回归课本的100个数学问题6 不等式.docx
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回归课本的100个数学问题6不等式
回归课本的100个数学问题6不等式
回归课本的100个数学问题6不等式 1、均值不等式 ①a2?
b2?
2ab并且当且仅当a?
b，取得等号。
证明：
（a?
b）2?
0?
a2?
2ab?
b2?
0?
a2?
b2?
2ab 并且当且仅当a?
b，取得等号。
注：
这个不等式是无条件成立的。
②若a,b?
0，则a?
b?
2ab令a,b?
0，则前面的不等式，有a?
b?
（a）2?
（b）2?
2ab?
2ab，即 a?
b?
ab。
并且当且仅当a?
b，即a?
b取得等号。
2a?
b我们将称为代数平均值，ab称为几何平均值。
那么，这个不等式的 2意义是：
两非负数代数平均值不小于几何平均值，而且当且仅当两数相等时，两平均值相等。
我们将这个不等式称为均值不等式，或者基本不等式。
注意，它是对a,b?
0才成立的。
③一般的均值不等式 a?
a?
......?
an1n假设ai?
0，An?
?
ak?
12，Gn?
nk?
1nn?
ak?
1ni，则An?
Gn。
并 且当且仅当a1?
a2?
...?
an时，An?
Gn。
证明：
先假设ai?
0，?
i?
N?
。
当n?
1时，结论显然成立。
假设当n?
k时，结论成立。
即Ak?
Gk，且当且仅当a1?
a2?
...?
an时，结论成立。
当n?
k?
1时， 1 （k?
1）Ak?
1?
（k?
1）Ak?
1（k?
1）Ak?
1?
a1?
a2?
...?
ak?
ak?
1?
2k2k（k?
1）Ak?
1?
ak?
1a1?
a2?
...?
ak1（k?
1）Ak?
1?
ak?
1a1?
a2?
...?
ak ?
[?
]?
2kkkkAk?
1?
?
k?
1kAkk?
1ak?
1a1a2......ak?
12kk?
1k这样，Ak2?
1?
kAkk?
1ak?
1a1a2......ak，Ak?
1?
Ak?
1ak?
1a1a2......ak， ?
1k?
1aa......aaAkk?
。
1?
a1a2......akak?
1，Ak?
1?
12kk?
1?
Gk?
1从上面的证明以及n?
k时不等式取等号的条件，要使得Ak?
1?
Gk?
1，必须 ?
（k?
1）Ak?
1?
ak?
1a1?
a2?
...?
ak?
?
kk?
?
Ak?
1?
ak?
1 ?
a?
a?
......?
a2k?
1?
这样，易得 a1?
a2?
...?
ak?
ak?
1 即n?
k?
1时，结论也成立，故结论对任意n?
N?
总成立。
若有i，使得ai?
0。
则An?
Gn?
0。
为了An?
Gn?
0，只能a1?
a2?
...?
an?
0。
综上所述，结论对任意n?
N?
均成立。
这就是一般的均值不等式！
2、极值定理 假设a,b均为非负数。
问题1：
若a?
b?
p，p为非负定常数，那么ab最大值为多少？
何时取得？
a?
b2（a?
b）212）?
?
p解答：
ab?
（ab）?
（2442 当且仅当a?
b?
1p时取得最大值。
2简记：
和定积最大。
一般的表述是这样的：
设ai?
0，i?
1,2,...,n。
2 np1np若?
ai?
p为非负常数，则当a1?
a2?
...?
an?
?
ai?
时，为（）nai最大，?
nni?
1ni?
1i?
1n问题2：
若ab?
p，p为非负定常数，那么a?
b最小值为多少？
何时取得？
解答：
a?
b?
2ab?
2p 当且仅当a?
b?
p时取得最小值。
简记：
积定和最小。
一般的表述是这样的：
设ai?
0，i?
1,2,...,n。
若?
ai?
p为非负常数，则当a1?
a2?
