复变函数与积分变换学习指导第三章.docx
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复变函数与积分变换学习指导第三章
第三章 复变函数的积分
复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具。
解析函数的许多重要性质都要利用复变函数的积分来证明。
本章的重点是第二节柯西积分定理，第三节柯西积分公式及其推论。
约定，除非特别声明，否则，曲线指光滑或逐段光滑曲线，围线指逐段光滑的简单闭曲线，逆时针方向为正向，顺时针方向为负向。
第一节 复积分的概念及简单性质
一.概念
1.定义 设有向曲线（）以为起点，
为终点，沿有定义，顺着沿从到的方向在
上取分点，把曲线分成若干个弧段，
在从到的每一个弧段上任取一点,并作和数
,其中,如果当分点无限增多，而
这些弧段长度的最大值趋于零时,和数的极限存在且等于,则称
沿从到可积，称为沿从到的积分，并记
为，其中称为积分路径。
注
（1）“和数的极限”是指复数列的极限。
（2）积分存在时一般记为，而不写成。
因
为的值不仅与,有关，而且和积分路径有关。
（3）表示沿的正方向的积分，表示
沿的负方向的积分。
2.可积的必要条件
沿可积沿有界。
3.可积的充分条件
定理3.1 若沿曲线连续，则沿
可积且
证 记
由于沿曲线连续,故沿曲线连续，从而
均存在。
因此，
二.性质
1.线性
（为复常数）
2.可加性
（由,衔接而成）
3.方向性
4.绝对值不等式
（表示弧长的微分）
5.积分估值
定理3.2 沿连续且使，的长为，
则。
证
4.,取极限即得。
5.,取极限即得。
例1表示连接的任一曲线，则
（1）
（2）
证
（1）取,。
令，
当时,，故。
（2）取，，
则，令，
则；取，
则，从而，
于是
例2 求
其中为以为中心为半径的圆周。
（重要积分）
解
,当时，
当时，
例3试证，其中为连接和的直线段。
证
由于沿连续且
,故。
例4试证。
证 由于，故
式中等号当且仅当时成立，但依题意，故得证。
例5计算，其中为
（1）连接到的直线段；
（2）连接到的直线段及连续到的直线段所成折线。
解
（1）,
（2）
例6 计算
（1）
（2）
（3） （4）
解 的参数方程为
（1） （重要积分）
（2）
（3）
（4）
作业P135:
1、2、3
第二节柯西积分定理
数学分析中，若为封闭光滑曲线，所围成的区域为
如果有，则以上两积分均为0。
于是思考必与的解析性有关，可以证明还与区域的单连通性有关。
一.柯西积分定理
1.柯西积分定理
定理3.3设函数在平面上的单连通区域解析,为
任一围线，则。
证明 略（古莎证明不难但太繁琐）
2.柯西积分定理的等价形式
定理设是一围线,为的部,在闭域上解
析，则。
注在闭域解析在包含的某区域解析
证明等价性“定理3.3定理3.3”由注即得。
“定理定理3.3”
设为的部则在上解析,由定理，
，即得。
例1 求。
解 的奇点为，在的外部，
故在以为边界的闭圆上解析，
故。
3.两个推论
推论3.4若在平面上单连通区域解析,为任
一闭曲线（不必是简单的，即可能有重点），
则
证可看作有限多条围线衔接而成。
推论3.5若在平面上单连通区域解析,则在积
分与路径无关。
证 取任意两点与，设起点为,终点为。
为
连接与的任意曲线,且连接成一个围线，
则
从而
例2求，从－1到1的上半单位圆周。
解 由于在平面解析,故。
例3 分析在为
（1）从－1到1的上半单位圆周；
（2）从－1到1的下半单位圆周；
（3）从－1到再到1的折线段，
时三者的关系。
解 由于在平面仅有奇点，
故。
二.柯西积分定理的两种推广
1.条件减弱
定理3.9设为围线的部。
函数在解析，在
上连续，则。
证明：
略。
注条件“在上连续,在上解析”不可改写为“在
解析在上连续”。
例4,取的分支。
解 由在上解析
故在上连续，从而
2.适用围推广（有界单连通有界多连通区域）
定义复围线由条相邻（不相交也不相切）
的围线构成,其中中每一条都在其余各条的外部,而它
们又全都在的部。
的方向定为：
当观察者沿的正方向
绕行时，为边界的有界多连通区域总在他的左手
边。
定理3.10设是复围线所围成的有界多连通区
域，在解析，在连续，则
，
即沿外边界积分等于沿边界积分之和。
