离散型随机变量及其分布.docx

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离散型随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布

适用学科

高中数学

适用年级

高中三年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

60

知识点

离散型随机变量定义，两种分布

教学目标

会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，能利用所学知识解释一些简单的实际应用问题。

教学重点

离散型随机变量的分布列的概念

教学难点

求简单的离散型随机变量的分布列

教学过程

课堂导入

我们在抛硬币时虽不知道正面还是反面朝上，但一定只会出现这两种结果

问题：

我们如何表示这两种结果所对应的概率，并一一列出呢？

一、复习预习

条件概率，

事件的独立性

两点分布

超几何分布

二、知识讲解

考点1

（1）随机变量

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．

（2）离散型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

（3）分布列

设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个值xi（i＝1,2，…，n）的概率为P（X＝xi）＝pi，则称表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．

考点2两点分布

如果随机变量X的分布列为

X

1

0

P

p

q

其中0

考点3

超几何分布：

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X＝k）＝

，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.

X

0

1

…

m

P

…

三、例题精析

考点一

例1

设X是一个离散型随机变量，其分布列为

ξ

－1

0

1

P

1－2q

q2

则q的值为（　　）

A．1B．1±

C．1＋

D．1－

【规范解答】

D　[由分布列的性质，有

　解得q＝1－

.

【总结与反思】

或由1－2q≥0⇒q≤

，可排除A、B、C.]

考点二

例2

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量X表示所选3人中女生的人数．

（1）求X的分布列；

（2）求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．

【规范解答】

解　

（1）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选的3人中女生随机变量X＝0,1,2，其概率

P（X＝k）＝

，k＝0,1,2，故X的分布列为：

X

0

1

2

P

（2）由

（1）可得“所选3人中女生人数X≤1”的概率为

P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝

＋

＝

.

【总结与反思】

利用定义确定改分为超几何分布

考点三

例3

袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：

（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（2）随机变量X的分布列；

（3）计分介于20分到40分之间的概率．

【规范解答】

（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A，记“一次取出的3个小球上有两个数字相同”为事件B，则事件A和事件B是对立事件．

因为P（B）＝

＝

，

所以P（A）＝1－P（B）＝1－

＝

.

（2）随机变量X的可能取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为P（X＝2）＝

＝

，

P（X＝3）＝

＋

＝

，

P（X＝4）＝

＋

＝

，

P（X＝5）＝

＋

＝

.

∴随机变量X的分布列为

X

2

3

4

5

P

（3）由于按3个小球上最大数字的9倍计分，所以当计分介于20分～40分时，X的取值为3或4，所以所求概率为

P＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝

＋

＝

.

【总结与反思】

（1）是古典概型；

（2）关键是确定X的所有可能取值；

（3）计分介于20分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和．

课程小结

离散型随机变量的定义

两点分布

超几何分布