锐角三角函数的引入.docx

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锐角三角函数的引入

　　这是锐角三角函数的引入，是优秀的数学教案，供参考学习。

　　一、教学目标

　　1．通过观察、猜想、比较、具体操作等数学活动，学会用计算器求一个锐角的三角函数值。

　　2．经历利用三角函数知识解决实际问题的过程，促进观察、分析、归纳、交流等能力的发展。

　　3．感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，激发学生继续学习的好奇心，培养学生与他人合作交流的意识。

　　二、教材分析

　　在生活中，我们会经常遇到这样的问题，如测量建筑物的高度、测量江河的宽度、船舶的定位等，要解决这样的问题，往往要应用到三角函数知识。

在上节课中已经学习了30°，45°，60°角的三角函数值，可以进行一些特定情况下的计算，但是生活中的问题，仅仅依靠这三个特殊角度的三角函数值来解决是不可能的。

本节课让学生使用计算器求三角函数值，让他们从繁重的计算中解脱出来，体验发现并提出问题、分析问题、探究解决方法直至最终解决问题的过程。

　　三、学校及学生状况分析

　　九年级的学生年龄一般在15岁左右，在这个阶段，学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势，但在很大程度上，学生仍然要依靠具体的经验材料和操作活动来理解抽象的逻辑关系。

另外，计算器的使用可以极大减轻学生的负担。

因此，依据教材中提供的背景材料，辅以计算器的使用，可以使学生更好地解决问题。

　　学生自小学起就开始使用计算器，对计算器的操作比较熟悉。

同时，在前面的课程中学生已经学习了锐角三角函数的定义，30°，45°，60°角的三角函数值以及与它们相关的简单计算，具备了学习本节课的知识和技能。

　　四、教学设计

（一）复习提问

　　1．梯子靠在墙上，如果梯子与地面的夹角为60°，梯子的长度为3米，那么梯子底端到墙的距离有几米?

　　学生活动：

根据题意，求出数值。

　　2．在生活中，梯子与地面的夹角总是60°吗?

　　不是，可以出现各种角度，60°只是一种特殊现象。

　　图1

（二）创设情境引入课题

　　1如图1，当登山缆车的吊箱经过点到达点时，它走过了200。

已知缆车的路线与平面的夹角为∠＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?

　　哪条线段代表缆车上升的垂直距离?

　　线段。

　　利用哪个直角三角形可以求出?

　　在△中，＝16°，所以＝20016°。

　　你知道16°是多少吗?

我们可以借助科学计算器求锐角三角形的三角函数值。

那么，怎样用科学计算器求三角函数呢?

　　用科学计算器求三角函数值，要用和键。

教师活动：

（1）展示下表；

（2）按表口述，让学生学会求16°的值。

按键顺序显示结果16°16=16°=0275637355

　　学生活动：

按表中所列顺序求出16°的值。

　　你能求出42°，85°和72°38′25′的值吗?

　　学生活动：

类比求16°的方法，通过猜想、讨论、相互学习，利用计算器求相应的三角函数值（操作程序如下表）：

　　按键顺序显示结果42°42=42°=074314482585°85=85°=11430052372°38′25′72′′

　　38′′2

　　5′′=72°38′25′→

　　0954450321

　　师：

利用科学计算器解决本节一开始的问题。

　　生：

＝20016°≈5212（）。

　　说明：

利用学生的学习兴趣，巩固用计算器求三角函数值的操作方法。

　　（三）想一想

　　师：

在本节一开始的问题中，当缆车继续由点到达点时，它又走过了200，缆车由点到达点的行驶路线与水平面的夹角为∠＝42°，由此你还能计算什么?

　　学生活动：

（1）可以求出第二次上升的垂直距离，两次上升的垂直距离之和，两次经过的水平距离，等等。

（2）互相补充并在这个过程中加深对三角函数的认识。

　　（四）随堂练习

　　1．一个人由山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300，再爬30°的山坡100，求山高（结果精确到0．1）。

　　2．如图2，∠＝56°，∠＝50°，＝20，求图中避雷针的长度（结果精确到0．01）。

　　图2图3

　　（五）检测

　　如图3，物华大厦离小伟家60，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求大厦的高度（结果精确到01）。

　　说明：

在学生练习的同时，教师要巡视指导，观察学生的学习情况，并针

　　针对学生的困难给予及时的指导。

　　（六）小结

　　学生谈学习本节的感受，如本节课学习了哪些新知识，学习过程中遇到哪些困难，如何解决困难，等等。

　　（七）作业

　　1．用计算器求下列各式的值：

（1）32°；

（2）2453°；（3）62°11′；（4）39°39′39′。

　　图42如图4，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180的，两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正南方向，在的南偏西50°的方向，求河宽（结果精确到1）。

　　五、教学反思

　　1．本节是学习用计算器求三角函数值并加以实际应用的内容，通过本节的学习，可以使学生充分认识到三角函数知识在现实世界中有着广泛的应用。

本节课的知识点不是很多，但是学生通过积极参与课堂，提高了分析问题和解决问题的能力，并且在意志力、自信心和理性精神等方面得到了良好的发展。

　　2．教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者和帮助者，依据教材特点创设问题情境，从学生已有的知识背景和活动经验出发，帮助学生取得了成功。

　　知识目标：

锐角三角函数教案设计

　　1.理解锐角的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的意义.

　　2.会由直角三角形的边长求锐角的正、余弦，正、余切函数值.