证取条互不相交且完全在（端点除外）的光滑弧
为割线,依次与连接。
设想将沿割线割破，则
就被分成两个单连通区域，其边界分别为围线与围线,于是
，,
且
例5设为围线部一点，求。
解以为圆心作圆周,使全含于的部,则在
部、外部所成区域上解析，在上连续，故
。
例6计算，其中
（1）
（2）。
解
（1）由于的奇点在的部，而奇
点在的外部，故在上解析。
于是，
故。
（2）由于的奇点及均在的部,故在
分别作以、1为心，半径均为的小圆、，则
在以及、为边界的多连通区域解
析，在上连续，故
三.变上限积分与原函数
1.变上限积分
定义设在单连通区域解析，为一定点，对任意
,定义的变上限积分为。
是
一个单值函数。
定理3.6设在单连通区域解析，则变上限积分在
解析且。
证,以为心,为半径作一含于的小圆，取圆动点
，取到的曲线，使其经过点并全含于。
由于在连续，
故，
又由于
故
由的任意性知，当时，
即。
定理3.7
（1）在单连通区域连续；
（2）沿任一围线的积分值为0
（从而积分与路径无关），
在解析
（为中一定点）,且
2.原函数
定义设在区域连续，若则称
为的一个不定积分或一个原函数。
定理3.8若在单连通区域解析（或①在连续②
沿任一围线的积分值为0）,则
（1）的
不定积分一般表达式为；
（2）若为的一个不定积分，
则。
证
（1）由,根据第二章习题的结
论即知，即得。
（2）设为的一个原函数，
则由
（1），。
令则得，从而得证。
例计算积分路径是顶点为,,,的四边
形的边。
解 取位于原点右边连接到的右半单位圆周。
设,则,从而。
作业
P136:
4
（1）
（2）、6、8
第三节柯西积分公式及其推论
一.柯西积分公式
1.柯西积分公式
定理3.11设区域的边界是围线（或复围线）,在解析，
在上连续。
则
或。
称为柯西积分。
证 对任意固定，由于在连续，
故。
令，则在以为唯一奇点，
故
又
故
由的任意性，即有，从而得证。
例1 求，其中（１）
（2）
解
（1）原式
（2）原式
例2求
解法一
解法二
注公式中是被积函数在部的唯一奇点,若
在部有两个以上奇点，就不能直接应用柯西积分
公式。
例3求
解
2.柯西高阶导数公式
定理3.13 若在区域解析，在上连续，则
在有各阶导数，
且
证 当时，对，
下证
在充分小时不超过任给正数。
设沿,,表示与上点间的最短距离，于是
当时，，先设，
于是，
故，
其中为的长度
只要取，
即得
当时公式成立，当时，
只须验证在时
以为极限，方法和证明时类似，
但稍微复杂些，略去。
例4计算,是绕一周的围线。
解
例5设,求
解
当时，由柯西积分定理，从而
当时，由柯西高阶导数公式
故
第四节 解析函数与调和函数的关系
一.调和函数与共轭调和函数
1.定义3.5 若二元实函数在区域有二阶连续偏导数且满
足拉普拉斯方程，则称为
区域的调和函数。
记，则为运算符
号，称为拉普拉斯算子。
2.定义3.6 在区域满足条件：
的两个调
和函数中,称为在区域的共轭调和函数。
注:
在的共轭调和函数应为。
3.定理3.18若在区域解析，则在区域
必为的共轭调和函数。
证由在解析知，，从而
。
又解析函数具有的无穷可微性保证，在
均连续，故必相等，于是在。
同理，即，满足拉普拉斯方程。
已知，求使解析
二.从已知解析函数的实（虚）部求它的虚（实）部的方法。
1.线积方法
定理3.19设是在单连通区域的调和函数，则存在
，
使是的解析函数。
（其中是定点,是动点,为任意常
数，积分与路径无关）
证要使成为解析函数,则必须满足条件
（条件）,
又,故，
又在单连通区域可微，故积分与路径无关，
从而
2.条件
由，两边对求积分
两边同时求的偏导
，由条件
两边对求积分求得的表达式,从而
3.观察法
例1验证是平面上的调和函数,并求出以
为实部的解析函数,使。
解
（1）
故
（2）
方法一
故
又故，从而。
方法二
由于，故
于是,从而，
于是，即。
故，以下同方法一（略）。
方法三
由于
故。
余下（略）。
例２验证在右半平面是调和函数,并求以
此为虚部的解析函数。
解
（1）
故即在右半平面是调和函数。
（2）由得
又,故
于是，故 从而
在右半平面单值解析。
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