同向可加性
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥2）
同正
可开方性
a>b>0⇒
>
（n∈N，n≥2）
1.使用不等式性质时应注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符号”等也需要注意．
2．作差法是比较两数（式）大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．
高频考点
1.比较两个数（式）的大小
[例1] 已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，试比较
与
的大小．
[自主解答] 当q＝1时，
＝3，
＝5，所以
＜
；
当q＞0且q≠1时，
－
＝
－
＝
＝
＜0，所以
＜
.
综上可知
＜
.
由题悟法
比较大小的常用方法
（1）作差法：
一般步骤是：
①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
（2）作商法：
一般步骤是：
①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．
（3）特值法：
若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．
[注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．
以题试法
1．（2012·吉林联考）已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c≥b＞a B．a＞c≥b
C．c＞b＞aD．a＞c＞b
解析：
选A c－b＝4－4a＋a2＝（2－a）2≥0，
∴c≥b.将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.
∵1＋a2－a＝
2＋
>0，∴1＋a2>a.
∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a.
2.不等式的性质
（2012·包头模拟）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：
①ad＞bc；②
＋
＜0；③a－c＞b－d；④a·（d－c）＞b（d－c）中成立的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
（2）∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，
∴ad＜bc，故①错误．
∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a（－c）＞（－b）（－d），
∴ac＋bd＜0，∴
＋
＝
＜0，
故②正确．
∵c＜d，∴－c＞－d，
∵a＞b，∴a＋（－c）＞b＋（－d），
a－c＞b－d，故③正确．
∵a＞b，d－c＞0，∴a（d－c）＞b（d－c），
故④正确，故选C.
由题悟法
1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．
2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．
以题试法
2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则
＜
D．若a＜b＜0，则
＞
解析：
选B A中，只有a＞b＞0，c＞d＞0时，才成立；B中，由a＜b＜0，得a2＞ab＞b2成立；C，D通过取a＝－2，b＝－1验证均不正确．
3.不等式性质的应用
典题导入
[例3] 已知函数f（x）＝ax2＋bx，且1≤f（－1）≤2，2≤f
（1）≤4.求f（－2）的取值范围．
[自主解答] f（－1）＝a－b，f
（1）＝a＋b.
f（－2）＝4a－2b.
设m（a＋b）＋n（a－b）＝4a－2b.
则
解得
∴f（－2）＝（a＋b）＋3（a－b）＝f
（1）＋3f（－1）．
∵1≤f（－1）≤2,2≤f
（1）≤4，
∴5≤f（－2）≤10.即f（－2）的取值范围为[5,10]．
由题悟法
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：
一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
以题试法
3．若α，β满足
试求α＋3β的取值范围．
解：
设α＋3β＝x（α＋β）＋y（α＋2β）＝（x＋y）α＋（x＋2y）β.
则
解得
∵－1≤－（α＋β）≤1,2≤2（α＋2β）≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
∴α＋3β的取值范围为[1,7]．
第二节
一元二次不等式及其解法
[知识能否忆起]
一元二次不等式的解集
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根
有两相异实根x＝x1或x＝x2
有两相同实根x＝x1
无实根
一元
二次不等式的解集
ax2＋bx＋c>0（a>0）
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0（a>0）
{x|x1∅
∅
若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
解一元二次不等式应注意的问题：
（1）在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．
（2）二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．
（3）解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．
（4）一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同
高频考点
1.一元二次不等式的解法
典题导入
[例1] 解下列不等式：
（1）0＜x2－x－2≤4；
（2）x2－4ax－5a2＞0（a≠0）．
[自主解答]
（1）原不等式等价于
⇔
⇔
⇔
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为
.
（2）由x2－4ax－5a2＞0知（x－5a）（x＋a）＞0.
由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．
当a＜0时，x＜5a或x＞－a；
当a＞0时，x＜－a或x＞5a.
综上，a＜0时，解集为
；a＞0时，解集为
.
由题悟法
1．解一元二次不等式的一般步骤：
（1）对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0（a＞0），ax2＋bx＋c＜0（a＞0）；
（2）计算相应的判别式；
（3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
（4）根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
以题试法
1．解下列不等式：
（1）－3x2－2x＋8≥0；
（2）ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）．
解：
（1）原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即（3x－4）（x＋2）≤0.
解得－2≤x≤
，
所以原不等式的解集为
.
（2）原不等式变为（ax－1）（x－1）＜0，
因为a＞0，所以
（x－1）＜0.