　　能力、情感目标：

　　1.经历由情境引出问题，探索掌握数学知识，再运用于实践过程，培养学生学数学、用数学的意识与能力。

　　2.体会数形结合的数学思想方法。

　　3.培养学生自主探索的精神，提高合作交流能力。

　　重点、难点：

　　1.直角三角形锐角三角函数的意义。

　　2.由直角三角形的边长求锐角三角函数值。

　　教学过程：

　　一、创设情境

　　前面我们利用相似和勾股定理解决一些实际问题中求一些线段的长度问题。

但有些问题单靠相似与勾股定理是无法解决的。

同学们放过风筝吗？

你能测出风筝离地面的高度吗？

　　学生讨论、回答各种方法。

教师加以评论。

　　总结：

前面我们学习了勾股定理，对于以上的问题中，我们求的是的长，而的的长是可知的，只要知道的长就可要求了，但实际上要测量是很难的。

因此，我们换个角度，如果可测量出风筝的线与地面的夹角，能不能解决这个问题呢？

学了今天这节课的内容，我们就可以很好地解决这个问题了。

　　（由一个学生比较熟悉的事例入手，引起学生的学习兴趣，调动起学生的.学习热情。

由此导入新课）

　　二、新课讲述：

　　在△中与△111中∠=90°,1=90°∠=∠1，∠的对边、斜边分别是、，∠1的对边、斜边分别是11、12（学生探索，引导学生积极思考，利用相似发现比值相等）

　　（）

　　若在△222中，∠2=∠，那么

　　问题1：

从以上的探索问题的过程，你发现了什么？

（学生讨论）

　　结论：

这说明在直角三角形中，只要一个锐角的大小不变，那么无论这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。

　　在一个直角三角形中，只要角的大小一定，它的对边与斜边的比值也就确定了，与这个角所在的三角形的大小无关，我们把这个比值叫做这个角的正弦，即∠的正弦=，记作，也就是：

=

　　几个注意点：

①是整体符号，不能所把看成；②在一个直角三角形中，∠正弦值是固定的，与∠的两边长短无关，当∠发生变化时，正弦值也发生变化；③表示用一个大写字母表示的一个角的正弦，对于用三个大写字母表示的角的正弦时，不能省略角的符号“∠”；例如表示“∠”的正弦时，应该写成“∠”；④=可看成一个等式。

已知两个量可求第三个量，因此有以下变形：

=,=

　　由此我们又可以知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小保持不变时，这个锐角的邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值也是固定的．分别叫做余弦、正切、余切。

　　在△中

　　∠的邻边与斜边的比值是∠的余弦，记作

　　∠的对边与邻边的比值是∠的正切，记作

　　∠的邻边与对边的比值是∠的余切，记作

　　（以上可以由学生自行看书，教师简单讲述）

　　锐角三角函数：

以上随着锐角的角度变化，这些比值也随着发生变化。

我们把、、、统称为锐角∠的三角函数．

　　问题2：

观察以上函数的比值，你能从中发现什么结论？

　　结论：

①、锐角三角函数值都是正实数；

　　②、0＜＜1，0＜＜1；

　　③、=1。

　　三、实践应用

　　例1求出如图所示的△中∠的四个三角函数值．

　　解

　　问题3：

以上例子中，若求、呢？

　　问题4：

已知：

在直角三角形中，∠=90&;，=4/5，=12，求：

和

　　（问题3、4从实例加深学生对锐角三角函数的理解，以此再加以突破难点）

　　四、交流反思

　　通过这节课的学习，我们理解了在直角三角形中，当锐角一定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的，这几个比值称为锐角三角函数，它反映的是两条线段的比值；它提示了三角形中的边角关系。

　　五、课外作业：

　　同步练习

（一）引课

　　1、请同学们回忆一下，以前测量旗杆高度的方法，并说明这些方法的理论依据是什么?

（相似三角形对应边成比例）

　　2、问题：

如果观测的角是任意的锐角，能否求出旗杆的高度呢?

要解决这个问题，只要学完三角函数这节内容，你们就可得到答案。

（二）新课

　　1、①△中，∠=90°，各边名称是什么?

一般用什么字母表示，学生回答，老师在图形中标明。

　　2、在以上测量旗杆高度的各种方法中，那些量是改变的，哪些量是不变的，它们之间有何联系?

　　学生活动：

　　学生思考，分组讨论，并归纳出以下结论（如果学生有缺漏，教师可点拨，同时鼓励表扬）：

（1）、在△中，当∠不变时，三角形的形状可以改变，即各边可改变大小，但任两边的比值不变。

（2）、当∠取其他固定值时，任两边的比值也有唯一确定值与之对应。

　　3、三角函数定义：

由∠取每一确定值，∠的对边与斜边的比值有唯一确定值与之对应，我们把这两个变量之间这种函数关系用符号“”表示即：

=∠的.对边/斜边

　　同理得出：

=∠的邻边/斜边=∠的对边/∠的邻边=∠的邻边/∠的对边

　　学生练习：

（1）、写出∠的四个三角函数

（2）、说出，，，值的范围，求.=?

　　4、例题讲解：

　　例1、（108）由学生回答解题思路，再由学生自主完成。

　　（三）巩固练习：

108第2题109第3题

　　（四）随堂练习

　　在△中，已知=4/5，求∠的其他三角函数值，学生板书。

　　（五）课堂小结：

（由学生完成，教师讲解、归纳、补充）

　　1、了解三角函数是解决实际问题的一种方法。

　　2、理解并熟记三角函数的定义。

　　3、利用三角函数解决简单的问题。

　　《三位数乘两位数例1教案》：

三位数乘两位数例1教案第1篇　　教学目标：

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　　《小学数学分数乘法教案》：

小学数学分数乘法教案第1篇　　教学内容：

　　人教版小学数学教材六年级上册第2～3页例1、例2及相关练习。

　　教学目标：

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