数学建模 自习室优化问题.docx

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数学建模自习室优化问题

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员（打印并签名）：

1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

年月日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

自习教室开放的优化管理方案

摘要

本文针对大学用电浪费严重的情况，重点讨论了关于晚自习教室如何开放的问题。

首先我们对所给数据进行了预处理，结合自习室开放的条件，建立0-1整数规划模型，并采用LINGO软件对模型进行求解。

在问题一中，要求在自习室开放最少的前提下，既要达到学生的满意度要求，又要节约用电，从而设计出最佳的自习室开放方案，这是一个简单优化问题。

故首先我们对所给数据进行预处理，然后根据题意和已知条件，把总用电量最少作为目标函数，又综合考虑了上自习的学生人数、教室座位以及用电资源等因素，最终建立出0-1规划模型，运用LINGO软件进行求解，最终得到最优化的自习室开放方案（第二类的教室开放一个，第三类教室和第四类教室全部开放）。

该方案每小时的耗电的总功率为：

；具体方案见模型的建立与求解。

问题二将问题进一步深化，教室开放的次序发生了变化，则我们优先考虑各个自习区总的教室数是否满足学生上自习的人数，之后把总的自习室用电量作为目标函数，在满足各项约束条件下，来设计教室的开放问题，具体详解见模型的建立与求解。

在问题三中，我们运用同问题一相同的方法思路，建立目标函数和约束条件，从而建立优化模型；最终运用LINGO软件编程得到最优方案，具体结果为：

第一类教室开放的个数为3个，第二类和第三类教室全部开放，第四类教室开放1个；该方案每小时的耗电的总功率为：

。

然后由于问题条件的深入，我们又对模型做了进一步的分析优化。

最后，本文针对所建立的模型的不足进行了改进说明，使所建立的模型更加合理、正确，同时也增加了模型的适用性和推广性。

关键词：

0-1整数规划目标函数满意度LINGO软件

一、问题重述

1.1问题的背景与条件

近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。

下面是数计学院的教室相关数据：

教室类别

座位数

灯管数

开关数

一个开关控制的灯管数

每只灯管的功率／W

教室个数

1

48

16

4

4

40

18

2

82

16

4

4

50

3

3

156

24

4

6

48

3

4

32

4

2

2

60

2

其中前3类教室均匀分布在3个楼层，第四类在3楼；管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：

00—10：

00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。

1.2需要解决的问题

1）、假如我院有1000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0．6。

要使需要上自习的同学满足程度不低于90％，开放的教室满座率不低于4／5，同时尽量不超过90％．问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。

2）、假设现有的26个教室分为3个自习区，第一类为第一区，第二类及第四类为第二区，第三类为第三区。

教室的开放次序先开放第一区，在开放第二区，最后考虑第三区教室。

在满足问题1条件下，教室开放情况又是如何？

3）、假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99％，开放的教室满座率不低于4／5，同时尽量不超过95％。

应该怎样开放教室？

若假设每个教室中每个灯管照亮座位的情况是一致的，开放的教室可以只打

开部分灯管，这时的各种情况的教室开放情况又是如何？

二、模型的假设

1）假设每个教室晚自习开放时间相同，因此我们以一个小时的用电功率来衡量用电量；

2）假设教室所有的座位完好，且环境相同，不存在同学愿不愿去坐的状况；

3）假设教室的灯管都完好；

4）假设学生去上自习概率不受外界客观因素的影响，如天气，病假等；

5）假设学生到各个教室的意愿相同，无不想去的教室；

6）假设学生上晚自习的时间相同，不存在早退晚回的情况；

7）假设每位同学仅占一个座位；

8）假设仅考虑正常上课的情况，不考虑假期教室空闲、临近考试阶段紧张复习

等因素；

三、符号的说明

1）

:

