讲稿版利用Matlab模拟点电荷电场的分布.docx

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讲稿版利用Matlab模拟点电荷电场的分布

利用MATLAB模拟点电荷电势的分布

一、目的

1.熟悉单个点电荷及一对点电荷的电势分布情况；

2.学会使用MATLAB进行数值计算，并绘出相应的图形；

二、原理

根据库仑定律：

在真空中，两个静止点电荷之间的作用力与这两个电荷的电量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的连线上，两电荷同号为斥力，异号为吸引力，它们之间的力

满足：

（式1）

由电场强度

的定义可知：

（式2）

对于点电荷，根据场论基础中的定义，有势场

的势函数为

（式3）

在MATLAB中，由以上公式算出各点的电势

，可以用MATLAB自带的库函数绘出相应的电势分布情况。

三、MATLAB基本语法

（一）标识符与数

标识符是标志变量名、常量名、函数名和文件名的字符串的总称。

（二）矩阵及其元素的赋值

赋值就是把数赋予代表常量或变量的标识符。

MATLAB中的变量或常量都代表矩阵，标量应看作1×1价的矩阵。

赋值语句的一般形式为

变量=表达式（或数）

列如，输入语句

a=[123;456;789]

则显示结果为

a=123

456

789

输入x=[123456789]

结果为

x=123456789

可以看出，矩阵的值放在方括号中，同一行中各元素之间以逗号或空格分开，不同行的元素以分号隔开。

语句的结尾可用回车或逗号“，”，此时会立即显示运算结果；如果不希望显示结果，就以分号“；”结尾再回车，此时运算仍然执行，只是不作显示。

变量的元素用圆括号“（）”中的数字（也称为下标）来注明，一维矩阵（也称数组）中的元素用一个下标表示，二维矩阵可有两个下标数，以逗号分开。

在MATLAB中可以单独给元素赋值，例如，a（2,3）=6,x

（2）=2等。

（三）元素群运算

把n×m矩阵中的每个元素当作对象，成群地执行某种运算，称为元素群运算。

元素群运算能大大简化编程，提高运算的效率，这是MATLAB优于其它许多语言的一个特色。

1、数组及其赋值

数组通常是指单行或单列的矩阵，一个N阶数组就是1×N或N×1阶矩阵。

N阶数组可以表示N维向量。

在求某些函数值或曲线时，常常要设定自变量的一系列值，例如，设间隔n在x轴上从-3到3之间，每隔1取一个点，共7个点，这是1×7阶的数组。

如果逐点给它赋值，将非常麻烦。

MATLAB提供了两种给等间隔数组赋值的简易方法。

（1）用两个冒号组成等增量语句，其格式为x=[初值：

增量：

终值]。

例如，键入

x=[-3：

1：

3]

得x=-3-2-10123

当然增量为1时，这个增量值是可以略去的。

（2）linspace函数表述等距离分割，其格式为x=linspace（初值，终值，点数）。

例如键入

x=linspace（-3,3,7）

得x=-3-2-10123

在x轴上-3和3实际上是一个点，所以这个命令是把x轴分为7份。

第三个变元也可以不写，此时取默认值100.

2、元素群的四则运算和幂次运算

元素群运算也就是单个元素之间的运算。

为了与矩阵作为整体的运算符号相区别，要在运算符“*”、“/”、“\”、“^”前加一个点符号“.”,以表示进行元素群运算。

矩阵的加减法本来就是对元素进行的，故不再有元素群运算符。

参与元素群运算的两个矩阵必须是同价的（标量除外）。

下列的例子可以说明利用元素群运算的优越性。

例如，要求列出一个三角函数表。

这在MATLAB中只要一下两个语句

键入x=[0：

0.1：

pi/4]’;[x,sin（x）,cos（x）,tan（x）]

第一条语句把数组x赋值，经转置后成为一个列向量。

因为sin,cos,tan函数都对元素群有效，得出的都是同阶的列向量。

第二条语句把4个列向量组成一个矩阵，进行显示。

得001.00000

0.10000.09980.99500.1003

0.20000.19870.98010.2027

0.30000.29550.95530.3093

0.40000.38940.92110.4228

0.50000.47940.87760.5463

0.60000.56460.82530.6841

0.70000.64420.76480.8432

第一列是x，以下各列依次是sin（x）,cos（x）,tan（x）。

for语句

for语句的结构形式为

fork=初值：

增量：

终值语句组A，end

即它把语句组A反复执行N次。

在每次执行时程序中k值不同。

可以算出循环次数为N=1+（终值—初值）/增量

用for语句求三角函数表的程序为

forx=0：

0.1：

pi/4

disp（[x,sin（x）,cos（x）,tan（x）]）;

end

所得结果将和上个例题中的答案相同。

可以看出，MATLAB的元素群运算功能与一个for循环相当，由于它不需要每次检验表达式，运算速度比for语句快得多。

for语句可以嵌套使用。

四、MATLAB现用函数介绍

MATLAB语言的难点是函数较多，仅基本部分就有700多个，其中常用的近200个，要尽量多记少查，以提高编程效率，而且这是终生受益的。

1、线型分隔函数linspace（-xm,xm，n）：

在-xm与xm之间均分地产生n个点值，形成1×n元向量。

其中-xm是初值，xm是终值，n是点数。

2、两个变量的标量指令[X,Y]=meshgrid（x,y）：

将向量x,y变换为数组X,Y，这样就可以将两个一维向量生成两个二维矩阵。

其中，数组X的各行是向量x的拷贝，总行数为y向量的元素个数；数组Y的各列是向量y的拷贝，总列数为x向量的元素个数。

例如x=-3:

