann,第一行只能取a11，,第三行只能取a33，,第二行只能取a22，,第n行只能取ann.,，,这样不为零的乘积项只有,a11a22a33ann，,所以,=a11a22a33ann.,下页,下三角形行列式的值：

上三角形行列式的值：

对角形行列式的值：

结论：

下页,解：

为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，,D=（-1）（nn-121）b1b2b3bn,第一行只能取b1，,第n-1行只能,第二行只能取b2，,第n行只能取bn.,，,这样不为零的乘积项只有,b1b2b3bn，,所以,取bn-1，,下页,定义5将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT（Transpose）或D.即如果,2.1行列式的性质,第2节行列式的性质与计算,显然，（DT）T=D.,下页,行列式的转置,性质1行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.,下页,性质1行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.,性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.,推论如果行列式D中有两行（列）的元素相同，则D=0.,下页,性质3用数k乘以行列式的某一行（列），等于用数k乘以此行列式.即,性质1行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.,性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.,推论如果行列式D中有两行（列）的元素相同，则D=0.,下页,性质3用数k乘以行列式的某一行（列），等于用数k乘以此行列式.即,性质1行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.,推论1如果行列式的某一行（列）的元素为零，则D0.,性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.,推论如果行列式D中有两行（列）的元素相同，则D=0.,推论2如果D中有两行（列）成比例，则D=0.,下页,性质4若行列式中的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即,下页,性质4若行列式中的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即,性质5将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变.即,下页,行列式的计算记号表示（P9）,要点：

利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算.,为表述方便，引入下列记号（行用r/*row*/，列用c/*column*/）：

2）以数k乘以行列式的第i行，用kri表示；,3）以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示；,下页,以数k乘以行列式的第i列，用kci表示；,以数k乘以行列式的第i列加到第j列，用cj+kci表示.,例1.计算行列式,解：

=-85.,下页,例2.计算行列式,解：

下页,例3.计算行列式,解：

将各行都加到第一行，从第一行提取x+（n-1）a得,下页,解：

例4.计算行列式,下页,解：

下页,