d.当F2>F时，有唯一解，如图丁所示.
图7
二、矢量相加的法则
[导学探究]
（1）既有大小，又有方向的物理量一定是矢量吗？
（2）矢量和标量的最本质的区别是什么？
答案
（1）不一定，一方面既有大小，又有方向，另一方面还需相加时遵从平行四边形定则的
物理量才是矢量.
（2）矢量与标量的本质区别是它们的运算方法不同.
[知识深化]
4.三角形定则：
把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的首端指向第二个矢量的末端的有向线
段就表示合矢量的大小和方向.三角形定则与平行四边形定则实质上是一致的.
5.实质：
平行四边形定则的简化（如图8）.
图8
例3如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成封闭的直角三角形（顶角为直角）.
下列4个图中，这三个力的合力最大的是（）
答案C
解析由矢量合成的法则可知，A中的合力的大小为2F1，B中的合力的大小为0，C中的合
力的大小为2F2，D中的合力的大小为2F3，因为F2是直角三角形的斜边，所以F2最大，所
以合力最大的是C选项.
三、力的正交分解
[导学探究]如图9所示，重为G的物体静止在倾角为θ的斜面上，以物体（可以看成质点）
为原点，沿斜面向下为x轴，垂直斜面向下为y轴，作图并求物体重力在x轴和y轴方向的
分力.
图9
答案如图所示
G1＝Gsinθ，G2＝Gcosθ
[知识深化]正交分解法
12.定义：
把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法.
13.正交分解法求合力的步骤：
（1）建立坐标系：
以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的
力在坐标轴上.
（2）正交分解各力：
将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，
如图10所示.
图10
（3）分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋⋯，Fy＝F1y＋F2y＋⋯.
（4）求共点力的合力：
合力大小F＝Fx
2＋F
y
2，设合力的方向与x轴的夹角为α，则tanα＝F
y
.
Fx
例4在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19N、40N、30N和15N，
方向如图11所示，求它们的合力.（sin37＝°0.6，cos37°＝0.8）
图11
答案38.2N，方向与F1夹角为45°斜向右上
解析本题若直接运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，需多次确定各个力的合力
的大小和方向，计算过程十分复杂.为此，可采用力的正交分解法求解此题.
如图甲，建立直角坐标系，
把各个力分解到这两个坐标轴上，
并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos37－°F3cos37＝°27N，
Fy＝F2sin37＋°F3sin37－°F4＝27N.
因此，如图乙所示，合力：
F＝Fx
2＋Fy2≈38.2N，tanφ＝F
y
＝1.
Fx
即合力的大小约为38.2N，方向与F1夹角为45°斜向右上.
14.坐标轴的选取原则：
坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取
一般有以下两个原则：
（1）使尽量多的力处在坐标轴上.
（2）尽量使某一轴上各分力的合力为零.
15.正交分解法的适用情况：
适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况.
针对训练如图12所示，水平地面上有一重60N的物体，在与水平方向成30°角斜向上、
大小为20N的拉力F作用下匀速运动，求地面对物体的支持力和摩擦力的大小.
图12
答案50N103N
解析对物体进行受力分析，如图所示，物体受重力G、支持力FN、拉力F、摩擦力Ff.建
立直角坐标系，
对力进行正交分解得：
y方向：
FN＋Fsin30－°G＝0①
x方向：
Ff－Fcos30°＝0②
由①②得：
FN＝50N，Ff＝103N.
四、力的分解的动态分析
图解法的一般步骤
（1）首先画出力的分解图.在合力、两分力构成的三角形中，一个是恒力，大小、方向均不变；
另两个是变力，其中一个是方向不变的力，另一个是大小、方向均改变的力.
（2）分析方向变化的力在哪个空间内变化，借助力的矢量三角形，利用图解法判断两个变力大
小、方向的变化.
（3）注意：
由图解可知，当大小、方向都可变的分力（设为F1）与方向不变、大小可变的分力垂
直时，F1有最小值.
例5用绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架
上.悬点A固定不动，将悬点B从图13所示位置逐渐移动到C点的过程中.分析绳OA和绳
OB上的拉力的大小变化情况.
图13
答案绳OA的拉力逐渐减小绳OB的拉力先减小后增大
解析解法一：
平行四边形法
在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，对AO、BO绳
的拉力分别为FTA1、FTA2、FTA3和FTB1、FTB2、FTB3，如图所示，从图中可以直观地看出，FTA
逐渐变小，且方向不变；而FTB先变小，后变大，且方向不断改变；当FTB与FTA垂直时，
FTB最小.
解法二：
矢量三角形法
将O点所受三力首尾连接，构造出矢量三角形如图乙所示：
将悬点B从图中所示位置逐渐移动到C点的过程中，绳OB上的拉力F3与水平方向的夹角α
逐渐增大，根据矢量三角形图可知绳OA的拉力F2逐渐减小，绳OB上的拉力F3先减小后增
大.
