实验3 利用FFT计算线性卷积.docx
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实验3利用FFT计算线性卷积
实验3利用FFT计算线性卷积
一、实验目的
1.掌握利用FFT计算线性卷积的原理及具体实现方法。
2.加深理解重叠相加法和重叠保留法。
3.考察利用FFT计算线性卷积各种方法的适用范围。
二、实验设备与环境
计算机、matlab软件环境。
三、实验基础理论
1.线型卷积和圆周卷积
设x（n）为L点序列，h（n）为M点序列，x（n）和h（n）的线性卷积为
的长度为L+M-1。
x（n）和h（n）的N点圆周卷积为
圆周卷积与线性卷积相等而不产生交叠的必要条件为
圆周卷积定理：
根据DFT的性质，x（n）和h（n）的N点圆周卷积的DFT等于它们DFT的乘积
2.快速卷积
快速卷积算法用圆周卷积实现线性卷积，根据圆周卷积定理利用FFT算法实现圆周卷积。
可以将快速卷积的步骤归纳如下：
（1）为了使线性卷积可以用圆周卷积来计算，必须选择
;同时为了能使用基-2FFT完成卷积运算，要求
。
采用补零的办法使x（n）和h（n）的长度均为N。
（2）计算x（n）和h（n）的N点FFT
（3）组成乘积
（4）利用IFFT计算Y（K）的IDFT，得到线性卷积y（n）
3.分段卷积
我们考察单位取样响应为h（n）的线性系统，输入为x（n）,输出为y（n），则
当输入序列x（n）极长时，如果要等x（n）全部集齐时再开始进行卷积，会使输出相对输入有较大的延时，再者如果序列太长，需要大量存贮单元。
为此我们把x（n）分段，分别求出每段的卷积，合在一起得到最后总的输出。
这种方法称为分段卷积分段卷积可细分为重叠保留法和重叠相加法。
重叠保留法：
设x（n）的长度为
，h（n）的长度为M。
我们把序列x（n）分成多段N点序列
（n）,每段与前一段重叠M-1个样本。
由于第一段没有前一段保留信号，为了修正，我们在第一个输入端前面填充M-1个零。
计算每一段与h（n）的圆周卷积，则其每段卷积结果的前M-1个样本不等于线性卷积值，不是正确的样本值。
所以我们将每段卷积结果的前M-1个样本社区，只保留后面的N-M+1个正确输出样本，把这些输出样本合起来，得到总输出。
利用FFT实现重叠保留发的步骤如下：
（1）在x（n）前面填充M-1个零，扩大以后的序列为
（2）将x（n）分为若干N点子段，设L=N-M+1为每一段的有效数据长度，则第i段
（n）（
）的数据为
（3）计算每一段与h（n）的N点圆周卷积，利用FFT计算圆周卷积：
（4）舍去每一段卷积结果的前M-1个样本，连接剩下样本，得到卷积结果y（n）。
重叠相加法：
设h（n）长度为M，将信号x（n）分解成长为L的子段，建议L选择与的M数量级相同，以
（n）表示没每段信号，则
每一段卷积
的长度为L+M-1,所以在做求和时，相邻两段序列有M-1个样本重叠，即前一段的最后M-1个样本喝下一段的前M-1个序列重叠，这个重叠部分相加，再与不重叠部分共同组成输出y（n）。
利用FFT实现重叠保留法的步骤如下：
（1）将x（n）分为若干L点子段
（n）。
（2）计算每一段与h（n）的卷积
，根据快速卷积算法利用FFT计算卷积。
（3）将各段
相加，得到输出y（n）
四、实验内容
假设要计算序列x（n）=u（n）-u（n-L），0<=n<=L和h（n）=cos（0.2
n）,0<=n<=M的线性卷积，完成以下实验内容
1.设L=M，根据线性卷积的表达式和快速卷积的原理，分别编程实现计算两个序列线性卷积的方法，比较当序列长度分别为8,16,32,64,256,512,1024时，两种方法计算线性卷积所需时间。
实验代码及结果：
程序Exp3_1代码
L=input（'L='）;
M=input（'M='）;
xn=linspace（1,1,L）;
hn=cos（0.2*pi*[0:
M-1]）;
yn1=zeros（1,L+M-1）;
tic
fork=0:
L+M-1
forn=max（[0k-M+1]）:
min（[kL-1]）
yn1（k+1）=yn1（k+1）+xn（n+1）*hn（k-n+1）;
end
end
toc
tic
Xk=fft（xn,L+M-1）;
Hk=fft（hn,L+M-1）;
Yk=Xk.*Hk;
yn2=ifft（Yk）;
toc
>>Exp3_1
L=8
M=8
Elapsedtimeis0.000136seconds.
Elapsedtimeis0.000033seconds.
>>Exp3_1
L=16
M=16
Elapsedtimeis0.000205seconds.
Elapsedtimeis0.000030seconds.
>>Exp3_1
L=32
M=32
Elapsedtimeis0.000419seconds.
