全国初中数学联合竞赛试题及解析.docx
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全国初中数学联合竞赛试题及解析
2013年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1•计算4,32,2.4124.2（）
（A）.21（B）1（C）、.2（D）2
m2m2
2•满足等式2m1的所有实数m的和为（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
D，若CD3，则AB=（）
（A）2（B）J6（C）2.2（D）3
x,y）的组数为（
2
4•不定方程3x7xy2x5y170的全部正整数角
（A）1（B）2（C）3（D）4
n的正整数中质数的个数等于合个数，则称
）
（C）2013（D）2014
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1•已知实数x,y,z满足xy4,z1xy2y9,则x2y3z
3
2•将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n（n2）个相同的小正方体，若只有一面是
红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n=
3•在VABC中，A60°,C75°,AB10,D,E,F分别在AB,BC,CA上，则VDEF
的周长最小值为
222
4•如果实数x,y,z满足xyzxyyzzx8，用A表示|xy，yz，zx的
最大值，则A的最大值为
第二试（A）
一、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d满足2a23c22b23d2adbe26,求a2b2c2d2的值。
9PR
于点P，连AC，若0P2AC，求-的值。
0的一个根，若正整数a,b,m使得
、（本题满分25分）已知t是一元二次方程x2x1
等式atmbtm31m成立，求ab的值。
第二试（B）
（本题满分20分）已知t21，若正整数a,b,m使得等式atmbtm17m
成立，求ab的值。
、（本题满分25分）在
ABC中，AB>AC，0、I分别是ABC的外心和内心，且满足
AB-AC=20l。
求证:
b2
求代数式—
c2
a2
c2a2
b2
a2b2c2
2bc
2ca
2ab
的值。
2013年全国初中数学联合竞赛试题解析
说明：
评阅试卷时，诸依据本评分标准•第一试，选择题和填峭题只设7分利。
分两档；鄭二试备题，请按照本评分标准规定的评分档次给分如果苦生的解答方法和本解答不同.只耍恩路合理,步骤正确，在评卷时诘参照本评分标准划分的梢挟.给予相应的分数.
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1•计算4,32.2.41242（B）
（A）.21（B）1（C）、、2（D）2
4正・J41+24运二4（运+1）一（3+4近）*1.
m2m2
2•满足等式2m1的所有实数m的和为（A）
（A）3（B）4（C）5（D）6
肖2-加二1即用=1时，满足所给等式；
肖2—也=-1即m-3时.（2-^^2=（-1）4=1,满足所给第式;
当2-m^±1即粧工1且册韭3时，宙已蚓等式可得：
m2-m-2=O且2-朋北0,解得m=-l.
闵此滿足等式（2-rn）ml~m2=1的所有实数册的和为1+3+（-1）=3•
3•已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CAB15°,ABC的平分线交圆O于点
D，若CD'、3，则AB=（A）
（A）2（B）、、6（C）2.2（D）3
连接OC,竹：
OM丄CD丁点则可^ZOCAf=45O-15°=30%所以
CM-—OC,所^AB=2OC=~CM=4=CD=2.
2V3^/3
A
D
4•不定方程3x7xy2x5y170的全部正整数角（x,y）的组数为（B）
（A）1（B）2（C）3（D）4
*又兀为正鞍数，所以体三1.从而
7托—5
町即亠疔+益+17巨7耳-5+所l^3xJ+5x<22t所以只可能"1或"2.
^x=l时，可得尸議8：
当时*可14y=L
因此，不定方3x2+7xy-2x-5y-17^0的全部正鳞数解任丿）有两组S8）和（2,"-
5矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点，F在线段BC上，且BF:
FC=1:
2,AF分别与DE，DB交于点M,N，贝UMN=（C）
/八3亦
5丘
9.5
11^5
（A）
（B）（C）
—
（D）-
7
14
28
28
BF
C
【答】（C）+
易知也BNFsHDNA、所以空=竽所以==M川F.
ANNDAD33厚
延氏DEH点G则心他sAFMG,所以豐^卷=¥，=^-FM=-AF.
rMFG44f
6•设n为正整数，若不超过n的正整数中质数的个数等于合个数，则称n为“好数”，那么,
所有“好数”之和为（B）
（A）33（B）34（C）2013（D）2014
冈为1既不是质数也不是合所订“好数"一宦是奇数•
设不超过丹的正楼蠱中硕数的牛数为碍・律数的『数为鳥，当丹£】5时・列表如卜「只考虑丹为奇
数的情况”一一一
n
1
3
5
7
9
11
13
15
%
0
2
3
4
4
5
6
6
0
0
1
2
4
5
&
B
显無.I*9-lbU是好数.
闵为站-如=2’^n>16时.在"I,的基础上*毎瞎加两个数，其中必有-■个为隅蠶，艸悠是合甦・也離是说，增加的合数的个数平会少于増力口的质数荊亍数「所以-淀冇戈-%22,故当”狂】6时，丹不可能是“好数”•
因此，所有“盯数"Z利为1+9+11+13=34.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1•已知实数x,y,z满足xy4,z1xy2y9,则x2y3z4
由x+y=4^x-4—y,代入|z+11=xy+2y-9得|z卡Ij=6j^-y2-9--（^-3）2，所以芯=T,y-3,x=1>AKffUx+2j+3z=4.