所以当a＞1时，解为
＜x＜1；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1时，解为1＜x＜
.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为
；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为
.
2．一元二次不等式恒成立问题
典题导入
[例2] 已知f（x）＝x2－2ax＋2（a∈R），当x∈[－1，＋∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
[自主解答] 法一：
f（x）＝（x－a）2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈（－∞，－1）时，f（x）在[－1，＋∞）上单调递增，f（x）min＝f（－1）＝2a＋3.
要使f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞）时，f（x）min＝f（a）＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，a的取值范围为[－3,1]．
法二：
令g（x）＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞）上恒成立，即Δ＝4a2－4（2－a）≤0或
解得－3≤a≤1.
所求a的取值范围是[－3,1]．
本题中的“x∈[－1，＋∞）改为“x∈[－1,1）”，求a的取值范围．
解：
令g（x）＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1,1）上恒成立，即Δ＝4a2－4（2－a）≤0或
或
解得－3≤a≤1，
所求a的取值范围是[－3,1].
由题悟法
1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
2．一元二次不等式恒成立的条件：
（1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）（x∈R）恒成立的充要条件是：
a＞0且b2－4ac＜0.
（2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）（x∈R）恒成立的充要条件是：
a＜0且b2－4ac＜0.
以题试法
2．（2012·九江模拟）若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为（－∞，＋∞），则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
解析：
由Δ1<0，即a2－4（－a）<0，得－4由Δ2≥0，即a2－4（3－a）≥0，得a≤－6或a≥2.
答案：
（－4,0） （－∞，－6]∪[2，＋∞）
2.一元二次不等式的应用
典题导入
[例3] 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成＝10%），售出商品数量就增加
x成．要求售价不能低于成本价．
（1）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f（x），并写出定义域；
（2）若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．
[自主解答]
（1）由题意得y＝100
·100
.
因为售价不能低于成本价，
所以100
－80≥0.
所以y＝f（x）＝20（10－x）（50＋8x），定义域为[0,2]．
（2）由题意得20（10－x）（50＋8x）≥10260，
化简得8x2－30x＋13≤0.
解得
≤x≤
.
所以x的取值范围是
.
由题悟法
解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
（1）认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
（2）引进数学符号，用不等式表示不等关系；
（3）解不等式；
（4）回答实际问题．
以题试法
3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？
解：
假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用为
元．
若能够保证选择A比选择B费用少，则
＞1.5x（0＜x＜17），
整理得x2－5x＜0，解得0＜x＜5，
所以当一次上网时间在5小时内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少．
练习题
[小题能否全取]
1．（教材习题改编）下列命题正确的是（ ）
A．若ac＞bc⇒a＞b B．若a2＞b2⇒a＞b
C．若
＞
⇒a＜bD．若
＜
⇒a＜b
答案：
D
2．若x＋y>0，a<0，ay>0，则x－y的值（ ）
A．大于0 B．等于0
C．小于0D．不确定
解析：
选A 由a<0，ay>0知y<0，又x＋y>0，所以x>0.故x－y>0.
4.
________
＋1（填“>”或“<”）．
解析：
＝
＋1＜
＋1.
答案：
<
5．已知a，b，c∈R，有以下命题：
①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b；
③若a>b，则a·2c>b·2c.
其中正确的是____________（请把正确命题的序号都填上）．
解析：
①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立．
答案：
②③
4．若x＞y,a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤
＞
这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．
解析：
令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，
符合题设条件x＞y，a＞b，
∵a－x＝3－（－2）＝5，b－y＝2－（－3）＝5，
∴a－x＝b－y，因此①不成立．
又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不正确．
又∵
＝
＝－1，
＝
＝－1，
∴
＝
，因此⑤不正确．
由不等式的性质可推出②④成立．
答案：
②④
[小题能否全取]
1．（教材习题改编）不等式x（1－2x）＞0的解集是（ ）
A.
B.
C．（－∞，0）∪
D.
答案：
B
2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是（ ）
A.
B.
C.
D．R
答案：
B
3．（2011·福建高考）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－1,1）B．（－2,2）
C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析：
选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：
判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.
4．（2012·天津高考）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝__________，n＝________.
解析：
因为|x＋2|<3，即－5答案：
－1 1
5．不等式
＜1的解集为________．
解析：
由
＜1得1－
＞0，即
＞0，解得x＜1，或x＞2.
