版物理学案导学与随堂笔记必修1第二章3.docx
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版物理学案导学与随堂笔记必修1第二章3
3匀变速直线运动的位移与时间的关系
知识内容
位移与时间的关系
考试要求
必考
加试
d
d
课时要求
1.知道v－t图象中的“面积”与位移的对应关系.
2.经历位移公式的探究过程，理解公式的意义及正负号的含义.
3.能运用位移公式解决简单问题.
4.掌握匀变速直线运动x－t图象的特点，并会用它解决简单的问题.
一、匀速直线运动的位移
1.位移公式：
x＝vt.
2.位移在v－t图象中的表示：
对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积.如图1所示阴影图形的面积就等于物体在t1时间内的位移.
图1
二、匀变速直线运动的位移
1.位移在v－t图象中的表示：
做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图线与时间轴所包围的梯形面积.如图2所示阴影图形面积等于物体在t1时间内的位移.
图2
2.公式：
x＝v0t＋
at2.
[即学即用]
1.判断下列说法的正误.
（1）位移公式x＝v0t＋
at2仅适用于匀加速直线运动.（×）
（2）初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大.（×）
（3）匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关.（√）
（4）匀变速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线.（×）
2.某质点的位移随时间的变化关系是x＝（4t＋4t2）m，则质点的初速度是v0＝______m/s，加速度a＝______m/s2，2s内的位移为________m.
答案4824
3.如图3所示，为一质点沿直线运动的v－t图象，则它在0～12s内的位移x＝________m，路程s＝________m.
图3
答案 －60180
解析v－t图线与t轴所围图形的“面积”表示位移，0～6s内的位移x1＝v1t1＝10m/s×6s＝60m,6～12s内的位移x2＝v2t2＝－20m/s×6s＝－120m,0～12s内的位移x＝x1＋x2＝－60m，路程s＝|x1|＋|x2|＝180m.
一、匀变速直线运动的位移时间关系式
[导学探究]
某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a.
（1）把匀变速直线运动的v－t图象分成几个小段，如图4所示.每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积.故整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和.
图4
（2）把运动过程划分为更多的小段，如图5所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移.
图5
（3）把整个运动过程分得非常细，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC，如图6所示，梯形面积就代表物体在相应时间间隔内的位移.
图6
（4）v－t图线下面梯形的面积
S＝
（OC＋AB）·OA
把面积及各条线段换成其所代表的物理量，上式变成
x＝
（v0＋v）t①
又因为v＝v0＋at②
由①②式可得
x＝v0t＋
at2.
[知识深化]
1.公式的适用条件：
位移公式x＝v0t＋
at2只适用于匀变速直线运动.
2.公式的矢量性：
x＝v0t＋
at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向.一般选v0的方向为正方向.
（1）a：
匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值.
（2）若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反.
3.两种特殊形式
（1）当v0＝0时，x＝
at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t2成正比.
（2）当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式.
例1一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2m/s2，求：
（1）第5s末物体的速度多大？
（2）前4s的位移多大？
（3）第4s内的位移多大？
答案
（1）10m/s
（2）16m（3）7m
解析
（1）第5s末物体的速度由v1＝v0＋at1
得v1＝0＋2×5m/s＝10m/s.
（2）前4s的位移由x1＝v0t＋
at2
得x1＝0＋
×2×42m＝16m.
（3）物体第3s末的速度v2＝v0＋at2＝0＋2×3m/s＝6m/s
则第4s内的位移x2＝v2t3＋
at
＝6×1m＋
×2×12m＝7m.
针对训练1某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2（m），则当物体速度为3m/s时，物体已运动的时间为（）
A.1.25sB.2.5s
C.3sD.6s
答案A
解析由x＝0.5t＋t2知，v0＝0.5m/s，a＝2m/s2，再由速度公式v＝v0＋at知，t＝1.25s，选项A正确.
二、位移－时间图象
[导学探究]一列火车沿直线轨道运动，如图7描述了它关于出发点的位移随时间变化的情况.
图7
（1）火车最远距离出发点多少米？
（2）试分析火车各阶段的运动状态.
答案
（1）90m
（2）火车在前2.5min内以0.6m/s的速度做匀速直线运动，在2.5min到3min火车停在距出发点90m的位置.