表示第

个教室是否开放（0表示不开放，1则表示为开放）；

2）

：

表示第

个教室的用电总功率；

3）

：

表示上自习的学生数；

4）

：

表示第

个教室的座位数；

5）

：

表示所有开放教室的用电总功率；

6）

：

表示所有开放教室的总的座位数：

四、问题的分析

根据我们对题目的理解与分析，本题目的问题是在满足每题要求的前提情况下，设计出教室开放的最节约，最合理的优化方案，从而达到节约用电并且满足同学们需求度。

以下是我们对每一个问题所进行的分析。

4.1问题一的分析：

经分析，问题一的目标很明确，即以节约用电（总功率最少）为目标，通过安排是否教室的开放设计出一个最优化的合理方案。

因此我们考虑引入0-1变量，运用0-1整数规划模型建立目标函数，再以题目中所给满座率要求得出约束条件，最后用LINGO编程求解出教室管理安排的最优方案。

4.2问题二的分析：

经考虑，首先考虑第一区的教室数是否满足学生上自习的人数，然后再建立目标函数，求解出最优解，并且我们应该考虑到两个方面，一是对学校来讲，节约用电是最优目的，即所使用电的总功率最小；而对于学生来说，应该尽可能的提高学生的满意度，达到学生的需求。

4.3问题三的分析：

由于临近考试，学生上自习的人数增加，满意程度增大，所以我们还是按照和问题一相同的思路进行求解，使满意度尽可能地大的情况下，考虑到省电的原则做适当调整，最后用LINGO编程求解选择出教室最优管理安排方案。

之后又由于问题的深化，我们又做了进一步的优化（详细见问题5.3.4）。

五、模型的建立与求解

5.1问题一模型的建立与求解

5.1.1约束条件的确立：

根据条件，学院有1000名同学，总计四类教室，总共有26间，根据题目中有关数据，我们做了以下的数据预处理，详细见表一，

教室号

教室类别

座位数

灯管数

开关数

一个开关控制的灯管数

每只灯管的功率／W

1

1

48

16

4

4

40

2

1

48

16

4

4

40

3

1

48

16

4

4

40

4

1

48

16

4

4

40

5

1

48

16

4

4

40

6

1

48

16

4

4

40

7

1

48

16

4

4

40

8

1

48

16

4

4

40

9

1

48

16

4

4

40

10

1

48

16

4

4

40

11

1

48

16

4

4

40

12

1

48

16

4

4

40

13

1

48

16

4

4

40

14

1

48

16

4

4

40

15

1

48

16

4

4

40

16

1

48

16

4

4

40

17

1

48

16

4

4

40

18

1

48

16

4

4

40

19

2

82

16

4

4

50

20

2

82

16

4

4

50

21

2

82

16

4

4

50

22

3

156

24

4

6

48

23

3

156

24

4

6

48

24

3

156

24

4

6

48

25

4

32

4

2

2

60

26

4

32

4

2

2

60

表一

而每个同学是否上自习是相互独立，上自习的可能性为0.6，且要使需要上自习的同学满足程度不低于90％，所以上自习的人数至少为：

人；

因为要求开放的教室满座率不低于

，同时尽量不超过

，所以我们确立的约束条件为：

5.1.2目标函数的确立：

根据我们所考虑分析的，我们想引入0-1变量的方法代表教室是否开放：

;

