拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程.docx

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拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程

拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。

拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。

因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：

拉氏变换）法的优点所在。

拉普拉斯拉斯变换的定义

一个定义在

区间的函数

其拉氏变换

定义为

L[f（t）]=F（s）=

式中：

s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。

应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法

F（s）又称为f（t）的象函数，而f（t）称为F（s）的原函数。

通常用“L[]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。

拉普拉斯变换的基本性质

本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。

一、唯一性

定义在

区间的时间函数

与其拉氏变换

存在一一对应关系。

根据

可以唯一的确定其拉氏变换

；反之，根据

，可以唯一的确定时间函数

。

唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。

唯一性的证明从略。

二、线性性质

若

和

是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为

和

，

和

是两个任意常数，则有

证根据拉氏变换的定义可

根据拉氏变换的定义可得

例求的拉氏变换。

解

三、时域导数性质（微分性质）

例应用时域导数性质求

的象函数。

四、时域积分性质（积分规则）

例：

求单位斜坡函数

及

的象函数。

五、时域平移性质（延迟性质）

作业：

书后习题1、2、3、4。

课后记事：

注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。

常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。

8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）

教学目的：

具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。

教学重点：

具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。

教学难点：

部分公式及分解定理求待定系数法，各种运算电路图的画法，注意电压、电流的方向。

教学方法：

1、板书讲述具有单根情况下如何求反变换。

2、具有复根情况下如何求反变换。

3、具有重根情况下如何求反变换。

4、三种情况下推导、证明及应用举例。

5、元件伏安关系的复频域形式。

6、练习题见备课笔记。

教学过程：

每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。

拉普拉斯反变换

在应用拉氏变换分析问题时，首先要将时域中的参量变换为复频域中的参量，并求得用象函数表示的解答，然后，再对象函数形式的解答进行拉斯反变换，以求得时域中的解答。

求拉斯反变换最简单的方法是利用拉氏变换表，但一般必须进行一些数学处理，使其变为表中所列的形式。

在电路理论中，常见的响应函数的象函数往往是s的有理函数，可直接应用部分分式展开法。

将F（s）化为如下形式：

式中：

是

被

所除而得的商；

是余式，其次数低于

的次数。

一、

有

个单实根

设

的

个单实根分别为

，则

可展开为

式中：

为待定系数。

若要求

，将上式两边都乘

，得

令

，则等式右端除

外，其余各项均为零。

故

同里可求得

。

所以，确定待定系数的公式为

由于

，所以

因为

是

的一个根，所以上式为

型不定式，故可用洛比塔法则来确定

的值

所以，确定待定系数的另一公式为

对应的原函数为

例：

。

二、

有共轭复根的情况

在式

中，设

有一对共轭复根，记为

。

则在

的展开式中将包含以下两项：

其中

由于

实系数有理分式，故

必为共轭复数。

若设

则

于是，

对应的原函数

将是

例：

求

的原函数。

三、

有重根的情况

设

有一个

阶重根

，其他均为单根，则

的部分分式展开式为

式中系数

可按前面介绍的方法确定。

为了求得系数

，可将上式两端同乘以

，得到

令

，即可求得

为了求出

，可将上式两端对

求一次导数，再令

，即得

以此类推，可求得

又因为

，所以，当各系数确定后，即可求得

的原函数

例：

求

的原函数。

解

有一个三重根

和一个单根

，所以，

可展开为

式中

所以

其相应的原函数为

广义欧姆定律的复频域形式

在讨论各元件运算电路图的基础上，现在用运算法来分析RLC串联电路，如下图（a）,其为运算电路图如（b）图。

