高等代数北大版课件9.4正交变换.ppt
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2标准正交基,3同构,4正交变换,1定义与基本性质,6对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7向量到子空间的距离最小二乘法,小结与习题,第九章欧氏空间,5子空间,一、一般欧氏空间中的正交变换,9.4正交变换,二、n维欧氏空间中的正交变换,一、一般欧氏空间中的正交变换,1.定义,即,,欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变,,则称为正交变换.,注:
欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度,不变的正交变换的推广.,2.欧氏空间中的正交变换的刻划,下述命题是等价的:
(定理4)设是欧氏空间V的一个线性变换.,3)保持向量间的距离不变,即,2)保持向量长度不变,即,1)是正交变换;,证明:
首先证明1)与2)等价,即,,两边开方得,,若是正交变换,则,有,,
(1),
(2),若保持向量长度不变,则对,把(3)展开得,,再由
(1)
(2)即得,,(3),是正交变换,再证明2)与3)等价,根据),故3)成立.,若,则有,,即,,故2)成立.,二、维欧氏空间中的正交变换,1.维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基,不变的线性变换,是V的标准正交基,则也是V,的标准正交基.,1).若是维欧氏空间V的正交变换,,事实上,由正交变换的定义及标准正交基的性质,即有,,2).若线性变换使V的标准正交基变成,变换,标准正交基,则为V的正交,证明:
任取设,由为标准正交基,有,故是正交变换,又,由于为标准正交基,得,2.维欧氏空间V中的线性变换是正交变换,设为V的标准正交基,且,证明:
的标准正交基,,当是正交变换时,由1知,也是V,而由标准正交基到标准,正交基的过渡矩阵是正交矩阵.,设为V的标准正交基,且,再由1即得为正交变换,由于当A是正交矩阵时,也是V的,即,,标准正交基,,所以,A是正交矩阵,1)正交变换的逆变换是正交变换;,2)正交变换的乘积还是正交变换,3.欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射,因而有,,(由同构的对称性可得之),(由同构的传递性可得之),4.维欧氏空间中正交变换的分类:
设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基,1)如果则称为第一类的(旋转);,2)如果则称为第二类的,下的矩阵是正交矩阵A,则,例、在欧氏空间中任取一组标准正交基,定义线性变换为:
则为第二类的正交变换,也称之为镜面反射,