则目标函数为：

；

5.1.3模型的建立：

综合上述，我们得出0-1整数规划模型的标准形式如下：

目标函数：

；

约束条件：

；

5.1.4模型的求解：

根据模型，我们利用LINGO软件编程（见附录）求解出教室管理的最优方案如下：

开放第二类的教室数量是一个，第三类教室和第四类教室全部开放。

该方案每小时的耗电的总功率为：

。

5.2问题二模型的建立与求解

5.2.1模型的准备：

因为现将的26个教室分为3个自习区，第一类为第一区，第二类及第四类为第二区，第三类为第三区。

教室的开放次序先开放第一区，再开放第二区，最后考虑第三区教室。

可是经我们计算第一区的所有教室数的总的座位数为：

个；

而又有问题一的条件可知：

每个同学是否上自习是相互独立的，上自习的可能性为0.6，且要使需要上自习的同学满足程度不低于90％，所以上自习的人数至少为：

人，显然我们可得：

第一区的座位数就能满足学生的上自习的要求，所以我们考虑就只开放第一区的教室。

5.2.2模型的建立：

则在节约用电为目标函数的前提下建立优化模型。

我们得出0-1整数规划模型的标准形式如下：

目标函数：

；

约束条件：

；

5.2.3模型的求解：

根据模型，我们利用LINGO软件编程（见附录）求解出教室管理的最优方案如下：

连续开放第一区的教室13个，就可以满足条件，达到学生的满意程度，该方案每小时的耗电的总功率为：

。

5.3问题三模型的建立与求解

5.3.1模型的确立：

由题意可知，由于临近期末，上自习的人数突然增多，则上自习的同学的期望值为：

（人）；

而且要使需要上自习的同学的满足程度不低于

，所以最少来上自习的人数为：

人；

又因为要求开放的教室满座率不低于

，同时尽量不超过

，所以我们确立的约束条件为：

则目标函数为：

；

5.3.2模型的建立：

综合上述，我们得出0-1整数规划模型的标准形式如下：

目标函数：

；

约束条件：

5.3.3模型的求解：

根据模型，我们利用LINGO软件编程（见附录）求解出教室管理的最优方案如下：

第一类教室开放的个数为3个，第二类和第三类教室全部开放，第四类教室开放1个。

该方案每小时的耗电的总功率为：

。

5.3.4问题三模型的优化：

因为题目中假设每个教室中每个灯管照亮座位的情况是一致的，开放的教室

可以只打开部分灯管，而由问题三模型的求解，并且我们对数据做了一下的处理（详细见表2）。

我们可得出总的座位数为：

（个）；

然而上自习的人数至少为：

（其它们的差值为16）；

所以开放的教室会有空位（假设此时开放教室中的全部灯管都是亮着的），则就会造成用电的浪费。

所以经计算我们得出第四类教室是8个座位占用一个灯管，且1个开关控制2个灯管数，即我们可以关掉1个开关，这样就可以满足题目的条件，也不会造成用电的浪费，而且也达到了学生的满意度。

则这种方案下每小时的耗电量为：

。

教室类别

总功率/教室（W）

总座位数

座位数/灯管数

1

640

864

3

2

800

246

5.125

3

1152

468

6.5

4

240

64

8

表2

六、模型的评价与改进

6.1模型的评价

6.1.1模型的优点：

以用电总功率最小为目标函数建立优化模型，采用0-1整数规划模型进行求解，并且利用LINGO软件编程得到比较合理的教室开放方案，此方法计算复杂度低，合理性强，并能够达到优化目的；而且模型简捷明了。

6.1.2模型的不足：

由于时间的关系，我们对问题没有考虑周全，缺乏严谨性，并且对于学生满意度的评价不足，没有给出定量说明的具体方式。

6.2模型的改进与推广

本文的模型针对此题目做出了详细的解答，原因是考虑因素少、约束条件明确，但还需考虑许多细致的约束条件；但此模型可以应用到很多地方，例如校园路灯的问题，商品的买卖，物体的存储等各个方面。

[参考文献]

[1]姜启源，谢金星，叶俊.《数学模型》（第三版）高等教育出版社2003。

[2]赵静，但琦.《数学建模与数学实验》高等教育出版社2000。

[3]谢金星,薛毅.《优化建模与LINGO/LINGO软件》清华大学出版社。

[4]李之林，欧宜贵.《数学建模及典型案例分析》化学工业出版社。

附录：

附录一：

model:

sets:

classroom/1..26/:

x,pi,z;

endsets

data:

pi=640640640640640640640640640640640640640640640640640640800800800115211521152240240;

z=4848484848484848484848484848484848488282821561561563232;

enddata

!

目标函数;

min=@sum（classroom:

pi*x）;

!