Elapsedtimeis0.000056seconds.
>>Exp3_1
L=64
M=64
Elapsedtimeis0.000911seconds.
Elapsedtimeis0.000117seconds.
>>Exp3_1
L=256
M=256
Elapsedtimeis0.005773seconds.
Elapsedtimeis0.000261seconds.
>>Exp3_1
L=512
M=512
Elapsedtimeis0.017060seconds.
Elapsedtimeis0.000190seconds.
>>Exp3_1
L=1024
M=1024
Elapsedtimeis0.055688seconds.
Elapsedtimeis0.000524seconds.
由此可见，线性卷积慢得多
2.当L=2048且M=256时，比较直接计算线性卷积和快速卷积所需时间，进一步考察当L=4096且M=256时两种算法所需的时间。
实验代码及结果：
>>Exp3_1
L=2048
M=256
Elapsedtimeis0.035421seconds.
Elapsedtimeis0.000448seconds.
由此可见，快速卷积快
>>Exp3_1
L=4096
M=256
Elapsedtimeis0.069497seconds.
Elapsedtimeis0.001463seconds.
由此可见，快速卷积快
3.编程实现利用重叠相加法计算两个序列的线性卷积，考察L=2048且M=256时计算线性卷积的时间，与第二题的结果进行比较。
实验代码及结果：
程序Exp3_3代码
L=input（'L='）;
M=input（'M='）;
xn=linspace（1,1,L）;
hn=cos（0.2*pi*[0:
M-1]）;
tic
Xk=fft（xn,L+M-1）;
Hk=fft（hn,L+M-1）;
Yk=Xk.*Hk;
yn2=ifft（Yk）;
toc
yn=[];
tic
x1n=[linspace（0,0,M-1）xn];
Hk=fft（hn,2*M）;
iend=floor（length（x1n）/（M+1））+1;
fori=0:
iend
xin=x1n（i*（M+1）+1:
min（[length（x1n）i*（M+1）+2*M]））;
Xik=fft（xin,2*M）;
Yik=Xik.*Hk;
yin=ifft（Yik）;
yn=[ynyin（M:
2*M）];
end
yn=yn（1:
L+M-1）;
toc
>>Exp3_3
L=2048
M=256
Elapsedtimeis0.000340seconds.
Elapsedtimeis0.000513seconds.
>>Exp3_3
L=8192
M=256
Elapsedtimeis0.003971seconds.
Elapsedtimeis0.002105seconds.
分析：
当L=2048M=256时，重叠相加比较慢，原因是程序控制流耗时较多。
但是，随着序列L的增长，重叠相加变得较快
4.编程实现利用重叠保留法计算两个序列的线性卷积，考察L=2048且M=256时计算线性卷积的时间，与第二题的结果进行比较。
实验代码及结果：
程序Exp3_4代码
L=input（'L='）;
M=input（'M='）;
xn=linspace（1,1,L）;
hn=cos（0.2*pi*[0:
M-1]）;
tic
Xk=fft（xn,L+M-1）;
Hk=fft（hn,L+M-1）;
Yk=Xk.*Hk;
yn2=ifft（Yk）;
toc%Ö±½Ó¼ÆËã¾í»ý
tic
Hk=fft（hn,2*M-1）;
iend=floor（length（xn）/M）;
i=0;
xin=xn（i*M+1:
min（[（i+1）*Mlength（xn）]））;
Xik=fft（xin,2*M-1）;
Yik=Xik.*Hk;
yin=ifft（Yik）;
yn=yin;%µÚÒ»´Î¼ÆËã
fori=1:
iend
xin=xn（i*M+1:
min（[（i+1）*Mlength（xn）]））;
Xik=fft（xin,2*M-1）;
Yik=Xik.*Hk;
yin=ifft（Yik）;
yn=[yn（1:
（length（yn）-M+1））yn（（length（yn）-（M-2））:
length（yn））+yin（1:
M-1）yin（M:
2*M-1）];%Æ´½ÓÐòÁÐ
end
yn=yn（1:
L+M-1）;
toc
>>Exp3_4
L=2048
M=256
Elapsedtimeis0.000441seconds.
Elapsedtimeis0.001055seconds.
>>Exp3_4
L=32768
M=1024
Elapsedtimeis0.018384seconds.
Elapsedtimeis0.016179seconds.
分析：
当L=2048M=256时，重叠保留比较慢，原因是程序控制流耗时较多
但是，随着序列L及M的增长，重叠相加变得较快。
五、收获与体会
正式由于DFT存在着快速算法——FFT,所以DFT才成为了实用的工具，这也使得实时信号处理成为可能。
本实验通过快速算法和朴素算法的对比，进一步体会到了快速算法的优越性。
由于实验者本人MATLAB编程水平很低，程序控制语句的应用并不出色，所以分段卷积在某些情况下出现了相反的结果。
然而，其趋势是明显的，如果用专用硬件实现这些算法，其潜力是巨大的。
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