数学建模中竞赛阅读中的问题.docx
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数学建模中竞赛阅读中的问题
数学建模中竞赛阅读中的问题
摘要
本文主要研究的是数学建模竞赛中试卷的优化配发，评分的标准化处理及对教师的评阅效果定量评价的问题．
问题一:
针对试卷的随机分发问题，先利用MATＬＡB软件自带的rａnｄｐerm函数产生一个1至５00的随机矩阵，再用ｒeshaｐe函数对其进行重新排列成２５行２０列的矩阵,对矩阵ｙ进行列列交换的变化成两个新矩阵ｙ1与y2,构成75行20列的新矩阵z＝
，从而实现对试卷的随机分发;针对均匀性问题，以交叉数的方差作为评价任务单均匀性的评定指标,从多个随机分配方案中,选取交叉数方差最小的任务单供组委会使用.
问题二:
评分的预处理需要对评阅教师的分数进行标准化，评分预处理方法是将不同的评分者变换到同一个尺度下,就是以某一位评分者的均值作为参照点，以其标准差表示距离转化为以零为参照点的标准分;然后采用均值为7０标准差为10将标准分转化为百分制的标准，分这样使得标准分与原始分相差不大；最后将同一份试卷的三个标准评分的几何平均值作为该份试卷的最终标准分。
将附录中的２00份试卷的数据根据用Ｅxceｌ软件的统计与函数功能最终得到各份试卷的标准分值.
问题三：
针对教师评阅效果的评价问题，本文给出两个评价标准:
分别是评阅的原始成绩的可信度和评阅的原始成绩与成绩标准化合成后的最终成绩的偏差值的稳定性．对于可信度，结合评分分制，对评阅的原始成绩与成绩标准化合成后的最终成绩的差分值做百分化处理，建立可信度数学模型,得出可信度最高的有10,１1，15,19，20号教师，高达96％；对于偏差值的稳定性，采用偏差值的方差来反映,得出稳定性最好的是第3号教师,稳定性较好的还有第1，７，１0,11，19号教师。
最后,综合可信度和偏差值的稳定性两项指标,得出评阅效果较好的教师有第1,３,10,１1，15，19，20号教师，在下一次阅卷后合成成绩的时候可以考虑给他们以更大的权重.
关键词:
随机数矩阵标准化 参照点可信度 偏差值
一、问题重述
众所周知，数学建模问题无处不在,我们身边的生活、工作中随处可见各式各样的数模问题．数模竞赛之后都要经过阅卷的过程，除了几十名教师参与繁重的评阅试卷的工作外，许多管理工作都有很强的技术性．比如试卷的分发、教师评分的预处理、对每位教师评阅效果的评价等．这些做得好坏,直接影响着评阅的合理性和公正性，我们追求最优、最准确的评阅效果。
一次竞赛通常试卷有几百份，评阅前已将试卷打乱编号．每份试卷就是一篇科技论文,评阅教师需要综合考虑各方面情况给出一个成绩．每份试卷应有三名不同的教师评阅，所给出的三个成绩合成该试卷的最后成绩。
各位教师对自己所在单位的试卷应该回避，但这件事比较容易处理，我们这里就不考虑这个原因，也就是假设教师都没有本单位的试卷．
问题一:
试卷的随机分发考虑有５００份试卷由20名阅卷教师评阅的情况．每份三人评阅就共需要１5００人次，每人阅卷75份．提前编写程序，让试卷随机地分发到教师的任务单中。
注意让每份试卷分给每位教师等可能，另外任何两位教师交叉共同评阅一份试卷的情况也尽量均匀，即尽量不要出现交叉次数过多或过少的情况．再编写一个程序，对一次分发的任务单进行均匀性的评价.然后可以在多次生成的任务单中选出一个评价比较好的来使用.请给出两个程序的算法或框图，并选出一个好的分配任务单供使用及对它的评价．如果在评阅试卷时,每位教师都不能评阅本单位的试卷，该如何分发?
问题二：
评分的预处理全部阅完之后，就要进行成绩的合成了.但是，每个人见到的卷子不同，实际评分标准也不完全相同（尽管评阅前已经集体开会、讨论，统一评卷标准），大家的分数没有直接的可比性，所以不能简单地合成,需要预处理．比如，可能出现一份试卷的两位评阅教师都给出7０分的评价，但是其中一个７０分是他给出的最高分,另一个则是他的最低分，能认为这个试卷就应该是70分吗?