[知识深化]
1.x－t图象：
以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象叫位移—时间图象.
2.对x－t图象的理解
（1）斜率：
斜率的绝对值表示速度的大小；斜率的正负表示速度的方向.
（2）截距：
纵截距表示物体起始位置.
（3）交点：
交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇.
3.几种常见的位移－时间图象
（1）静止物体的x－t图象是平行于时间轴的直线，如图8直线A.
图8
（2）匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线，如图直线B和C，其斜率表示速度.其中B沿正方向运动，C沿负方向运动.
（3）匀变速直线运动的x－t图象：
由位移x＝v0t＋
at2可以看出，x是t的二次函数.当v0＝0时，匀变速直线运动的x－t图象是顶点在坐标原点的一部分曲线，曲线上某点切线的斜率表示那一时刻的速度，图9中切线斜率增大，质点的速度逐渐增大.
图9
例2一遥控玩具小汽车在平直路面上运动的位移—时间图象如图10所示，则下列说法正确的是（）
图10
A.前15s内汽车的位移为30m
B.20s末汽车的速度为1m/s
C.前10s内汽车的加速度为3m/s2
D.前25s内汽车做单方向直线运动
答案A
解析从图象上可以看出前15s内汽车的位移为30m，选项A正确；图象的斜率表示速度，故15～25s内汽车反向做匀速直线运动，速度为v＝
m/s＝－1m/s，选项B错误；前10s内汽车做匀速直线运动，加速度为零，10～15s内汽车静止，15～25s内汽车做反向匀速直线运动，选项C、D错误.
针对训练2如图11是A、B两个质点做直线运动的位移—时间图象.则（）
图11
A.在运动过程中，A质点总比B质点运动得快
B.在t＝0时，两质点是从同一地点出发的
C.当t＝t1时，两质点的速度相等
D.当t＝t1时，A、B两质点的加速度不相等
答案A
解析位移—时间图象中，图线的斜率对应质点的速度，所以A质点的速度比B质点的速度大，A正确.纵轴截距表示起始位置，B错误.t1时刻，两图象的斜率不同，两质点的速度不同，C错误.两质点都做匀速直线运动，加速度都等于零，D错误.
1.x－t图象上两点坐标之差表示对应时间内的位移Δx，即Δx＝x2－x1；
2.x－t图象的斜率k＝
表示质点的速度；
3.交点坐标表示两质点同一时刻到达同一位置，即相遇.
三、刹车类问题
例3一辆汽车正在平直的公路上以72km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动.设汽车减速过程的加速度大小为5m/s2，求：
（1）开始制动后，前2s内汽车行驶的距离；
（2）开始制动后，前5s内汽车行驶的距离.
答案
（1）30m
（2）40m
解析汽车的初速度v0＝72km/h＝20m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5m/s2；汽车运动的总时间t＝
＝
＝4s.
（1）因为t1＝2s故x1＝v0t1＋
at
＝（20×2－
×5×22）m＝30m.
（2）因为t2＝5s>t，所以汽车5s时早已停止运动
故x2＝v0t＋
at2＝（20×4－
×5×42）m＝40m
（注意：
也可以用逆向思维法，即对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动.此题可以用如下解法：
x2＝
at2＝
×5×42m＝40m）.
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动且运动过程不可逆，当速度减小到零时，车辆就会停止.解答此类问题的思路是：
（1）先求出它们从刹车到静止的刹车时间t刹＝
.
（2）比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解.若t>t刹，不能盲目把时间代入，若t1.（位移公式）一辆汽车以2m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2s（汽车未停下），汽车行驶了36m.汽车开始减速时的速度是（）
A.9m/sB.18m/s
C.20m/sD.12m/s
答案C
解析由x＝v0t＋
at2，将x＝36m，a＝－2m/s2，t＝2s，代入解得：
v0＝20m/s，选项C正确.
2.（位移公式和速度公式）飞机起飞的过程是由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动的过程.飞机在跑道上加速到某速度值时离地升空飞行.已知飞机在跑道上加速前进的距离为1600m，所用时间为40s，则飞机的加速度a和离地速度v分别为（）
A.2m/s280m/sB.2m/s240m/s
C.1m/s240m/sD.1m/s280m/s
答案A
解析根据x＝
at2得a＝
＝
m/s2＝2m/s2，飞机离地速度为v＝at＝2×40m/s＝80m/s.