本题采用图解法研究动态平衡问题.图解法形象、直观，能直接反映力的变化情况.作图时要抓
住重力G不变、OA绳的方向不变，再由几何知识进行分析.
16.（按效果分解力）如图14所示，用轻绳系住一小球静止在光滑斜面上.若要按力的实际作用效
果来分解小球的重力G，则G的两个分力的方向分别是图中的（）
图14
A.1和4B.2和4C.3和4D.3和2
答案C
解析小球重力产生两个效果，一是使绳子拉伸，二是使斜面受压，故应按此两个方面分解，
分别是3和4.
17.（按效果分解力）为了行车方便与安全，高大的桥要造很长的引桥，其主要目的是（）
A.减小过桥车辆受到的摩擦力
B.减小过桥车辆的重力
C.减小过桥车辆对引桥面的压力
D.减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力
答案D
解析如图所示，重力G产生的效果是使物体下滑的分力F1和使物体压斜面的分力F2，则
F1＝Gsinθ，F2＝Gcosθ，倾角θ减小，F1减小，F2增大，高大的桥造很长的引桥主要目的
是减小桥面的坡度，即减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力，使行车安全，D正确.
18.（力的最小值问题）如图15所示，力F作用于物体的O点.现要使作用在物体上的合力沿OO′
方向，需再作用一个力F1，则F1的最小值为（）
图15
A.F1＝Fsinα
B.F1＝Ftanα
C.F1＝F
D.F1＜Fsinα
答案A
解析利用矢量三角形法.根据力的三角形定则，作F1、F与合力F合的示意图，如图所示.
在F1的箭尾位置不变的情况下，其箭头可在OO′线上滑动，由图可知，当F1与OO′即F
合垂直时，F1有最小值，其值为F1＝Fsinα.
19.
（力的动态变化分析）如图16，一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为
FN1，球对木板的压力大小为FN2.以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到
水平位置.不计摩擦，在此过程中（）
图16
A.FN1始终减小，FN2始终增大
B.FN1始终减小，FN2始终减小
C.FN1先增大后减小，FN2始终减小
D.FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
答案B
解析方法一：
解析法
对球进行受力分析，如图甲所示，小球受重力G、墙面对球的压力FN1、木板对小球的支持
力FN2′而处于平衡状态.则有tanθ＝
G′
＝
FN1
GG
，FN1＝
FN1tanθ
从图示位置开始缓慢地转到水平位置过程中，θ逐渐增大，tanθ逐渐增大，故FN1始终减小.
从图中可以看出，FN2′＝
G
，从图示位置开始缓慢地转到水平位置，θ逐渐增大，sinθ
sinθ
逐渐增大，故FN2′始终减小.
球对木板的压力FN2与木板对小球的支持力FN2′大小相等，故FN2始终减小.选项B正确.
方法二：
图解法
小球受重力G、墙面对球的压力FN1、木板对小球的支持力FN2′而处于平衡状态.此三力必
构成一封闭三角形，如图乙所示.从图示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，α逐渐减小，
据图可知FN1始终减小，FN2′始终减小.由于FN2与FN2′大小相等，所以FN2始终减小.选项
B正确.
20.（正交分解处理平衡问题）如图17所示，质量为m的物块与水平面之间的动摩擦因数为μ，
现用斜向下与水平方向夹角为θ的推力作用在物块上，使物块在水平面上匀速移动，求推力
的大小.（重力加速度为g）
图17
答案
μmg
cosθ－μsinθ
解析对物块受力分析如图所示
将物块受到的力沿水平和竖直方向分解，根据平衡条件有
水平方向：
Fcosθ＝Ff①
竖直方向：
FN＝mg＋Fsinθ②
又Ff＝μFN③
μmg
由①②③得F＝
cosθ－μsinθ
课时作业
一、单选题
将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中错误的是（）
答案C
解析重力产生了使物体下滑的效果及压斜面的效果，故两分力即图中所示，故A正确；重
力产生了向两边拉绳的效果，故B正确；重力产生了向两墙壁挤压的效果，故两分力应垂直
于接触面，故C错误；重力产生了拉绳及挤压墙面的效果，故D正确，本题选错误的，故选
C.
21.如图1所示，把光滑斜面上的物体所受重力mg分解为F1、F2两个力.图中FN为斜面对物
体的支持力，则下列说法正确的是（）
图1
A.F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力
B.F2是物体对斜面的正压力
C.物体受mg、FN、F1和F2四个力的作用
D.物体只受重力mg和弹力FN的作用
答案D
22.一个力的大小为30N，将此力分解为两个分力，这两个分力的大小不可能是（）
A.10N、10N
B.20N、40N
C.200N、200N
D.700N、720N
答案A
解析合力的大小小于两分力大小之和，大于两分力大小之差的绝对值，只有A不可能.