...?
an?
np时，?
ai最小，为nnp。
i?
1i?
1nn我们归纳为一句话：
积定和最小，和定积最大。
例1、①函数y?
4x?
91（x?
）的最小值 。
2?
4x2②若x?
2y?
1，则2x?
4y的最小值是______③正数x,y满足x?
2y?
1，则解答：
①x?
11?
的最小值为______xy1，于是4x?
2?
0，2999y?
4x?
?
4x?
?
（4x?
2）?
?
2?
6?
2?
8， 2?
4x4x?
24x?
295当且仅当4x?
2?
，即4x?
2?
3，x?
时，取得最小。
4x?
242②2x?
4y?
21?
2y?
4y?
y?
4y?
22， 4211当且仅当y?
4y，即42y?
24y?
2，即y?
，x?
，达到最小，为22。
4421111x2yx2y?
2?
3?
?
?
3?
22，③?
?
（?
）（x?
2y）?
1?
?
xyxyyxyx当且仅当 x2y?
，x?
2y，x?
2y?
2y?
2y?
（2?
2）y?
1，yxy?
2（2?
2）22?
212?
2?
?
2?
1时，达到最小，为，x?
2y?
?
2222?
23?
22。
3 更一般的问题：
设a1,a2,a3,a4,a5为正常数，x?
0，y?
0，满足a1x?
a2y?
a3，求 a4a5aa?
的最小值。
我们都可以用4?
5乘以a1x?
a2y。
xyxyaaxaaya4a5?
）（a1x?
a2y）?
a1a4?
a2a5?
15?
24?
a1a4?
a2a5?
2a1a2a4a5xyyx （3、一元二次不等式的求解 求解一元二次不等式ax2?
bx?
c?
0，ax2?
bx?
c?
0，ax2?
bx?
c?
0， ax2?
bx?
c?
0。
当a?
0时，可以在不等式前面乘上-1，a变为?
a，不等式方向也跟着改变。
因此，只需要讨论a?
0的情形。
①若?
?
0，则ax2?
bx?
c?
0恒成立。
这样，不等式ax2?
bx?
c?
0和 ax2?
bx?
c?
0解集均为?
，而ax2?
bx?
c?
0，ax2?
bx?
c?
0解集均为R。
b，ax2?
bx?
c?
0也恒成立。
2ab这样，不等式ax2?
bx?
c?
0解集为R，ax2?
bx?
c?
0解集为{x|x?
?
}， 2abax2?
bx?
c?
0解集为?
，ax2?
bx?
c?
0解集为{x|x?
?
}。
2ax2?
bx?
c?
0恒成立，②若?
?
0，则a而除去x?
?
③若?
?
0，则ax2?
bx?
c?
0有两不相等实根，设为x1和x2，x1?
x2。
则 b?
x?
x?
?
?
b?
?
a（x1?
x2）?
?
12a ?
c?
xx?
?
c?
axx1212?
a?
则 ax2?
bx?
c?
ax2?
a（x1?
x2）x?
ax1x2?
a[x2?
（x1?
x2）x?
x1x2]?
a（x?
x1）（x?
x2）解不等式ax2?
bx?
c?
0 ?
x?
x1?
0?
x?
x1?
0ax2?
bx?
c?
0?
a（x?
x1）（x?
x2）?
0?
?
或?
?
x?
x2?
0?
x?
x2?
0 ?
x?
x1?
x?
x1 ?
?
或?
?
x?
x2或x?
x1x?
xx?
x?
2?
2 4 类似的，不等式ax2?
bx?
c?
0解集为{x|x?
x1或x?
x2}。
解不等式ax2?
bx?
c?
0 ?
x?
x1?
0?
x?
x1?
0ax2?
bx?
c?
0?
a（x?
x1）（x?
x2）?
0?
?
或?
?
x?
x2?
0?
x?
x2?
0 x?
xx?
x?