!
请设计一个成绩预处理的算法把教师给出的成绩算得标准化成绩,然后用三个标准化成绩就可以直接合成了，使得合成的成绩尽量地公平合理并且为后面对教师评阅效果的评价提供方便．
问题三：
教师评阅效果的评价 阅卷全部结束之后,组织者要对所聘请的教师有一个宏观的评价,哪些教师比较认真，对评分标准掌握得也好，看论文又快又准,因此给出的成绩比较准确,是这次阅卷的主力．下次再有类似的事情一定还请他们来,甚至于在下一次阅卷后合成成绩的时候给他们以更大的权值．这些除了在日常的生活工作中会有所感觉外，大家给出的成绩也会说明一些问题.请制定一个方法，利用每人给出的成绩,反过来给教师的评阅效果给出评价．
二、问题分析
问题一（试卷的随机分发）针对试卷的随机分发问题,为了使各位教师得到随机的分配试卷,先利用ＭAＴLAB软件产生随机矩阵并重排产生７5行20列新矩阵，其分别代表各老师的阅卷编号和各阅卷老师.最后通过运行程序得出平均交叉数，且生成几组可供用的任务单。
针对均匀性问题，以交叉数的方差作为评价任务单均匀性的评定指标，从多个随机分配方案中,选取交叉数方差最小的任务单供评阅小组使用。
问题二（评分的预处理）由于像数学建模这样的开放性竞赛答卷,都是由每一个考生按照自己的思维所得到的答案,所以答卷并没有标准的答案,每一位教师的评分标准不同对于一份试卷的所给的分值也不一样,也就是老师的主观因素对答卷的分数起很重要的作用，因此需要对教师的分数进行标准化处理；标准化处理的方法有很多比较著名的方法有两种分别是:
归一化法、标准化分数评分法．由于归一化法本身存在着复杂难以实现,条件苛刻等的缺点而标准化分数评分法具有较强的理论依据且能较好的把不同平均值、标准差的一组分数转换为平均数为0标准差为1统一的，固定不变的标准形式,因此选择放弃归一化法而采用标准化分数评分法对评分进行预处理。
采用标准化分数评分法对分数进行标准化后出现的分数会有正有负还有零而不是百分制的分数会让人们难以接受，因此需要把这些分数转化为百分制的分数转化为百分制，需要找到一个参照点作为参照以便分数统一转化，避免再次出现不同标准的分数．最后就是把同一份试卷的三个分数的标准分（经过转化为百分制的标准分）的几何平均值作为这份试卷的最终得分。
问题三（教师评阅效果的评价）要对教师评阅的效果做出评价,需要给出评价的标准，而题目已经明确给出,对教师评阅效果的评价仅以教师给出的分数为参考,不考虑其他因素，那么主要是对每位教师给出的分数进行分析以及与试卷的最终成绩作比对,据此可以考虑评价的标准为：
１、教师评阅的原始成绩的可信度，可信度越高，说明对评分标准的把握越好;2、教师评阅的成绩与成绩标准化合成后的最终成绩的偏离值的稳定性,稳定性越好，说明对评分标准的把握越好,给出的成绩越合理．
三、模型假设
1、每位教师得到每份试卷是随机的；
２、每位教师批改试卷时对待每一份试卷都是公平公正的;
3、教师不能认出所批阅的试卷是谁写的;
四、符号说明
:
教师交叉评阅一份试卷的份数；
K：
交叉人数；
D:
交叉次数的方差；
：
表示第i份试卷第j位教师的标准化评分;
:
表示第i份试卷第j位教师的原始分数;
:
表示第ｊ位教师的75份试卷的平均分；
：
表示第j位教师评分的标准差;
:
表示将标准化分数
转化为百分制后的分数;
：
表示第ｉ份试卷平均标准化百分制的分数；
:
表示第
分试卷第
位教师的评阅分数与试卷最终得分的差值;
：
表示第
位教师所有评阅分数与试卷最终得分的差值的平均值；
：
表示第
位教师所有评阅分数与试卷最终得分的差值的方差；
五、模型的建立与求解
5.1问题一（试卷的随机分发）：
试卷随机分发过程需要随机的将试卷分发给各位评阅教师，并且需要评阅教师之间相互交换评阅但交换次数不能过多也不能过少．因此首先应该将试卷随机分发给每一位评阅教师的初步方案，再去分析判断评阅教师之间的交换次数.