约束条件;

@sum（classroom（i）:

0.8*z（i）*x（i））<=540;

@sum（classroom（i）:

0.9*z（i）*x（i））>=540;

@for（classroom（i）:

@bin（x（i）））;

运行结果：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

4736.000

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

6

VariableValueReducedCost

X

（1）0.000000640.0000

X

（2）0.000000640.0000

X（3）0.000000640.0000

X（4）0.000000640.0000

X（5）0.000000640.0000

X（6）0.000000640.0000

X（7）0.000000640.0000

X（8）0.000000640.0000

X（9）0.000000640.0000

X（10）0.000000640.0000

X（11）0.000000640.0000

X（12）0.000000640.0000

X（13）0.000000640.0000

X（14）0.000000640.0000

X（15）0.000000640.0000

X（16）0.000000640.0000

X（17）0.000000640.0000

X（18）0.000000640.0000

X（19）0.000000800.0000

X（20）0.000000800.0000

X（21）1.000000800.0000

X（22）1.0000001152.000

X（23）1.0000001152.000

X（24）1.0000001152.000

X（25）1.000000240.0000

X（26）1.000000240.0000

RowSlackorSurplusDualPrice

14736.000-1.000000

248.800000.000000

312.600000.000000

附录二：

model:

sets:

classroom/1..18/:

x,pi,z;

endsets

data:

pi=640640640640640640640640640640640640640640640640640640;

z=484848484848484848484848484848484848;

enddata

!

目标函数;

min=@sum（classroom:

pi*x）;

!

约束条件;

@sum（classroom（i）:

0.8*z（i）*x（i））<=540;

@sum（classroom（i）:

0.9*z（i）*x（i））>=540;

@for（classroom（i）:

@bin（x（i）））;

运行结果：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

8320.000

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

0

VariableValueReducedCost

X

（1）1.000000640.0000

X

（2）1.000000640.0000

X（3）1.000000640.0000

X（4）0.000000640.0000

X（5）0.000000640.0000

X（6）0.000000640.0000

X（7）0.000000640.0000

X（8）0.000000640.0000

X（9）1.000000640.0000

X（10）1.000000640.0000

X（11）1.000000640.0000

X（12）1.000000640.0000

X（13）1.000000640.0000

X（14）1.000000640.0000

X（15）1.000000640.0000

X（16）1.000000640.0000

X（17）1.000000640.0000

X（18）1.000000640.0000

PI

（1）640.00000.000000

PI

（2）640.00000.000000

PI（3）640.00000.000000

PI（4）640.00000.000000

PI（5）640.00000.000000

PI（6）640.00000.000000

PI（7）640.00000.000000

PI（8）640.00000.000000

PI（9）640.00000.000000

PI（10）640.00000.000000

PI（11）640.00000.000000

PI（12）640.00000.000000

PI（13）640.00000.000000

PI（14）640.00000.000000

PI（15）640.00000.000000

PI（16）640.00000.000000

PI（17）640.00000.000000

PI（18）640.00000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

18320.000-1.000000

240.800000.000000

321.600000.000000

附录三：

model:

sets:

classroom/1..26/:

x,pi,z;

endsets

data:

pi=640640640640640640640640640640640640640640640640640640800800800115211521152240240;

z=4848484848484848484848484848484848488282821561561563232;

enddata

!

目标函数;

min=@sum（i:

pi*x）;

!

约束条件;

@sum（classroom（i）:

0.8*z（i）*x（i））<=842;

@sum（classroom（i）:

0.95*z（i）*x（i））>=842;

@for（classroom（i）:

@bin（x（i）））;

End

运行结果：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

8016.000

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

4

VariableValueReducedCost

X

（1）1.000000640.0000

X

（2）1.000000640.0000

X（3）1.000000640.0000

X（4）0.000000640.0000

X（5）0.000000640.0000

X（6）0.000000640.0000

X（7）0.000000640.0000

X（8）0.000000640.0000

X（9）0.000000640.0000

X（10）0.000000640.0000

X（11）0.000000640.0000

X（12）0.000000640.0000

X（13）0.000000640.0000

X（14）0.000000640.0000

X（15）0.000000640.0000

X（16）0.00000