?
11 ?
?
或?
?
x1?
x?
x2或x?
x1且x?
x2?
x1?
x?
x2x?
xx?
x?
2?
2类似的，不等式ax2?
bx?
c?
0解集为{x|x1?
x?
x2}。
我们将结果归纳为：
大于分两头，小于夹中间。
例2、解不等式3x2?
10x?
6?
0。
（答：
（?
?
5?
75?
7）?
（,?
?
））33解答：
3x2?
10x?
6?
0两根为x1?
5?
75?
7，x2?
。
这样，不等式解集为33 （?
?
5?
75?
7）?
（,?
?
）3313?
x?
）2213?
x?
22例3、解不等式?
4x2?
8x?
3?
0。
（答：
解答：
?
4x2?
8x?
3?
0?
4x2?
8x?
3?
0?
（2x?
3）（2x?
1）?
0?
4、高次不等式的求解 假设不等式已化为形式：
（x?
x1）k1（x?
x2）k2......（x?
xn）kn?
0（?
0,?
0,?
0），ki?
1 x1?
x2?
...?
xn。
求解它的方法和求解一元二次不等式的方法一样，是零点分界法。
令 f（x）?
（x?
x1）k1（x?
x2）k2......（x?
xn）kn 当x?
x1，若k1?
k2?
...?
kn为偶数，则f（x）?
0，若k1?
k2?
...?
kn为奇数，则 f（x）?
0。
当x1?
x?
x2，若k2?
k3?
......?
kn为偶数，则f（x）?
0，若k2?
k3?
......?
kn为奇数，则f（x）?
0。
可见，若k1为偶数，则f（x）在（?
?
x1）和（x1,x2）符号不变。
若k1为奇数，则f（x）在（?
?
x1）和（x1,x2）符号变化。
5
当x2?
x?
x3，若k3?
k4?
...?
kn为偶数，则f（x）?
0，若k3?
k4?
...?
kn为奇数，则f（x）?
0。
可见，若k2为偶数，则f（x）在（x1,x2）和（x2,x3）符号不变。
若k2为奇数，则f（x）在（x1,x2）和（x2,x3）符号变化。
依次类推，可以讨论f（x）在各个区间的符号。
我们将规则归纳为一句简单的话：
奇穿偶回。
解题过程中只要将各个区间函数值符号标号，就能顺利解出不等式解集。
例4、解不等式（x?
1）（x?
2）（x?
3）（x?
4）（x?
5）?
0。
解答：
如图1 12345 图1不等式解集为：
（1,2）?
（3,4）?
（5,?
?
）。
例5、解不等式x2（x?
1）3（x?
2）2（x?
3）5（x?
4）2?
0。
解答：
如图2 01234 图2不等式解集为：
[1,3]。
5、分式不等式 x?
x1x?
x?
0（?
0,?
0,?
0）的解。
2不妨设x1?
x2。
同样用零点分界法，我们易得：
x?
x1x?
x?
0?
x?
xx?
x11,x?
x2；?
0?
x?
x1,x?
x22x?
x2x?
x1x?
x?
0?
xx?
x11?
x?
x2；?
0?
x1?
x?
x22x?
x2 6 6、分式不等式 f（x）>a,（a0）的g（x） x2?
3x?
3例6、求解不等式2?
1。
x?
4x?
3解答：
如图3 x2?
3x?
3x2?
3x?
3x2?
3x?
3?
（x2?
4x?
3）7x?
67x?
6?
1?
?
1?
0?
?
?
?
02222x?
4x?
3x?
4x?
3x?
4x?
3x?
4x?
3（x?
1）（x?
3）6/713 图3 6不等式解集为（,1）?
（3,?
?
）。
7 3x2?
3x?
5?
x?
1。
例7、求解不等式 x解答：
3x2?
3x?
53x2?
3x?
53x2?
3x?
5?
x（x?
1）2x2?
4x?