3.（x－t图象）如图12所示为甲、乙两物体运动的x－t图象，下列关于甲、乙两物体运动的说法，正确的是（）
图12
A.甲、乙两个物体同时出发
B.甲、乙两个物体在同一位置出发
C.甲的速度比乙的速度小
D.t2时刻两个物体速度相同
答案C
解析由题图可知甲物体从t＝0时刻开始运动，而乙物体从t1时刻开始运动，故A错误；由题图可知甲物体从坐标为x1的位置开始运动，而乙物体从坐标为0的位置开始运动，故B错误；x－t图象的斜率等于物体运动的速度，由题图可知乙运动的速度大于甲运动的速度，t2时刻两物体的位移相同即两物体相遇，故C正确，D错误.
4.（刹车问题）一辆卡车紧急刹车过程加速度的大小是5m/s2，如果在刚刹车时卡车的速度为10m/s，求：
（1）刹车开始后1s内的位移大小；
（2）刹车开始后3s内的位移大小和3s内的平均速度大小.
答案
（1）7.5m
（2）10m
m/s
解析
（1）v0＝10m/s，a＝－5m/s2，t1＝1s，x1＝v0t1＋
at
解得x1＝7.5m.
（2）设经时间t0停下
t0＝
＝
s＝2s
t2＝3s时的位移大小等于前2s内的位移大小
x2＝v0t0＋
at
＝10m
3s内的平均速度
＝
＝
m/s.
课时作业
一、单选题
1.下列关于匀变速直线运动及公式x＝v0t＋
at2中的加速度的方向和正、负值的说法，错误的是（）
A.对匀加速直线运动，公式中a一定取正值
B.匀加速直线运动中加速度方向一定和初速度方向相同
C.匀加速直线运动中加速度也有可能取负值
D.若规定初速度方向为正方向，则匀加速直线运动公式中a取正值
答案A
解析只有加速度方向与初速度方向相同时，物体才会做加速运动，所以选项B正确；若规定初速度方向为负方向，则减速运动时，加速度为正值，加速运动时，加速度为负值，所以选项A错误，C、D正确.选项A符合题意.
2.一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4x的位移所用的时间为（）
A.
B.
C.2tD.4t
答案C
解析由x＝
at2和4x＝
at′2得：
t′＝2t，故C对.
3.一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s末的速度达到4m/s，物体在第2s内的位移是（）
A.6mB.8m
C.4mD.1.6m
答案A
解析根据速度公式v1＝at，得a＝
＝
m/s2＝4m/s2.第1s末的速度等于第2s初的速度，所以物体在第2s内的位移x2＝v1t＋
at2＝4×1m＋
×4×12m＝6m.故选A.
4.（2016·金华市期末）如图1所示是甲、乙两物体从同一点开始做直线运动的运动图象，下列说法正确的是（）
图1
①若y表示位移，则t1时间内甲的位移小于乙的位移
②若y表示速度，则t1时间内甲的位移小于乙的位移
③若y表示位移，则t＝t1时甲的速度大于乙的速度
④若y表示速度，则t＝t1时甲的速度大于乙的速度
A.①②B.①④C.②③D.③④
答案C
解析若y表示位移，则t1时间内甲的位移等于乙的位移，①错误；若y表示速度，根据速度图象与时间轴所围的面积表示位移，则t1时间内甲的位移小于乙的位移，②正确；若y表示位移，根据位移图象斜率表示速度，则t＝t1时甲的速度大于乙的速度，③正确；若y表示速度，则t＝t1时甲的速度等于乙的速度，④错误.本题选C.
5.一质点以一定的初速度向东做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝（10t－t2）m，则（）
A.质点初速度为10m/s
B.质点的加速度大小是1m/s2
C.2s末的速度为8m/s
D.在2s末，质点在出发点西边，距出发点24m
答案A
解析由x＝v0t＋
at2＝10t－t2知，v0＝10m/s，a＝－2m/s2，选项A正确，B错误；将t＝2s代入v＝（10－2t）m/s和x＝（10t－t2）m得，2s末速度v＝6m/s,2s内位移x＝16m，为正值，故质点在出发点东边，C、D项错误.