注意：

图中的电压和电流的方向。

作业：

书后习题4、5、6、7、8题。

课后记事：

注意找出学生练习时的问题，及时解决。

8-4用拉普拉斯变换进行线性电路的分析（2学时）（教材第228页）

教学目的：

会用拉普拉斯变换进行线性电路的分析。

教学重点：

熟练掌握用拉普拉斯变换进行线性电路的分析及步骤。

教学难点：

跃变的问题，方向的问题，画输出曲线的问题。

教学方法：

1、板书讲述用拉普拉斯变换进行线性电路的分析的步骤。

2、由浅入深举例讲述如何用拉普拉斯变换进行线性电路的分析。

3、应用基尔霍夫定律、节点电压法、回路法、戴维南定理求解电路。

4、注意跃变的问题，方向的问题，画输出曲线的问题及应用举例。

5、例题和练习题，见备课笔记。

教具：

《电路》CAI课件，网络课件中的拉普拉斯变换部分，邱关源第四版教材及其他参考书。

教学过程：

每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。

用拉普拉斯变换分析线性电路

对于一个线性时域动态电路来说，将其中的每一个元件用其复频域电路图表示，而不改变各元件间的联接关系，可获得该线性动态电路的复频域电路图。

根据复频域电路图，便可用运算法进行分析，其一般步骤如下：

（1）根据换路前一瞬间电路的工作状态，计算电感电流和电容电压的初始植，从而确定电路的复频域模型中反映初始状态的附加电压源的电压或附加电流源的电流。

若已给出初始值，则不必再进行计算。

（2）绘出电路的复频域电路图。

（3）应用以前介绍的各种电路分析方法，对电路的复频域电路进行分析，求出响应的象函数。

（4）对已求的象函数进行拉氏变换，求出时域响应。

下面通过几个例子来说明具体的分析方法。

例题1：

所示电路中，原电路已达稳态，

时开关

由a倒向b。

试用运算法求

时的

。

答案：

例题2：

试求题图所示电路的零状态响应u（t）。

答案：

u（t）=

例题3：

例已知如图所示电路的原始状态为

。

求电路的全响应

。

1Ω0.1H

2Ω

0.5F

图a

解首先画出电路的运算模型，如图b所示。

并按图中所示的回路方向写回路电流方程

解方程得

因为本题只求，所以不必再解出。

利用部分分式展开法可得

所以

作业：

书后习题9、10、11、12、13、14、题。

课后记事：

讲解要慢，要吸引学生的注意力，否则讲一遍学生没注意听，后面作题麻烦。

8-5网络函数及卷积（2学时）（教材第233页）

教学目的：

网络函数的定义及应用，加冲激函数，卷积。

教学重点：

熟练掌握网络函数的应用，加冲激函数时的特殊情况，卷积。

教学难点：

网络函数的定义和应用，驱动点函数，转移函数。

加冲激函数时的特殊情况，如何组成拉氏变换对。

卷积积分的推导和应用问题。

教学方法：

1、板书讲述网络函数的定义和应用（求法），驱动点函数，转移函数的概念。

2、举例讲述加冲激函数时的特殊情况，如何组成拉氏变换对及应用。

3、卷积积分的推导和应用。

4、注意交代网络函数在自动控制中的应用及举例；加冲激函数的特殊性；卷积积分的应用公式。

5、例题和练习题，见备课笔记。

教具：

《电路》CAI课件，网络课件中的拉普拉斯变换部分，邱关源第四版教材及其他参考书。

教学过程：

每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。

一、网络函数的定义及类型

定义：

在零初始条件下，且电路的输入激励是单一的独立电压源或电流源时，电路的零状态响应r（t）的象函数R（s）与输入激励e（t）的象函数E（s）之比。

网络函数用H（s）表示，即

H（s）=

按激励与响应的类型，网络函数可以具有不同的形式。

1）如果响应与激励属于同一对端子，则网络函数称为策动点函数。

具体地说，电压响应的象函数与电流激励象函数之比称为策动点阻抗函数；电流响应的象函数与电压激励的象函数之比称为策动点导纳函数。

所以，有两种策动点函数。

2）如果响应与激励不属于同一对端子，则网络函数称为转移函数。

具体地说，如果激励为电压源，则当响应为电压时，其网络函数称为电压转移函数；当响应为电流时，其网络函数称为转移导纳函数。

如果激励为电流源，则当响应为电压时，其网络函数称为转移阻抗函数；当响应为电流时，其网络函数称为电流转移函数。

所以，共有四种转移函数。

例题3：

题图所示电路中，已知：

试求：

（1）网络函数

；

（2）作出

的零、极点分布图。

答案：

其它略。

网络函数一个重要性质是：

当激励为单位冲激信号δ（t）时，则因为E（s）=L[δ（t）]=1，所以R（s）=H（s）有

h（t）=L-1[H（s）]=L-1[R（s）]=r（t）

说明网络函数的原函数就是电路的激励响应。

二、网络函数的零点和极点

由式

可知，网络函数

的分子、分母都是关于

的多项式，故可展开为部分分式的形式。

式中：

为常数。

因为

，所以称

为网络函数的零点。

而

，所以称

为网络函数的极点。

的零点和极点或为实数或为共轭复数，且

的极点就是对应电路变量的固有频率。

三、卷积

1、卷积的定义

设有两个定义在

区间的时间函数

和

，则下列积分式

称为

和

的卷积积分，简称卷积。

通称用符号

表示函数

和

的卷积，即

1如果令

则

，于是有

所以

2、卷积定理

设

，则卷积

的拉氏变换为

，即

可利用卷积定理来分析电路响应，设

为外加激励的象函数，

为网络函数，则网络响应

为

对

求反变换即得到时域响应

根据式

可以写为

式中：

为外加激励函数的时域形式；

为网络的冲激响应。