5?
x?
1?
?
（x?
1）?
0?
?
?
0xxxx于（?
4）2?
4?
2?
5?
?
24?
0，2x2?
4x?
5?
0恒成立。
于是，不等式解为（0,?
?
） 1?
4。
x例8、求解不等式x?
1x2?
1x2?
4x?
1?
4?
0?
?
0解答：
x?
?
4?
xxx7 x2?
4x?
1?
0两根为x1?
2?
3，x2?
2?
3。
如图4 02-sqrt（3）2+sqrt（3） 图4 不等式解集为（0,2?
3）?
（2?
3,?
?
）。
7、解绝对值不等式 ①几何法（图像法）；②定义法（零点分段法）；③两边平方④公式法：
|f（x）|?
g（x）?
f（x）?
?
g（x）或f（x）?
g（x） |f（x）|?
g（x）?
?
g（x）?
f（x）?
g（x）例9、求解不等式|x?
2|?
|3x?
6|?
9解答：
用定义法（零点分段法）
（1）若x?
?
2，则 |x?
2|?
|3x?
6|?
?
x?
2?
3x?
6?
?
4x?
4?
9?
x?
?
54，于是，x?
?
2。
（2）若?
2?
x?
2,则 |x?
2|?
|3x?
6|?
x?
2?
3x?
6?
?
2x?
8?
9?
x?
?
12， 于是，?
2?
x?
?
12。
（3）若x?
2，则 |x?
2|?
|3x?
6|?
x?
2?
3x?
6?
4x?
4?
9?
x?
134 于是，x?
134。
8 113这样，我们便求得不等式解集为（?
?
?
]?
[,?
?
）。
248、两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”，即a?
b?
0?
1111?
，a?
b?
0?
?
。
abab事实上，a?
b?
0?
ab11ab11?
?
0?
?
?
0，a?
b?
0?
?
?
0?
?
?
0ababbaababba9、常用的几个不等式 ①绝对值不等式：
a?
b?
a?
b?
a?
b，而且前后两不等式必然有一个取等号。
证明：
a?
b?
a?
b?
a?
b?
a?
b?
a?
b?
（a?
b）2 ?
|a|2?
2|a||b|?
|b|2?
a2?
2ab?
b2?
|a|2?
2|a||b|?
|b|2 ?
?
|a||b|?
?
ab?
|a||b|22显然成立。
并且于不等式?
|a||b|?
?
ab?
|a||b|中前后两个必然有一个取等号，因此，原不等式中前后两个必然有一个取等号。
不等式a?
b?
a?
b?
a?
b?
?
|a||b|?
ab?
|a||b|中，当?
|a||b|?
ab时，即ab?
0时，前一个取等号，当|a||b|?
ab时，即ab?
0时，后一个不等式取等号。
不等式a?
b?
a?
b?
a?
b?
?
|a||b|?
?
ab?
|a||b|中，当?
|a||b|?
?
ab时，即ab?
0时，前一个取等号，当|a||b|?
?
ab时，即ab?
0时，后一个不等式取等号。
绝对值不等式的一般情形是：
|?
ak|?
?
|ak|，n?
N?
，ai?
R，并且当且 k?
1k?
1nn仅当ak,k?
1,2,3......,n或同号，或为0时，取等号。
证明：
|?
ak|?
?
|ak|?
|?
ak|?
（?
|ak|）?
?
a?
2222kk?
1k?
1k?
1k?
1k?
1nnnnn1?
p?
q?
n?
apaq?
?
ak2?
2k?
1n1?
p?
q?
n?
|ap||aq| ?
1?
p?
q?
n?
apaq?
1?
p?
q?
n?
|ap||aq|9 不等式显然成立，并且当且仅当apaq?
|apaq|，?
1?
p?
q?
n，即apaq?
0时，不等式取得等号。
即a1,a2,......,an或为0，或同号。
复数意义下的绝对值不等式：
|?
ak|?