答案：
{x|x＜1，或x＞2}
1．（2012·重庆高考）不等式
＜0的解集为（ ）
A．（1，＋∞） B．（－∞，－2）
C．（－2,1）D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
解析：
选C 原不等式化为（x－1）（x＋2）＜0，解得－2＜x＜1，故原不等式的解集为（－2,1）．
2．（2013·湘潭月考）不等式
≤x－2的解集是（ ）
A．（－∞，0]∪（2,4]B．[0,2）∪[4，＋∞）
C．[2,4）D．（－∞，2]∪（4，＋∞）
解析：
选B ①当x－2＞0即x＞2时，原不等式等价于（x－2）2≥4，解得x≥4.
②当x－2＜0即x＜2时，原不等式等价于（x－2）2≤4，
解得0≤x＜2.
3．关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A．（4,5）B．（－3，－2）∪（4,5）
C．（4,5]D．[－3，－2）∪（4,5]
解析：
选D 原不等式可能为（x－1）（x－a）＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a≤5，当a＜1时得a＜x＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2）∪（4,5]
4．若（m＋1）x2－（m－1）x＋3（m－1）<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞） B．（－∞，－1）
C.
D.
∪（1，＋∞）
解析：
选C ①m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不合题意．
②m≠－1时，
解得m<－
.
6．（2012·长沙模拟）已知二次函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋1（a∈Z），且函数f（x）在（－2，－1）上恰有一个零点，则不等式f（x）＞1的解集为（ ）
A．（－∞，－1）∪（0，＋∞） B．（－∞，0）∪（1，＋∞）
C．（－1,0）D．（0,1）
解析：
选C ∵f（x）＝ax2－（a＋2）x＋1，
Δ＝（a＋2）2－4a＝a2＋4＞0，
∴函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋1必有两个不同的零点，
又f（x）在（－2，－1）上有一个零点，则f（－2）f（－1）＜0，
∴（6a＋5）（2a＋3）＜0，解得－
＜a＜－
.
又a∈Z，∴a＝－1.
不等式f（x）＞1，即－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.
7．若不等式
＞1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数k＝________.
解析：
＞1，得1－
＜0，即
＜0，（x－k）（x－3）＜0，由题意得k＝1.
答案：
1
8．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是________．
解析：
原不等式即x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集为∅，
∴Δ＝4－4（－a2＋2a＋4）＜0，
即a2－2a－3＜0，
解得－1＜a＜3.
答案：
（－1,3）
9．（2012·陕西师大附中模拟）若函数f（x）＝
且f（f（3））＞6，则m的取值范围为________．
解析：
由已知得f（3）＝6－m，①当m≤3时，6－m≥3，则f（f（3））＝2（6－m）－m＝12－3m＞6，解得m＜2；②当m＞3时，6－m＜3，则f（f（3））＝6－m＋5＞6，解得3＜m＜5.综上知，m＜2或3＜m＜5.
答案：
（－∞，2）∪（3,5）
10．解下列不等式：
（1）8x－1≤16x2；
（2）x2－2ax－3a2＜0（a＜0）．
解：
（1）原不等式转化为16x2－8x＋1≥0，
即（4x－1）2≥0，则x∈R，
故原不等式的解集为R.
（2）原不等式转化为（x＋a）（x－3a）＜0，
∵a＜0，
∴3a＜－a，得3a＜x＜－a.
故原不等式的解集为{x|3a＜x＜－a}．
11．一个服装厂生产风衣，月销售量x（件）与售价p（元/件）之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x（元）．
（1）该厂月产量多大时，月利润不少于1300元？
（2）当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？
解：
（1）由题意知，月利润y＝px－R，
即y＝（160－2x）x－（500＋30x）
＝－2x2＋130x－500.
由月利润不少于1300元，得－2x2＋130x－500≥1300.
即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.
故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1300元．
（2）由
（1）得，y＝－2x2＋130x－500
＝－2
2＋
，
由题意知，x为正整数．
故当x＝32或33时，y最大为1612.
所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1612元．
12．设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，函数F（x）＝f（x）－x的两个零点为m，n（m＜n）．
（1）若m＝－1，n＝2，求不等式F（x）＞0的解集；
（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜
，比较f（x）与m的大小．
解：
由题意知，F（x）＝f（x）－x＝a（x－m）·（x－n），
当m＝－1，n＝2时，不等式F（x）＞0，
即a（x＋1）（x－2）＞0.
当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞2}；
当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．
（2）f（x）－m＝a（x－m）（x－n）＋x－m
＝（x－m）（ax－an＋1），
∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜
，
∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.
∴f（x）－m＜0，即f（x）＜m.
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