为了得到随机分发试卷给评阅教师的多个初步方案，首先将500份试卷从１～5０0编号然后将其打乱编号，再用MＡTLAB软件自带的rａndpｅrm函数产生一个1至500的随机矩阵x=randpｅｒm（500）,用reshape函数对其进行重新排列成2５行20列的矩阵y=reｓhape（x，2５,20）．因为一份试卷需要三位评阅教师进行批阅而矩阵y只是满足了一个教师批阅一份试卷，因此需要三个矩阵来表示评阅教师所批阅的试卷；所以对矩阵y进行列列交换的变化成两个新矩阵ｙ1与y２将矩阵ｙ，ｙ1，ｙ２合成75行2５列的新矩阵ｚ,z=
，其中z的每一列元素即代表每一位老师所阅卷的编号，而相应的行则代表与其相应评阅教师对试卷所给的分数．
在得到多个初步方案后,有可能出现某两位教师之间交叉次数特别多或者某两位教师之间没有一次交叉次数,对于这些不合理的初步方案应该将其去除留下一些交叉次数不过多也不过少的方案。
因此用MAＴLAB软件自带的iｎｔｅrsect函数得到每两位评阅教师之间交叉次数,先编写一个程序运行得到交叉次数的大致范围，然后根据交叉次数的范围大致确定出交叉次数应该在什么范围之内,再编写一个程序只是在原程序的基础上添加一个交叉次数的限制条件，运行程序得到一些交叉次数不过多也不过少的方案．其算法框图如图（1-1）所示：
图（１－１）
在多次运行程序后得到多个任务单但是每一个任务单的均匀性不可能全部相同，因此需要对每一个任务单的均匀性进行评价.因为每份试卷需要3个不同的老师批改３次，即交叉3次,所以５00份试卷的总交叉次数的总数为150０次，总共有２0位教师,所以总共有
组试卷交叉评阅比较组，假设任意两位教师交叉评阅一份试卷的份数为
，则有
解得,
为了使任何两位教师的交叉共同评阅一份试卷的情况尽量均匀，以交叉数的方差作为评价任务单均匀性的指标，方差越小，交叉次数越稳定,即任务单的均匀性越高.用
表示交叉数的方差,
表示第
位教师与第
位教师交叉评阅试卷份数．得出方差的计算公式如下:
，（其中,
１,2,…,20；
）。
最后用ＭＡTLAB软件对上述内容进行编程评价上一个程序得到的任务单；其程序的算法框图如图（1—2）所示:
图（1—2）
运行程序得到三组随机数（如附录所示）并且得到与其相应的方差及交叉数，通过利用模型判断出一个较好任务单任务单由于数据较多所以只给出了前四行数据如下所示:
４63ﻩ4４84311711637２ﻩ91１３945238637４2４7ﻩ214ﻩ2972５４ﻩ30636ﻩ3７83207１
1０3ﻩ4４９４9３ﻩ1１7489ﻩ24１ﻩ2３9239０ﻩ171252841１５２６9３３2324ﻩ35２439136363
373368ﻩ351132１90ﻩ２631７9ﻩ3５9ﻩ350ﻩ33７2３７８6ﻩ１8444１8９４７３ﻩ394456ﻩ4５81７7
4３8ﻩ38９228ﻩ2５ﻩ77９942１360349ﻩ４4235747２ﻩ６0４46ﻩ４11464403ﻩ310ﻩ33ﻩ1８
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………。
得到此任务单的交叉数为． 5ﻩ55ﻩ5ﻩ3０５5ﻩ5ﻩ5１0555５ﻩ30ﻩ５ﻩ５５5ﻩ5ﻩ55ﻩ５３０ﻩ5ﻩ555ﻩ10ﻩ５5ﻩ5ﻩ530ﻩ5ﻩ55555ﻩ５ﻩ30ﻩ5５ﻩ55ﻩ１０5ﻩ５ﻩ55ﻩ30ﻩ5ﻩ5５5ﻩ５５ﻩ30ﻩ5５ﻩ５ﻩ51055ﻩ55305ﻩ５５553０ﻩ５55ﻩ5ﻩ10５55ﻩ5３05ﻩ5ﻩ5530ﻩ５ﻩ５５ﻩ５105ﻩ５5ﻩ55555ﻩ30ﻩ５55510ﻩ555ﻩ55553０5５ﻩ5５105５5ﻩ55ﻩ５ﻩ３0ﻩ5ﻩ５５ﻩ51０ﻩ55ﻩ５5ﻩ530ﻩ５ﻩ5ﻩ５5ﻩ１05ﻩ5ﻩ５ﻩ5ﻩ30ﻩ55ﻩ55ﻩ５5ﻩ5ﻩ５３０ﻩ55ﻩ５5ﻩ５5５３0ﻩ5ﻩ５ﻩ55ﻩ5ﻩ5ﻩ3055ﻩ5ﻩ5５ﻩ30ﻩ5５ﻩ5ﻩ5ﻩ５ﻩ55ﻩ５ﻩ5