?
|ak|，n?
N?
，ai?
C，并且当且 k?
1k?
1nn仅当ak,k?
1,2,3......,n或为0，或幅角相同时，取等号。
这里，复数的绝对值应该理解为复数的模。
证明：
|?
ak|?
?
|ak|?
|?
ak|?
（?
|ak|）?
?
a?
222kk?
1k?
1k?
1k?
1k?
1nnnnn1?
p?
q?
n?
2apaq?
apaq?
?
ak?
2k?
1n1?
p?
q?
n?
|ap||aq| ?
1?
p?
q?
n?
apaq?
apaq?
21?
p?
q?
n?
|ap||aq|不等式显然成立。
并且当且仅当apaq?
apaq?
2|ap||aq|时，1?
p?
q?
n取等号。
这样，或者ap?
0或aq?
0，或者ap?
0，aq?
0，设ap?
rpep，aq?
rqeq，则apaq?
apaq?
ap?
rpe?
i?
pi?
i?
rqeq?
rpeprqei?
i?
?
i?
q?
2rprqcos（?
p?
?
q）?
2rprq， cos（?
p?
?
q）?
1，?
p?
?
q?
2k?
，即ap，aq幅角相同。
这样，不等式要取等号，a1,a2,......,an或者有些为零，或者幅角相同，即不为零的幅角都相同。
22a?
b?
a?
b?
ab?
2。
②若a,b?
0，221?
1ab证明：
a?
b?
ab为均值不等式，已证明过，并且当且仅当a?
b时，取等号。
21?
111于是，ab?
11?
1，即ab?
1?
2，并且当且仅当?
，即 1?
11?
12ababababab2a?
b时，取等号。
2a?
b?
ab?
（a?
b）?
ab?
a2?
2ab?
b2?
4ab2422 ?
a?
b?
2ab?
2（a2?
b2）?
a2?
2ab?
b2?
（a?
b）2 2222（a?
b）2a?
ba?
b ?
?
?
?
a?
b242210
并且当且仅当a?
b时，取等号。
证毕！
从证明过程中可以看出，这几个不等式的本质是一样的，其实都是均值不等式的一种变形而已。
22我们称a?
b为a,b的平方平均值，a?
b为a,b的代数平均值，ab为a,b22的几何平均值， 2为a,b的调和平均值。
不等式的意义就是：
1?
1ab平方平均值?
代数平均值?
几何平均值?
调和平均值并且当且仅当a?
b时，平均值中任何两个相等。
这个不等式的一般情形是：
2若ai?
0，i?
1,2,...,n，则1?
ak?
1?
ak?
n?
ak?
nk?
1nk?
1k?
1nnn1?
ak?
1nnk 并且当且仅当a1?
a2?
...?
an，不等式取等号。
证明：
1?
ak?
n?
ak为均值不等式，已证明过，并且当且仅当a1?
a2?
...?
annk?
1k?
1时，取等号。
nn于是， 1?
ak?
1nkn?
n?
1?
ak?
1kn1n?
ak?
1n，即 kn?
ak?
1nk?
1?
ak?
1n1k?
1?
ak?
1nnk，并且当且仅当 n111?
?
...?
，即a1?
a2?
...?
an时，取等号。
a1a2an （1?
ak）2?
nk?
1n?
ak?
1n2k?
1?
p?
q?
n2?
2apaq?
?
ak?
1n2k?
n1?
p?
q?
n2?
n（a?
a）?
2p2q?
a?
?
（a2kk?
1p?
q2n2p?
a）?
2qn?
ak?
12n2knn?
?
ak?
1n2kn2 1?
ak?
1?
aknk?
1nk?
1nn并且当且仅当ap?
aq,1?
p?
q?
n时，即a1?
a2?
...?
an时，取等号。
证毕！
11 ③a,b,c?
