高等代数北大版课件7.2线性变换的运算.ppt

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2线性变换的运算,3线性变换的矩阵,4特征值与特征向量,1线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8若当标准形简介,9最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章线性变换,5对角矩阵,7.2线性变换的运算,一、线性变换的乘积,二、线性变换的和,7.2线性变换的运算,三、线性变换的数量乘法,四、线性变换的逆,五、线性变换的多项式,7.2线性变换的运算,1定义,设为线性空间V的两个线性变换，定义它们,事实上，,一、线性变换的乘积,的乘积为：

则也是V的线性变换.,7.2线性变换的运算,基本性质,

（1）满足结合律：

（2），E为单位变换,（3）交换律一般不成立，即一般地，,7.2线性变换的运算,例1.线性空间中，线性变换,而，,即,7.2线性变换的运算,例2.设A、B为两个取定的矩阵，定义变换,则皆为的线性变换，且对有,7.2线性变换的运算,则也是V的线性变换.,二、线性变换的和,1定义,设为线性空间V的两个线性变换，定义它们,的和为：

事实上，,7.2线性变换的运算,（3）0为零变换.,（4）乘法对加法满足左、右分配律：

2基本性质,

（1）满足交换律：

（2）满足结合律：

7.2线性变换的运算,3负变换,设为线性空间V的线性变换，定义变换为：

则也为V的线性变换，称之为的负变换.,注：

7.2线性变换的运算,三、线性变换的数量乘法,1定义,的数量乘积为：

则也是V的线性变换.,设为线性空间V的线性变换，定义k与,7.2线性变换的运算,2基本性质,注：

线性空间V上的全体线性变换所成集合对于,线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性,空间，记作,7.2线性变换的运算,四、线性变换的逆,则称为可逆变换，称为的逆变换，记作,1定义,设为线性空间V的线性变换，若有V的变换使,2基本性质,

（1）可逆变换的逆变换也是V的线性变换.,7.2线性变换的运算,证：

对,是V的线性变换.,7.2线性变换的运算,

（2）线性变换可逆线性变换是一一对应.,证：

设为线性空间V上可逆线性变换.,任取若则有,为单射.,其次，对令则且,为满射.,故为一一对应.,7.2线性变换的运算,若为一一对应，易证的逆映射也为V,的线性变换，且,故可逆，.,线性变换，则可逆当且仅当,（3）设是线性空间V的一组基，为V的,线性无关.,证：

设,于是,因为可逆，由

（2），为单射，又,7.2线性变换的运算,而线性无关，所以,故线性无关.,若线性无关，则它,也为V的一组基.,因而，对有,即有,为满射.,7.2线性变换的运算,线性无关,若则有,其次，任取设,即,由

（2），为可逆变换.,故为一一对应.,从而，为单射.,7.2线性变换的运算,（4）可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关,的向量组.,线性无关.,若,证：

设为线性空间V的可逆变换，,则有，,又可逆，于是是一一对应，且,故线性无关.,由线性无关，有,7.2线性变换的运算,当时，规定（单位变换）.,五、线性变换的多项式,1线性变换的幂,设为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义,称之为的n次幂.,7.2线性变换的运算,易证,注：

当为可逆变换时，定义的负整数幂为,一般地，,7.2线性变换的运算,设,为V的一个线性变换，则,2线性变换的多项式,多项式.,也是V的一个线性变换，称为线性变换的,7.2线性变换的运算,注：

在中，若,则有，,即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.,对有,7.2线性变换的运算,证明：

练习：

设为线性变换，若,证：

对k作数学归纳法.,对两端左乘，得,对两端右乘，得,上两式相加，即得,7.2线性变换的运算,对两端左乘，得,对两端右乘得,，得,假设命题对时成立，即,由归纳原理，命题成立.,