23.将一个有确定方向的力F＝10N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°
角，另一个分力的大小为6N，则在分解时（）
A.有无数组解B.有两组解
C.有唯一解D.无解
答案B
解析设方向已知的分力为F1，如图所示，则F2的最小值F2min＝Fsin30＝°5N.而5NN，F1、F2和F可构成如图所示的两个矢量三角形，故此时有两组解，B正确.
24.如图2所示，三段不可伸长的细绳，OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬
挂一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定在水平天花板上和竖直墙上.若逐渐增加C端
所挂重物的质量，则最先断的绳是（）
图2
A.必定是OA
B.必定是OB
C.必定是OC
D.可能是OB，也可能是OC
答案A
解析OC下悬挂重物，它对O点的拉力等于重物的重力G.OC绳的拉力产生两个效果：
使
OB在O点受到水平向左的力F1，使OA在O点受到沿绳子方向斜向下的力F2，F1、F2是G
的两个分力.由平行四边形定则可作出力的分解图如图所示，当逐渐增大所挂物体的质量时，
哪根绳受的拉力最大则哪根最先断.从图中可知：
表示F2的有向线段最长，F2分力最大，故
OA绳最先断.
25.甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1000N的力拉绳子，方向如图3所
示，则乙的拉力最小值为（）
图3
A.5003NB.500NC.1000ND.400N
答案B
解析要使船沿OO′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO′方向.如图所示，作
平行四边形可知，当乙拉船的力的方向垂直于OO′时，乙的拉力F乙最小，其最小值为F乙
min＝F甲sin30＝°1000×
1
2
N＝500N，故B正确.
26.如图4所示，清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量
为G，悬绳与竖直墙壁的夹角为α，悬绳对工人的拉力大小为F1，墙壁对工人的弹力大小为
F2，则（）
图4
A.F1＝
G
sinα
B.F2＝Gtanα
C.若缓慢减小悬绳的长度，F1与F2的合力变大
D.若缓慢增大悬绳的长度，F1减小，F2增大
答案B
解析工人受力如图所示，由力的分解，得F1cosα＝G，F1sinα＝F2，于是F1＝
G
，F2＝
cosα
Gtanα，所以A错，B对；缓慢减小悬绳的长度，α角变大，F1、F2都增大，工人仍然处于
平衡状态，所以F1与F2的合力不变，C、D均错.
27.如图5所示，某工人正在修理草坪，推力F与水平方向成α角，割草机沿水平方向做匀速
直线运动，则割草机所受阻力的大小为（）
图5
A.FsinαB.Fcosα
F
C.
sinα
D.
F
cosα
答案B
28.如图6所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面的动摩擦因数相同，受到三个大小相
同的作用力F，当它们滑动时，下列说法正确的是（）
图6
A.甲、乙、丙所受摩擦力相同
B.甲受到的摩擦力最大
C.乙受到的摩擦力最大
D.丙受到的摩擦力最大
答案C
解析题图中三个物体对地面的压力分别为FN甲＝mg－Fsinθ，FN乙＝mg＋Fsinθ，FN丙＝
mg，因它们均相对地面滑动，由Ff＝μFN知，Ff乙＞Ff丙＞Ff甲，故C正确.
29.如图7甲为我国著名选手张娟娟的射箭场景.拉弓时手对弦的作用力为F，弦的拉力分别为
FTA和FTB，如图乙所示，则箭被发射前的受力情况分析正确的是（）
图7
A.F一定大于FTA
B.FTA和FTB的大小之和等于F
C.箭受的合力为零
D.人将弦拉得越紧，箭受的合力越大
答案C
解析箭被发射前的瞬间，受力如图.
合力F可能大于FTA，也可能等于FTA，还可能小于FTA，故A、B错误，C正确；人将弦拉
得越紧，则夹角越小，那么拉力FTA越大，而箭受的合力却不变，故D错误.
二、非选择题
30.如图8所示，一位重600N的演员悬挂在绳上，若AO绳与水平方向的夹角为37°，BO绳
水平，则AO、BO两绳受到的拉力各为多大？
（sin37＝°0.6，cos37°＝0.8）
图8
答案1000N800N
解析人对竖直绳的拉力F等于人的重力G，由于该力的作用，AO、BO绳也受到拉力的作
用，因
此F产生了沿AO方向、BO方向使O点拉绳的分力F1、F2，将F沿AO方向和BO方向分
解成两个分力，如图所示，由画出的平行四边形可知：
AO绳上受到的拉力F1＝
G600
＝
sin37°sin37°
G600N＝1000N，BO绳上受到的拉力F2＝N＝800N.tan37°tan37°
＝
31.如图9所示，一个质量为m、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝α，AB边靠在竖
直墙上，F是垂直于斜面BC的推力，现物块静止不动，重力加速度为g，求物块受到的摩擦
力和弹力的大小
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