R，a2?
b2?
c2?
ab?
bc?
ca，并且当且仅当a?
b?
c时，取等号。
证明：
a2?
b2?
2ab，b2?
c2?
2bc，c2?
a2?
2ca三个不等式相加，得到 （a2?
b2）?
（b2?
c2）?
（c2?
a2）?
2（a2?
b2?
c2）?
2ab?
2bc?
2ca 即a2?
b2?
c2?
ab?
bc?
ca b2?
c2?
2bc，c2?
a2?
2ca时，并且当且仅当a2?
b2?
2ab，即a?
b,b?
c,c?
a时， 即a?
b?
c时，取等号。
④若a?
b?
0,m?
0，则 bb?
m?
。
aa?
m这个不等式糖水浓度问题。
其意义是往糖水中加糖，尽管糖水的量也跟着增加，但糖水浓度还是提高了，也就是糖水更甜了。
这是很显然的。
证明：
bb?
m?
?
b（a?
m）?
a（b?
m）?
ba?
bm?
ab?
am?
bm?
am?
b?
aaa?
m另一个类似的不等式是：
若a?
b?
0，m?
0，则证明：
aa?
m?
。
bb?
maa?
m?
?
a（b?
m）?
b（a?
m）?
ab?
am?
ba?
bm?
am?
bm?
a?
bbb?
m34910例如：
?
，?
等等。
458910、不等式证明中一些常用的放缩技巧①k?
1?
k?
1k?
1?
k?
12k ② 11111111?
?
?
?
?
?
；，放缩程度大。
22k（k?
1）k?
1kk（k?
1）kk?
1kk111111?
?
?
（?
），放缩程度小。
22（k?
1）（k?
1）2k?
1k?
1kk?
1?
③ 例10、证明：
?
n?
N，?
1?
2。
2kk?
1n证明：
当n?
1时，左边?
1?
2,自然成立。
当n?
2时， 12 nn11111111111?
1?
?
2?
1?
?
?
1?
（1?
）?
（?
）?
......?
（?
）?
（?
）?
2?
?
2?
2223n?
2n?
1n?
1nnk?
1kk?
2kk?
2k（k?
1）n11、不等式证明中常用的的换元法 常用的换元有三角换元和代数换元。
①已知x2?
y2?
a2，可设x?
acos?
y?
asin?
。
②已知x2?
y2?
1，可设x?
rcos?
y?
rsin?
（0?
r?
1）。
x2y2③已知2?
2?
1，可设x?
acos?
y?
bsin?
。
abx2y2④已知2?
2?
1，可设x?
asec?
y?
btan?
。
ab12、经典不等式①均值不等式 n1n假设ai?
0，n?
N，则?
ai?
n?
ai。
并且当且仅当a1?
a2?
...?
an时，取 ni?
1i?
1?
得等号。
②排序不等式 假设n?
N?
a1?
a2?
...?
an，b1?
b2?
...?
bn，则 ?
aibn?
1?
i?
?
aibki?
?
aibi i?
1i?
1i?
1nnn并且当且仅当a1?
a2?
...?
an或b1?
b2?
...?
bn时，逆序和和顺序和相等。
?
abi?
1nin?
1?
i?
a1bn?
a2bn?
1?
...?
anb1称为逆序和， nk1,k2,...,kn为1,2,...,n的一个排列，?
aibki?
a1bk1?
a2bk2?
...?
anbkn称为乱序和， i?
1?
ab?
ab?
abii11i?
1n22?
...?
anbn称为顺序和（正序和）。
kk证明：
设k1,k2,...,kn为1,2,...,n的一个排列，记Tk?
?
bi，这样，Tk?
?
?
bki。
Tk?
?
Tk， i?
1i?
113 Tn?
Tn?
。
补充规定T0?
T0?
?
0。
这样， ?
nnnnnn?
1aibk?
Ti?
?
1）?
i?
1i?
ai（Ti?
?
?
aiTi?
?
?
aiTi?
?
1?