3;

y=1:

5;

[X,Y]=meshgrid（x,y）

X=-3-2-10123

-3-2-10123

-3-2-10123

-3-2-10123

-3-2-10123

Y=1111111

2222222

3333333

4444444

5555555

Z=（X+Y）.^2

Z=41014916

101491625

0149162536

14916253649

491625364964

3、二维空间中绘制等高线函数contour（X,Y,U,u）：

就是挑选出电势相等的点，并在向量u指定的值上绘制等高线。

注意u取值要恰当。

四、编程

1.画单个点电荷的平面电场线与等势线

clear%清除变量

E0=8.85e-12;%真空电介质常数

C0=1/4/pi/E0;%归并常数

q=1.6*10^（-19）;%元电荷电量

xm=2.5;%横坐标范围

ym=2;%纵坐标范围

x=linspace（-xm,xm）;%横坐标向量

y=linspace（-ym,ym）;%纵坐标向量

[X,Y]=meshgrid（x,y）;%设置坐标网点

R=sqrt（X.^2+Y.^2）;%点电荷到场点的距离

U=C0*q./R;%计算电势

u=1e-9:

0.5e-9:

5e-9;%等电势的电势向量

figure%创建图形窗口

contour（X,Y,U,u）%画等高线

holdon%保持图形

plot（0,0,'o','markersize',12）%画点电荷

axisequaltight%使坐标刻度相等

title（'单个点电荷的平面电场线与等势线','fontsize',20）%显示标题

xlabel（'r','fontsize',16）%显示横坐标

ylabel（'E（U）','fontsize',16）%显示纵坐标

2.画一对点电荷对的电场线和等势线

clear%清除变量

E0=8.85e-12;%真空电介质常数

C0=1/4/pi/E0;%归并常数

q=1.6*10^（-19）;%元电荷电量

a=1;%电量比

xm=2.5;%横坐标范围

ym=2;%纵坐标范围

x=linspace（-xm,xm）;%横坐标向量

y=linspace（-ym,ym）;%纵坐标向量

[X,Y]=meshgrid（x,y）;%设置坐标网点

R1=sqrt（（X+1）.^2+Y.^2）;%第一个正电荷到场点的距离

R2=sqrt（（X-1）.^2+Y.^2）;%第二个正电荷到场点的距离

U=C0*q./R1+C0*q./R2;%计算电势

u=1e-9:

0.5e-9:

5e-9;%等电势的电势向量

figure%创建图形窗口

contour（X,Y,U,u）画等势线

gridon%加网格

legend（num2str（u'））%图例

holdon%保持图像

plot（-1,0,'o','markersize',12）%画第一个正电荷

plot（1,0,'o','markersize',12）%画第二个正电荷

axisequaltight%使坐标刻度相等

title（'等量同号点电荷的电场线和等势线','fontsize',20）%显示标题

xlabel（'r','fontsize',16）%显示横坐标

ylabel（'E（U）','fontsize',16）%显示纵坐标

txt=['µçºÉ±È:

\itQ\rm_2/\itQ\rm_1='num2str（a）];%电荷比文本

text（-xm,-ym-0.3,txt,'fontsize',16）%显示电荷比

下列的例子可以说明利用元素群运算的优越性。

例如，要求列出一个三角函数表。

这在MATLAB中只要一下两个语句

键入x=[0：

0.1：

pi/4]’;[x,sin（x）,cos（x）,tan（x）]

第一条语句把数组x赋值，经转置后成为一个列向量。

因为sin,cos,tan函数都对元素群有效，得出的都是同阶的列向量。

第二条语句把4个列向量组成一个矩阵，进行显示。

得001.00000

0.10000.09980.99500.1003

0.20000.19870.98010.2027

0.30000.29550.95530.3093

0.40000.38940.92110.4228

0.50000.47940.87760.5463

0.60000.56460.82530.6841

0.70000.64420.76480.8432

第一列是x，以下各列依次是sin（x）,cos（x）,tan（x）。

for语句

for语句的结构形式为

fork=初值：

增量：

终值语句组A，end

即它把语句组A反复执行N次。

在每次执行时程序中k值不同。

可以算出循环次数为N=1+（终值—初值）/增量

用for语句求三角函数表的程序为

forx=0：

0.1：

pi/4

disp（[x,sin（x）,cos（x）,tan（x）]）;

end

所得结果将和上个例题中的答案相同。

可以看出，MATLAB的元素群运算功能与一个for循环相当，由于它不需要每次检验表达式，运算速度比for语句快得多。

for语句可以嵌套使用。