初中竞赛数学11列方程解应用题 设元的技巧含答案.docx
《初中竞赛数学11列方程解应用题 设元的技巧含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中竞赛数学11列方程解应用题 设元的技巧含答案.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
初中竞赛数学11列方程解应用题设元的技巧含答案
11.列方程解应用题──设元的技巧
知识纵横
应用题联系生活实际,反映实际生活中的数量关系,列方程解应用题是从具体问题中抽象归纳出所需要的数量关系,根据数量间的关系,依照题意合理选择未知数、找出隐含的等量关系,列方程进行求解.毛
恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一,设什么为元,需要根据具体问题的条件来确定.
对未知元的选择,有时可将要求的量设为未知元（即问什么设什么）,称此为直接设元;有时需要将要求的量以外的其他量设为未知元（即所设的不是所求的,则更易找出符合题意的数量关系）,称此为间接设元;有些应用题中隐含一些未知的常量,这些量对于求解无直接联系,但如果不指明这些量的存在,则难求其解,因此需把这些未知的常量设为参数,以便建立等量关系,称此为辅助设元.
例题求解
【例1】如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个不同颜色的正方形组成,已知中间最小的一个正方形的边长为1,那么这个长方形色块图的面积为_______.（2001年济南市中考题）
思路点拨要求长方形的面积需求出各正方形的边长,为便于求出长方形长与宽,故不宜直接设元,由于6个正方形边长有一定的依存关系,所以,可以从间接设某个正方形边长入手.
解:
143
提示:
设C、D的边长为x,则E、F、B的边长分别为x+1,x+2,2x-1,
由题意得:
（x+1）+（x+2）=x+（2x-1）,解得x=4.
【例2】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时,水流速度增加一倍后,再从甲港到乙港航行需3小时,水流速度增加后,从乙港返回甲港需航行（）.
A.0.5小时B.1小时C.1.2小时D.1.5小时
（2001年武汉市选拨赛试题）
思路点拨要求从乙港返回甲港所需的时间,需求甲、乙两港的距离及顺水速度,考虑增设辅助未知数.
解:
选B
提示:
设船在静水中的速度为V0,原水速为V1,则2（V0-V1）=3（V0-V1）,得V0=4V1,所求时间为
=1.
【例3】某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总票数的
若提前购票,则给予不同程序的优惠,在五月份内,团体票每张12元,共售出团体票数的
;零售票每张16元,共售出零售票数的一半,如果在六月份内,团体票按每张16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平?
（2002年北京市东城区中考题）
思路点拨票款与票数、票价有关,既要用字母表示六月份零售价,又要用字母表示总票数.
解:
设总票数为a张,六月份零售票应按每张x元定价,
则
a+
a=
a+
ax,解得x=19.2（元）
【例4】某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率.（2002年全国初中联赛试题）
思路点拨因售出价=进货价×（1+利润率）,故还需设出进货价,利用售出价不变,辅助建立方程.
解:
17%
提示:
设原进价为x元,销售价为y元,
那么按原进价销售的利润率为
×100%,
原进价降低后在销售时的利润率为
×100%,由题意得:
×100%+8%=
×100%,解得y=1.17x
故这种商品原来的利润率为
×100%=17%.
【例5】有一片牧场,草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等）,如果放牧24头牛,则6天吃完牧草;如果放牧21头牛,则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的,问:
（1）如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草?
（2）要使牧草永远吃不完,至多放牧几头牛?
（全国通讯赛试题）
思路点拨需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草量之间的关系,故需增设一些辅助未知数,便于把这些关系表示出来.
解:
提示:
（1）设牧场原有草量为a,每天生长出的草量为b,每头牛每天吃草量为c,16头牛x天吃完草,由题意得:
②-①得b=12c④
③-②得（x-8）b=（16x-168）c⑤
将④代入⑤,得（x-8）.12c=（16x-168）c,解得x=18.
（2）设至多放牧y头牛,牧草才永远吃不完,
则有cy≤b,即每天吃的草不能多于生长的草,y≤
=12.
学力训练
一、基础夯实
1.一个6位数2abcde的3倍等于abcde9,则这个6位数等于________.
2.有人问一位老师:
他教的班有多少学生,老师说:
“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球”,则这个“特长班”共有学生________人.
3.一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时,从乙地到甲地逆流行驶需6小时,有一木筏由甲地漂流至乙地,需_____小时.（第13届“希望杯”邀请赛试题）
4.某种产品是由A种原料x千克、B种原料y千克混合而成,其中A种原料每千克50元,B种原料每千克40元,后来调价,A种原料价格上涨10%,B种原料价格减少15%,经核算产品价格可保持不变,则x:
y的值的是（）.
A.
B.
C.
D.
5.从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块,再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起,熔炼后两者含铜的百分比恰好相等,则切下的一块重量是（）.