6.由静止开始做匀加速直线运动的火车，在第10s末的速度为2m/s，下列叙述中不正确的是（）
A.前10s内通过的位移为10m
B.每秒速度变化0.2m/s
C.10s内平均速度为1m/s
D.第10s内的位移为2m
答案D
解析由v＝at，得a＝0.2m/s2，故前10s内的位移x＝
at2＝
×0.2×102m＝10m，选项A、B正确.10s内平均速度
＝
＝
m/s＝1m/s，选项C正确.t＝10s时，x10＝
at2－
a（t－1）2＝1.9m，选项D错误.
7.某物体运动的v－t图象如图2所示，根据图象可知，该物体（）
图2
A.在0到2s末的时间内，加速度为1m/s2
B.在0到5s末的时间内，位移为10m
C.第1s末与第3s末的速度方向相反
D.第1s内与第5s内加速度方向相同
答案A
解析在0到2s末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a＝
＝
m/s2＝1m/s2，故A正确.0到5s内物体的位移等于梯形面积x＝
×（2＋5）×2m＝7m，故B错误.第1s末速度图象在时间轴上方，速度为正，第3s末速度图象也在时间轴上方，速度也为正，速度方向相同，故C错误.第1s内图线的斜率为正值，加速度沿正方向，而第5s内图线的斜率为负值，加速度方向沿负方向，则第1s内与第5s内物体的加速度方向相反，故D错误.
8.甲、乙两位同学在放学时，从学校所在地骑自行车沿平直的公路回家，先到乙同学家，休息一会，甲同学继续骑车前行，在70min时到家，甲同学的x－t图象如图3所示，下列说法错误的是（）
图3
A.在前20min内甲同学做匀加速运动
B.甲同学在乙同学家停留了30min
C.甲、乙两同学家相距3.6km
D.甲从离开学校至到家的这段时间内，平均速度为2m/s
答案A
解析前20min，甲同学做匀速直线运动，A错.20～50min内甲同学一直在乙同学家，B对.甲、乙两同学家的距离为8.4km－4.8km＝3.6km，C对.甲同学从学校到家的位移x＝8.4km，所用时间t＝70min＝4200s，平均速度v＝
＝
m/s＝2m/s，D对.本题选A.
9.如图4，折线是表示物体甲从A地向B地运动的x－t图象，直线表示物体乙从B地向A地运动的x－t图象，则下列说法正确的是（）
图4
A.在2～6s内甲做匀速直线运动
B.乙做匀速直线运动，其速度大小为5m/s
C.从计时开始至甲、乙相遇的过程中，乙的位移大小为60m
D.在t＝8s时，甲、乙两物体的速度大小相等
答案B
解析位移－时间图象的斜率表示速度，故乙做匀速直线运动，甲在0～2s内做匀速直线运动，2～6s内处于静止状态，A错误；乙做匀速直线运动的速度为v乙＝
m/s＝－5m/s，负号表示朝着负方向运动，B正确；在t＝8s时，甲、乙相遇，此时甲的斜率即速度为v甲＝
m/s＝10m/s，乙的速度为－5m/s，故两物体速度大小不相等，相遇时乙的位移大小为40m，C、D错误.
二、非选择题
10.一物体做匀加速直线运动，初速度为v0＝5m/s，加速度a＝0.5m/s2，求：
（1）物体在3s内的位移；
（2）物体在第3s内的位移.
答案
（1）17.25m
（2）6.25m
解析
（1）根据匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋
at2，3s内物体的位移x3＝v0t3＋
at
＝5×3m＋
×0.5×32m＝17.25m.
（2）2s内物体的位移x2＝v0t2＋
at
＝5×2m＋
×0.5×22m＝11m.
第3s内的位移x＝x3－x2＝17.25m－11m＝6.25m.
11.在平直公路上，一汽车的速度为20m/s.从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以大小为4m/s2的加速度运动，问：
刹车后第6s末汽车离开始刹车点多远？
答案50m
解析设汽车实际运动时间为t，v＝0，a＝－4m/s2，
由v＝v0＋at，知汽车刹车时的运动时间为：
t＝
＝
s＝5s，
即汽车刹车做匀减速直线运动的总时间为5s，
所以汽车的位移x＝v0t＋
at2＝20×5m＋
×（－4）×52m＝50m.
6s>5s，第6s末汽车离开始刹车点50m.
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