得到各组交叉数方差为58．7528
从这组随机数的交叉数可以看出虽然各组交叉数基本上都是5但是存在着少数较大的交叉数如交叉数30，但是从总体上来看这些交叉数还是较为平均的;但是存在着一些较为极端的交叉数所以导致方差较大因此这个任务单只能是一个比较合理的任务单。
5.２问题二（评分的预处理）:
在阅卷时不同教师的实际评分标准不完全相同;例如，可能出现同一份的两位评阅教师都给出70分的评价,但是其中一个７0分是他给出的最高分，另一个则是他的最低分,因此这份试卷不能简单的认为就是7０分,对其分数进行预处理,一个简单的预处理办法就是将不同的评分者变换到同一个尺度下,也即将原始得分转化为标准分.标准分是一种由原始分推导出来的相对地位量数,是用来说明原始分在所属的那批分数中的相对位置，其本质是一种与位置状况相联系的相对分数.在计算标准分时,是以某一个评分者所有评分的均值作为参照点,以这个评分者的标准差作为单位来表示距离，其基本公式是：
，（i=1,2，3……,５0０;j＝１,２，3……２0） （2—1）
式中:
表示第i份试卷第j位教师的标准化评分,
ｘ表示第ｉ份试卷第j位教师的原始分数，
是第j位教师的75份试卷的平均分,
是第j位教师评分的标准差。
平均分
的计算公式为：
标准差
的计算公式为：
分数可以是正的也可以是负的还可以是零,正负号说明原始分是大于还是小于平均数,绝对的数值说明原始分距离平均分数的远近程度．一批分数全部转换成z分数后，它们的整个分布形态并没有发生改变．z分数能准确刻画一个分数在一批分数中的相对位置。
标准分
有正有负这不符合在人们心中的百分制的分数让人难以接受，因此需要转换为百分制的标准分计算公式为：
（2—2）
F是以平均分为７0，标准差为10作为参照点，这样可以使得z的负数变为正的并且与初始值相差不大，人们较易接受.[1］
一份试卷由三位教师评阅,三位教师百分制的标准化成绩为
，那么第i份试卷百分制标准化成绩可以用三位教师成绩的平均值来表示其计算公式为:
（2-３）
ａ、ｂ、c表示三位不同的教师,取值范围为［1,2０]
综合上述的想法把利用Mｉcroｓoft visｉo软件将流程图画出如图（２－1）所示:
图（2—1）
对附录中的前200分数据用ＭｉcrｏsoftExceｌ的ＳTDEV．Ｐ与ＡＶERAGE函数计算出方差和平均值;以及用软件的公式功能写出表达式的公式后进行标准化分数；以及其统计功能把每一个分数最终转化为百分制的标准分．得到附录中200份试卷的标准化后的几何平均分数的最终分如附录所示．
5.3 问题三（教师批阅效果的评价）：
判断教师的评阅效果的好坏,有两各评定指标：
1、教师评阅的原始成绩的可信度;2、教师评阅的成绩与成绩标准化合成后的最终成绩的偏离值的稳定性．可信度越高，稳定性越好,说明该教师对评分标准的把握越好，评阅效果越好．
１、可信度模型：
先定义可信度和不可信度两个概念。
不可信度是指教师评阅的原始成绩的不可信程度，可信度是指教师评阅的原始成绩的可信程度.不可信度取值等于单位元素评阅分数与最终分数的差值的绝对值与取值跨度的比值，可信度取值与不可信度的和为1，由此得出可信度的数学表达公式如下:
其中,
表示可信度，
表示任意元素的评定值,
表示评定元素的总数,
表示元素的真实值，
表示元素取值跨度．
所以20位教师评阅分数的可信度计算公式如下：
经过计算得出20位教师评阅分数的可信度如下:
专家
1
2
3
4
5
6
7
８
9
10
可信度
０。
９５
0.91
0.91
0．85
0．８5
0．88
0．94
０．93
0。
94
0。
96
专家
１1
12
8
19