A.5千克B.6千克C.7千克D.8千克
6.某城市按以下规定收取每月煤气费:
用煤气如果不超过60立方米,按每立方米0.8元收费;如果超过60立方米,超过部分按每立方米1.2元收费,已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元,那么,4月份这位用户应交煤气费（）.（全国初中数学联赛试题）
A.60元B.66元C.75元D.78元
7.某企业生产一种产品,每件成本价是400元,销售价为510元,本季度销售了m件.为进一步扩大市场,该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本,经过市场调研,预测下季度这种产品每件销售价降低4%,销售量将提高10%,要使销售利润（销售利润=销售价-成本价）保持不变,该产品每件的成本价应降低多少元?
8.如图,几块大小不等的正方形纸片A、B、……,I,无重叠地铺满了一块长方形.已知正方形纸片E的边长为7,求其余各正方形的边长.
二、能力拓展
9.某人购买钢笔和圆珠笔各若干支,钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍,付款时,发现所买两种笔的数量颠倒了,因此,比计划支出增加了50%,则此原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为________.
10.电影胶片绕在盘上,空盘的盘心直径为60豪米.现有厚度为0.15豪米的胶片,它紧绕在盘上共有600圈,那么这盘胶片的总长度约为______米（≈3.14）.
11.为使某项工程提前20天完成任务,需将原定工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需要_______天.
12.完成某项工程,甲、乙合做要2天,乙、丙合做要4天,丙、甲合做要2.4天,则甲单独完成此项工程需要的天数是（）.
A.2.8B.3C.6D.12
13.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:
每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元水费收费:
用水超过10立方米的,超过部分加倍收费.某职工某月缴月费16m,则该职工这个月实际用水为（）立方米.
A.13B.14C.18D.26（2003年广西省中考题）
14.某种商品若按标价的八折出售,可获利20%,若按原标价出售,可获利（）.
A.25%B.40%C.50%D.66.7%
15.某水库共有6个相同的泄洪闸,在无上游洪水注入的情况下,打开一个水闸泄洪使水库水位以a米/时匀速下降.某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b米/时匀速上升,当水库水位超警戒线h米时开始泄洪.
（1）如果打开n个水闸泄洪x小时,写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式;
（2）经考察测算,如果只打开一个泄洪闸,则需30个小时水位才能降至警戒线;如果同时打开两个泄洪闸,则需10个小时水位才能降至警戒线.问该水库能否在3小时内使水位降至警戒线?
（2003年连云港市中考题）
16.（2001年天津市中考题）一批货物准备运往某地,有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次船运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨.问:
（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍?
（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时,货主应付车主运费各多少元?
（按每运1吨运费20元计算）
三、综合创新
17.（第14届“希望本”邀请赛试题）某同学想用5个边长不等的正方形,拼成如图所示的正方形,请问该同学的想法能实现吗?
如果能实现,试求这5个正方形的边长;如果不能,请说明理由.
18.山脚下有一池塘,山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌,现池塘中有一定深度的水,若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完,若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完,问若用三台A型抽水机同时抽,则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完?
（江苏省竞赛题）
答案
【学力训练】
1.285713
2.设这个班共有学生x人,在操场踢足球的学生共有a人,1≤a≤6,
由
+a=x,得x=
a,
又3│a,
故a=3,x=28（人）.
3.244.C
5.B
提示:
设切下的每一块合金重x克,10千克、15千克的合金含铜的百分比分别为
a、b（a≠b）,
则
整理得（b-a）x=6（b-a）,故x=6.
6.B提示:
设用了x立方米煤气,则60×0.8+1.2（x-60）=0.88x.
7.设该产品每件的成本价应降低x元,
则[510×（1-4%）-（400-x）]×（1+10%）m=（510-400）m解得x=10.4（元）
8.18、15、14、4、8、10、1、9提示:
参见例1.
9.1:
4提示:
设原计划购买钢笔x支,圆珠笔y支,圆珠笔的价格为k元,
则（2kx-ky）×（1+50%）=2ky+kx,解得y=4x.
10.282.6m提示:
设胶片宽为amm,长为xmm,
则体积为0.15axm3,盘上所缠绕的胶片的内、外半径分别为30mm和30+015×600=120（mm）,其体积又可表示为
（120-30）·a=13500a（m3）,
于是有0.15ax=13500a
x=90000
≈282600,胶片长约282600mm,即282.6mm.
11.100提示:
设原工作效率为a,工作总量为b,由
-
=20,得
=100.
12.B13.A
14.C提示:
设商品的进价为a元,标价为b元,
则80%b-a=20%a,解得b=
a,
原标价出售的利润率为
×100%=50%.
15.
（1）（b-na）x+h
（2）由题意得
得a=2b,h=30b.
若6个泄洪闸同时打开,3小时后相对于警戒线的水面高度为（b-na）x+h=-3b<0.
故该水库能在3个小时内使水位降至警戒线.
16.
（1）设这批货物共有T吨,甲车每次运t甲吨,乙车每次运t乙吨,
则2a·t甲=a·t乙=T,得t甲:
t乙=1:
2.
（2）由题意得:
=
由
（1）知t乙=2t甲,
故
=
解得T=540.
甲车车主应得运费540×
×=20=2160（元）,
乙、丙车主各得运费540×
×20=4320（元）.
17.略
18.12分钟提示:
参见例5.毛
升级会员 