2•将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n3（n2）个相同的小正方体，若只有一面是
红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n=8
只有一亍面染红色的小正方体的总數为6（n-2）3个，任何面均平是红色的小正力体的总数対（冲-2尸个,由题意^\6（n^2）2=（«^2）\^^rt=S.
3•在VABC中，A60°,C75o,AB10,D,E,F分别在AB,BC,CA上，则VDEF
的周长最小值为_5、、6_
作巨E关于AB*的对称点户"Q.连接AE,AP.AQ、DP,FQ,PQ,咖三力0=【2俨』
且AP^AQ=AEt柞AHJ.BC?
点H一
那么，^DEF的周氏
1=DE+DF+EF=FD+DF+FQ^FQ=Hp=^AE3®H,
而=WcosZa=10cos45°-572・所IU/>73-5^2=5^6・肖且仅当点E与点用巫令・R
F、D*F、Q四点JE线时取得需号.
4•如果实数x,y,z满足x2
yzxyyzzx8，用A表示|xy,yz,zx的
最大值，则A的最大值为_
46
—3—
由已知轴式得（工一刃：
+（7-2）2十（—耳『=16.
不妨设A=\x-y\.则
才=[（y-z）+（^-x）]:
<2[（j-z）3+（z-x）2J=2[16-（jr-^）2]=2（16-/i"）（
4衙4^6
所以*的垠大值—-当|x-y|=——,|>-zH^-^1=
■sJ1J
第二试（A）
22222
一、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d满足2a3c2b3dadbe6,求
a2b2c2d2的值。
解：
设ma2b2,nc2d2，则2m3n2a22b23c23d212.
「，222
因为2m3n2m3n24mn24mn,即12224mn，所以
又因为
mn
2.22
abc
.222
dac
b2d2a2d2b2c2
2
2
2
ac
bd
adbc
adbc
6
由①,②可得mn6.即a2b2c2d2
注：
符合条件的实数a,b,c,d存在且不唯
二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆0上，过点B、C作圆0的切线，交
9PR
于点P,连AC,若OPAC，求的值。
2AC
解：
连0C,因为PC,PB为圆0的切线，所以/POC=/POB
又因为OA=OC所以/OCA=/OAC
又因为/COBMOCA丄OAC所以2/POB=2/OAC所以/POB=ZOAC所以OP//AG
9
又OP—AC,AB=2r,OB=r（r为圆O的半径），代入可求得
2
2
OP=3r,AC=r.
3
在RtVPOB中，由勾股定理可求得PB■■一OP2OB22、、2r。
所以空g3&。
AC2r
3
0的一个根，若正整数a,b,m使得
、（本题满分25分）已知t是一兀二次方程x2X1
等式atmbtm31m成立，求ab的值。
又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有m6符合要求。
第二试（B）
（本题满分20分）已知t21，若正整数a,b,m使得等式atmbtm17m
成立，求
ab的值。
解：
因为
t.2
1，所以t232.2.
等式at
mbt
m17m即abt2m
abt
即ab3
2
mab21m2
17m,
整理得
mab
2ab23abm
ab
2m
于是可得ab
2
m17m,
17m0
217
ab17mm
2（m
17）x
17mm20……CD的两个整数根,
方程①的判别式
2
4m17
417m
2m
又因为a,b,m是正整数，所以a
b217
m
又因为判别式是-
「个完全平方数,
验证可知，
只有
把m8代入得ab
17mm2
72°
二、（本题满分
分别是ABC的外心和内心，且满足求证：
（1）
2x
因此，a,b是关于x的一元二次方程
17m172m
m8符合要求,
01//BC;
（2）
0.
17
2
25分）在ABC中，AB>AC，0、
AB-AC=20I
SAOCSAOB2SAOI°
证明
设BC=a,AC=b,AB=co
11
易求得cm=-a,cn=abc，所以
（1）作OM丄BC于M,IN丄BC于No
MN=CM-CN=
J.
cb=oi,
222
又MN恰好是两条平行线OM,IN之间的垂线段，所以OI也是两条平行线OM,IN之间的
垂线段，所以01//MN所以01//BC
（2）由
（1）知OMNI是矩形，连接BI,CI，设OM=IN=r（即为则
解：
由于a,b,c具有轮换对称性，不妨设0abc.
（1）若cab，则cab0,cba
b2
2c
2a
1-
c
b2
2a
1,
2bc
2bc
2c
2a
b2
1-
c
2a
b2
1,
2ca
2ca
2a
b2
2a
a
b
22c
1
1,
2ab
2ab
所以
b2
2c
2a
2
c2
2a
b22
2bc
2ca
a2
（2）若cab，则0cab,0
b2
c2
2ab
3，与已知条件矛盾。
cba，从而可得:
222bca
2bc
22.2
cab,12ca
cba2
bc"
ca$b2
ca仁
ab$c2
2ab
2ab
2.22
aba""2ab
22
abc
1
2ab
1,
222222,22bcacab所以一
2bc2ca
a2b2c2
2ab
3，与已知条件矛盾。
综合
（1）
（2）可知：
一定有cab.
.22222.2bcacab
于是可得1,-
2ca
2bc
所以
b2
22
ca
2bc
a2b2c2
1，2ab
22,22,22
cababc
2ca2ab
1.
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