20
可信度
0。
96
0。
9３
0。
93
０.95
0．96
0。
90
0.8７
0．９5
0。
9６
0.９6
表（3－1）
从表中可以看出，第10，11，１５,19，20号教师的可信度最高,高达96％；可信度较低的有第６号教师,可信度为８8％,第１7号教师,可信度8７％;可信度最低的是第4、5号教师，可信度为８5%。
2、稳定性模型：
稳定性是指教师评阅分数的偏差值的稳定性．偏差值的稳定性越高，说明评阅效果越好．这里用偏差值的方差来反映教师对教师评阅分数的偏差值的稳定性.
在第一问的基础上求出第
分试卷第
位教师的评阅分数与试卷最终得分的差值为
.第
位教师所有评阅分数与试卷最终得分的差值的平均值
。
表示第
位教师所有评阅分数与试卷最终得分的差值的方差．得出
的数学表达式如下：
，
（其中，
＝1，2，3,…，７5；
=１，２，3，…，20）。
得出2０位教师评阅差分值的方差如下:
专家
1
2
3
4
5
6
7
８
９
1０
方差
6．22
２４.03
４.11
１６。
19
15．７０
54.８６
６．66
３2．87
9．７6
5.29
专家
11
1２
8
1９
２0
方差
6．58
24.13
１３.7３
10。
51
6。
51
４3。
55
10。
49
7.64
４。
７4
７．３7
表（３—2）
从表（3—２）中可以看出,方差最小的是第3号教师方差为4．11，说明第3号教师的评分偏差值的稳定性越高,评阅效果越好.方差比较小的还有第１0，１9号教师。
综合可信度和偏差值的稳定性两项指标,第3,1０，11,１5，1９号教师的评阅效果比较好，是这次阅卷的主力，可以考虑在下议息阅卷合成成绩的时候给他们以更大的权重．
六、模型分析与检验
问题一的分析与检验:
利用第一问中的MＡＴＬAB程序重新得到一些随机数,经过发现程序可以自动去除一些交叉次数较多和较少的随机数组得到一些较为合理的数组,能够满足题中的实际要求；通过程序运行得到多组数据后利用第二个程序挑选出均匀性较好的一组（具体数据见附录），经过初步分析及模拟发现此方案较为简单可行容易满足生活中的要求；多次分析得到的均匀性较强的任务单其交叉次数都较为稳定可靠不会出现太大的误差因此可认为模型的稳定性较强;综合分析与检验发现试卷随机分发模型的到的数据较为稳定可靠、能够简单快速实现并且能够应用在生活当中.
问题二的分析与检验:
在题中的附录中有200份试卷的评分,利用Micｒｏsoft Exｃeｌ软件的ＳＴDEV．S、ＳUM、AVＥRAGE等的函数和公式以及其统计等功能计算出附录中数据最终转化为百分制的标准分的到的数据如附表所示,初步分析结果到的分数较为可靠。
对标准化后的分数利用ＭｉcroｓofｔＥxｃel的图表功能的到了标准化之后分数的散点图如图（6－1）所示:
图（６—1）
对原始分数同样利用Microｓofｔ Ｅxcel的统计与图标功能得到了原始数据的分布散点图如图（6—2）所示:
图（6－２）
从图（6－1）与图（６－2）可以看出最终的分都在70上下波动而原始分数却在６５分上下波动，这是因为标准化时将整体的均值拉高,但是却不影响分数的分布情况就是原始分数与标准化之后的分数都是同一种分布，所以认为标准化之后的分数较为合理可信．
问题三的分析与检验：
对教师评阅效果的评价文中建立了可信度和稳定性两个评价指标,指标模型没有因为假设忽略太多因素，数据全部来源于题目,所以得到的结论比较可靠，现实实用性强；模型中没有间接变量,计算简单,所以稳定性也特别高。
七、模型评价与推广
优点：
１.标准化处理后各个标准分的单位是绝对等价的，无论各个教师所打的分数平均分、标准差怎样不同，已经转化为标准分，就形成以平均数为0，标准差为1的统一的、固定不变的标准形式.