1?
aiTi?
?
i?
1?
ai?
1Ti?
i?
1i?
1i?
i?
0nn?
1n?
1n?
1 ?
?
aiTi?
?
?
ai?
1Ti?
?
anTn?
?
?
1）Tii?
1i?
1?
（ai?
ai?
1）Ti?
?
anTn?
i?
1?
（ai?
aii?
1同样， ?
nnnnnn?
1aibi?
?
ai（Ti?
Ti?
1）?
i?
1i?
1?
aiTi?
?
aiTi?
1?
?
aiTi?
?
1i?
1i?
1?
ai?
1Tiii?
0nn?
1n?
1 ?
?
aiTi?
i?
1?
ai?
1Ti?
anTn?
i?
1?
（ai?
ai?
1）Tii?
1nn于是，?
aibki?
?
aibi。
这样，就证明了后一个不等式。
i?
1i?
1于b1?
b2?
...?
bn，故?
bn?
?
bn?
1?
...?
?
b1，再用后一个不等式，得到?
nnai（?
bk）?
?
i） i?
1i?
ai（?
bn?
1i?
1nnnn即?
?
aibki?
?
?
aibn?
1?
i，即?
aibki?
?
aibn?
1?
i。
i?
1i?
1i?
1i?
1nnn这样，我们就得到：
?
aibn?
1?
i?
?
aibki?
?
aibi。
i?
1i?
1i?
1下面证明逆序和和顺序和相等的充分必要条件。
充分性显然。
必要性 nnn?
1n?
1假设?
aibn?
1?
i?
?
aibi，则?
（ai?
ai?
1）Ti?
?
（ai?
ai?
1）Ti?
，即 i?
1i?
1i?
1i?
1?
n?
1（ai?
ai?
1）（Ti?
Ti?
）?
0。
于a1?
a2?
...?
an，Tk?
?
Tk,?
1?
k?
n，故 i?
1 （ai?
ai?
1）（Ti?
Ti?
）?
0，i?
1,2,...,n?
1 若不满足a1?
a2?
...?
an，则存在一个i0，1?
i0?
n?
1，ai0?
ai0?
1，于是 Ti0?
Ti0?
14 即 b1?
b2?
...?
bi0?
bn?
bn?
1?
...?
bn?
i0?
1 于b1?
b2?
...?
bn ?
bn?
bi0?
?
bn?
1?
bi0?
1?
?
bn?
2?
bi0?
2?
?
..................?
bn?
i?
1?
b1?
0这样， ?
bi0?
bi0?
1?
bi0?
2?
...?
bn?
?
bi0?
1?
bi0?
bi0?
1?
...?
bn?
1?
?
bi0?
2?
bi0?
1?
bi0?
...?
bn?
2?
?
.......................................?
b1?
b2?
b3?
..........?
bn?
i?
10?
这样，b1?
b2?
...?
bn。
这样，我们便完成了证明。
?
?
0，Ti?
Ti?
，i?
1,2,..,n?
1，这样，假设a1?
a2?
...?
an，则（ai?
ai?
1）（Ti?
Ti） bki?
Ti?
?
Ti?
?
1?
Ti?
Ti?
1?
bi。
假设 b1?
b2?
...?
bn1?
bn1?
1?
...?
bn1?
n2?
...?
bn1?
n2?
...?
ns?
1?
1?
...?
bn1?
n2?
...?
ns?
1?
ns，其中，n1?
n2?
...?
ns?
n。
这样，?
aibki?
?
aibi当且仅当k1,k2,..,kn1为1,2,..,n1的 i?
1i?
1nn一个排列，kn1?
1,kn1?
2,..,kn1?
n2为n1,n1?
1,...,n1?
n2的一个排列，kn1?
n2?
...?
ns?
1?
1，…， kn1?
n2?
...?
ns?
1?
ns为n1?
n2?
...?
ns?
1?
1，……，n1?
n
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