2．运用Miｃrosｏft Excｅｌ多种函数、编写公式以及其统计、绘图等的多种功能在二三问中避免了用编程来计算就直接得到结果.
3。
问题一中在利用MATLAB软件生成随机数时先生成25×20的矩阵在经过列咧交换得到３个矩阵组合得到75×20的矩阵来表示避免了交叉次数过多和过少的情况．
4。
教师评阅效果的评定结论具有较高的准确性,可视性和可靠性。
对教师评阅效果采用可信度和偏差值稳定性双指标进行评价，克服了单指标评价的片面性，提高了评价结论的准确性；对教师评阅效果采用可信度和偏差值稳定性具象表示,结论具有可视性，其中可信度模型充分考虑了偏差值，均值，评分跨度三个因素,考虑因素全面,得出的结论更具可靠性.
缺点：
1.标准化后的分数对于缺乏统计知识的人难以理解、不直观．
2.给出的试卷分发方案只是从几组随机方案中挑选最好的方案，并非全局
最优方案．
模型推广:
此模型具有评价的一般性以及适用范围较广所以可以将随机分发的模型推广到抽奖、分发物品等层面；评价的预处理模型可将其推广到高考改卷已经公司对员工的考评中;教师批阅效果的评价模型可以推广到对教师、官员等的考核等。
参考文献
［1]罗玉莲，李新发。
标准分及其应用[J］.第19卷第5期:
吉安师专（自然科学），１9９8.
［2]宋来忠,等。
数学建模与实验［M］。
北京：
科学出版社,２005.
［3］张志涌．Matlaｂ教程。
北京：
航天航空大学出版社[M],2006．
［４］乐励华，段五朵．概率论与数理统计．江西：
江西高校出版社［M］，2013。
附录
问题一程序：
程序一
x=ｒａｎdperm（５00）;
y=rｅsｈａpｅ（x,2５，20）；
ｙ1=y（1:
5，:
）;
y2=y（６：
10，：
）；
ｙ3=y（11:
15，：
）；
y4＝y（1６：
20，：
）；
y５=y（21:
25,:
）；
y6（：
，１）=y1（:
，20）；
forｉ=2：
20
y６（：
，i）＝y1（:
，ｉ—1）;
end
y7（:
，１）=y2（：
，１９）；
ｙ7（：
，２）=ｙ2（:
，20）；
ｆｏrj=3：
20
ｙ7（：
，j）＝ｙ2（:
ｊ-2）；
enｄ
y8（:
，１）=y3（：
18）；
y8（:
，2）=y3（：
19）;
y8（：
3）＝y3（：
20）；
forｊ=4：
20
y８（：
j）=y３（：
，j-３）；
end
y9（：
，1）=y４（:
，１７）；
y9（：
，２）=ｙ４（：
，18）；
ｙ9（：
，3）=y4（:
19）；
y9（：
4）＝ｙ４（:
，20）；
forj=５：
20
ｙ9（：
j）=y4（：
，j-４）；
ｅnd
y1０（：
１）＝ｙ５（：
16）;
y1０（：
2）＝y5（:
，１7）；
ｙ1０（：
3）＝y5（：
，18）;
y1０（:
，４）＝y5（：
1９）；
y1０（：
，５）＝ｙ5（:
，２０）；
forj=6:
2０
y1０（：
，ｊ）=ｙ５（：
，ｊ—5）;
end
fork=1：
6
y１1（：
，k）＝y1（：
，１4+k）；
end
fｏr k＝7：
2０
y11（：
k）=y1（:
k—6）;
end
foｒk=1:
7
y12（:
，k）=ｙ2（：
，1３＋k）；
end
ｆｏrｋ=8:
2
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